\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[10pt,a4paper,twoside]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym}
\usepackage{a4,mathptmx,helvet,courier}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\textheight 20cm

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Joseph Fourier, Grenoble I   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence2, mat237                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2014/2015           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
 Examen du 9 janvier 2015, de 9h30 à 11h30. \\
%Ce sujet comporte 2 exercices sur {\bf 1 page}.\\
  {\it Calculatrices et 
r\'esum\'e de cours manuscrit format A4 recto-verso autorisé. 
Autres documents et portables interdits. \\
Ce sujet comporte deux pages. Le barême est indicatif.}
  
\end{center}

\section{\'Equation différentielle (6 points)}
\begin{enumerate}
\item Donner la solution générale de l'équation différentielle
$$ x'{'}+4x=\cos(2t)$$
Les solutions sont-elles bornées lorsque $t\rightarrow +\infty$~?
\item Soit $a \in ]0,4[$. Donner la solution générale 
de l'équation différentielle
$$ x'{'}+ax'+4x=\cos(2t) \quad (E) $$
\item Déterminer la solution de $(E)$
pour les conditions initiales $x(0)=0, x'(0)=1/a$.
\item
Déterminer le maximum $M_a$ de cette solution pour $t\geq 0$
en fonction de $a$.
\item Quelle est la limite de $M_a$ lorsque $a$ tend vers 0~?\\
Ce résultat est-il encore valide lorsqu'on fixe des
conditions initiales ind\'ependantes de $a$ (on pourra discuter
le comportement des solutions de $x'{'}+ax'+4x=0$
lorsque $t \rightarrow +\infty$)~?
\end{enumerate}


\section{Cycloïde (14 points)}
On s'intéresse à la cycloïde $C$ d'équations paramétriques
\[ x(\tau)=R(\tau+\sin(\tau)), \quad y(\tau)=R(1-\cos(\tau)) \]
On utilise $\tau$ comme paramètre pour ne pas confondre avec
le temps $t$ qui servira dans la partie 2.2.
La partie 2.1 porte sur l'étude de la courbe paramétrique,
la partie 2.2 porte sur l'étude du mouvement d'une masse sur cette courbe,

\subsection{Courbe paramétrique}
\begin{enumerate}
\item Préciser les symétries de la courbe,
montrer qu'on peut se ramener à une étude sur $[0,\pi]$.
\item Représenter l'arche de la cycloïde $C$ pour
$\tau \in [-\pi,\pi]$ lorsque $R=1$, en indiquant
sur la figure les points de param\`etre $\tau=-\pi, 0,\pi$ et les 
directions des tangentes en ces
points (on justifiera).
\item Calculer l'élément de longueur $ds$ 
en fonction de $\tau \in [-\pi,\pi]$ ($R>0$ quelconque)
et le repère de Frénet.
\item On fixe l'origine de l'abscisse curviligne au
point (0,0). Montrer que $s^2(\tau)=k\*y(\tau)$ sur l'arche de cyclo\"ide
$\tau \in ]-\pi,\pi[$, $k$ étant une constante à déterminer
en fonction de $R$.
\end{enumerate}

\subsection{Equations différentielles} \ \\
On lache à l'instant $t=0$ 
une masse $m$ en un point de l'arche de cycloïde
sans vitesse initiale, on néglige les frottements.
On repère la masse par son abscisse curviligne $s$,
sa vitesse est $v=ds/dt$ ($t$ est le temps, différent de $\tau$).
Les questions (1) à (5) proposent trois méthodes diff\'erentes
pour résoudre l'équation différentielle correspondante, une des
m\'ethodes suffit pour aborder les questions (6) et (7).
\begin{enumerate}
\item En utilisant que l'énergie totale
$E=\frac12mv^2+mgy $ est une intégrale
première du mouvement, montrer que l'abscisse curviligne
$s$ vérifie~:
\[ 
(*) \quad \left( \frac{ds}{dt} \right)^2+ \frac{g}{4R} s^2=C 
\]
\item Dériver (*). En admettant que $s$ n'est pas constant
sauf si $y$ est identiquement nul, en déduire une 
équation différentielle d'ordre 2
vérifiée par $s$ et résoudre cette équation.
\item Bonus: montrer que $s$ n'est pas constant
sauf si $y$ est identiquement nul en
appliquant le principe fondamental
de la dynamique (somme des forces=masse $\times$ acc\'el\'eration)
et en observant que la force de réaction 
de la courbe est portée par la normale à la courbe.
\item Quel est le signe de $C$~?
Résoudre directement (*) comme une
équation différentielle à variables séparables (on pourra
utiliser $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(x)$)
et retrouver le résultat précédent.
\item \'Etablir que le lagrangien du système vaut 
$$L(s,\dot{s},t)=\frac12m\dot{s}^2-mg\frac{s^2}{8R}$$
Donner l'équation d'Euler-Lagrange correspondante et retrouver le
résultat précédent.
\item Montrer que le mouvement est périodique, calculer la période 
du mouvement.
\item Si on lache simultanément 
deux masses en deux points de l'arche d'ordonnées $y_1$ et $y_2$ telles que
$0<y_1<y_2<2R$, laquelle des deux masses arrivera au point 
$(0,0)$ en premier~? (N.B.: on pourra supposer que les abscisses
initiales v\'erifient $x_1<0<x_2$ 
pour éviter une éventuelle collision!)
\end{enumerate}

\vfill

\pagebreak

%\hfill {\LARGE Correction } \hfill \
\section{Correction}

Le bar\^eme est sur 30 points (10 par partie), indiqu\'e entre
parenth\`ese apr\`es le num\'ero de question.
La note est obtenue en ajoutant les points en-dessous de 10 et 
les points au-dessus de 10 multipli\'es par .8.

{\bf 1. \'Equation diff\'erentielle}
\begin{enumerate}
\item (3.5) $x'{'}+4x=\cos(2t)$ est une
 \'equation diff\'erentielle lin\'eaire du second ordre \`a
  coefficients constants avec second membre.\\
 Solution g\'en\'erale
sans second membre~: \'equation caract\'eristique $r^2+4=0$
solutions $r_\pm=\pm2i$,
donc $x=A\cos(2t)+B\sin(2t)$. \\
Recheche d'une solution particuli\`ere~:
le second membre est de la forme
$\Re(e^{2it})$ avec $2i$ racine simple
de l'\'equation caract\'eristique, on cherche donc une solution
particuli\`ere pour le second membre $e^{2it}$ sous la forme
$x=cte^{2it}$ ($c$ \`a d\'eterminer), 
donc $x'=2icte^{2it}+ce^{2it}$ et $x'{'}=-4cte^{2it}+4ice^{2it}$ 
on remplace dans l'\'equation $x'{'}+4x=e^{2it}$ et on obtient
$4ic=1$, donc la solution particuli\`ere correspondant au second
membre $e^{2it}$ est $\frac{t}{4i}e^{2it}$, sa partie r\'eelle 
$\frac{t}{4}\sin(2t)$ est
solution particuli\`ere de l'\'equation $x'{'}+4x=\cos(2t)$.
La solution g\'en\'erale est donc 
$$\frac{t}{4}\sin(2t)+A\cos(2t)+B\sin(2t)$$
\item (3.5) $x'{'}+ax'+4x=\cos(2t)$ est du m\^eme type, la solution
  g\'en\'erale de l'\'equation sans second membre est obtenue
en r\'esolvant l'\'equation caract\'eristique $r^2+ar+4=0$,
on pose $\Delta=a^2-16$. Comme $a\in ]0,4[$, $\Delta<0$
il y a donc deux racines complexes conjugu\'ees 
$r_\pm=-\frac{a}{2}\pm i \frac{\sqrt{-\Delta}}{2}$, la solution
g\'en\'erale de l\'equation sans second membre est donc
$$x(t)=e^{-\frac{at}{2}}(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)), \quad 
\omega=\frac{\sqrt{16-a^2}}{2}$$
Pour trouver une solution particuli\`ere correspondant \`a $\cos(2t)$, 
comme $2i$ n'est pas solution de l'\'equation
caract\'eristique (puisque $a \neq 0$), on va choisir la premi\`ere
m\'ethode, on pose donc $x(t)=c\cos(2t)+d\sin(2t)$ (o\`u $c$ et $d$
sont des constantes \`a d\'eterminer), on sait que
$x'{'}+4x=0$, donc $(E)$ \'equivaut \`a $ax'=\cos(2t)$, soit
$c=0, d=\frac{1}{2a}$. 
Donc la solution de l'\'equation avec second membre est
$$ x(t)=\frac{\sin(2t)}{2a} + e^{-\frac{at}{2}}(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)) $$
\item (1) la premi\`ere condition initiale $x(0)=0$ donne $A=0$, donc
$x'(t)=\frac{2}{2a}\cos(2t)+B( e^{-at/2} \sin(\omega t))'$
en 0, $1/a=1/a+B\omega$ donc $B=0$, la solution cherch\'ee est
donc $x(t)=\frac{\sin(2t)}{2a}$
\item (0.5) Le maximum $M_a$ de cette solution est $\frac{1}{2a}$, atteint par
  exemple pour $t=\pi/4 \geq 0$
\item (1.5) La limite de $M_a$ lorsque $a$ tend vers 0 est $+\infty$.\\
Ceci reste vrai pour des conditions initiales ind\'ependantes de $a$,
car les solutions de $x'{'}+ax'+4x=0$ tendent vers 0 lorsque $t$
tend vers l'infini, le comportement en temps grand des solutions de
$x'{'}+ax'+4x=\cos(2t)$
est donc identique \`a celui de la solution particuli\`ere
$\sin(2t)/(2a)$.\\
Remarque~: on voit sur cet exemple que le comportement du maximum
de la solution de $(E)$ lorsque $a$ tend vers 0 est analogue \`a celui
de l'\'equation limite $a=0$ \'etudi\'ee en premi\`ere question.
\end{enumerate}


{\bf 2.1 Cyclo\"ide} $(x,y)=(R(\tau+\sin(\tau)),R(1-\cos(\tau)))$
\begin{enumerate}
\item (2)
On a $x(\tau + 2\pi)=x(\tau)+2\pi R$ et $y(\tau+2\pi)=y(\tau)$
donc la courbe compl\`ete s'obtient \`a partir de l'arc sur $[-\pi,\pi]$ par
des translations de vecteur $2k\pi R$ pour $k$ entier.
On a aussi $x(-\tau)=-x(\tau)$ et $y(-\tau)=y(\tau)$, donc la courbe sur
$[-\pi,0]$ se d\'eduit de celle sur $[0,\pi]$ par sym\'etrie d'axe
$Oy$.
\item (4) On a $x'=R(1+\cos(\tau))$ et $y'=R\sin(\tau)$.  
Sur $[0,\pi]$, $x'$ et $y'$ sont croissants. $x'$ s'annule en
$\tau=\pi$, $y'$ s'annule en $\tau=0,\pi$, on a donc une
tangente horizontale pour $\tau=0$ en $x(0)=0, y(0)=0$
et un point singulier pour $\tau=\pi$ en $x(\pi)=\pi, y(\pi)=2$.
Au point singulier, $x'{'}=-\sin(\tau)=0$ et $y'{'}=\cos(\tau)=-1$,
la tangente est verticale (si on veut d\'eterminer la nature du point
singulier il faut encore calculer $x'{'{'}}, y'{'{'}}$ qui est
horizontal donc non vertical, il s'agit d'un rebroussement de
premi\`ere esp\`ece).
\includegraphics[width=\textwidth]{m237fig}
\item (2) On a 
\begin{eqnarray*}
ds&=&\sqrt{x'^2+y'^2}
  d\tau=R\sqrt{(1+\cos(\tau))^2+\sin(\tau)^2} d\tau\\
&=&R\sqrt{2+2\cos(\tau)} d\tau
=R \sqrt{2+2(2\cos(\frac{\tau}{2})^2-1)} d\tau
=2R\cos(\frac{\tau}{2}) d\tau
\end{eqnarray*}
puisque $\cos(\frac{\tau}{2}) \geq 0$ si $\tau \in
[-\pi,\pi]$.\\
Le rep\`ere de Fr\'enet a donc comme premier vecteur
$$T=\frac{1}{2R\cos(\frac{\tau}{2})}(R(1+\cos(\tau)),R\sin(\tau))$$
Comme $1+\cos(\tau)=2\cos^2(\frac{\tau}{2})$ et 
$\sin(\tau)=2\sin(\frac{\tau}{2})\cos(\frac{\tau}{2})$, on en d\'eduit
que\\ 
$T=(\cos(\frac{\tau}{2}),\sin(\frac{\tau}{2}))$ et
$N=(-\sin(\frac{\tau}{2}),\cos(\frac{\tau}{2}))$.
\item (2) On int\`egre $ds$ \`a partir de $\tau=0$
$$ s(\tau)=\int_0^\tau ds= 2R\int_0^\tau \cos(\frac{\tau_1}{2}) d\tau_1
= 4R\sin(\frac{\tau}{2}) $$
Donc 
$$s^2=16R^2 \sin^2(\frac{\tau}{2})=8R^2(1-\cos(\tau)=8Ry$$
\end{enumerate}

{\bf 2.2 }
\begin{enumerate}
\item (1) On a $v=ds/dt$ et $y=\frac{s^2}{8R}$ donc 
$$E=\frac12mv^2+mgy = \frac12m \left( \frac{ds}{dt} \right)^2
+mg\frac{s^2}{8R}$$
est constant d'o\`u la relation (*) en simplifiant par $m/2$.
\item (2) On d\'erive par rapport au temps
$$ 2\frac{d^2s}{dt^2} \frac{ds}{dt}+ \frac{g}{2R} s \frac{ds}{dt}=0$$
on simplifie par $ds/dt$ suppos\'e non identiquement nul ($s$ non
constant), d'o\`u
$$ s'{'}+\frac{g}{4R} s=0$$
qui est une \'equation lin\'eaire du second ordre \`a coefficients
constants sans second membre, la solution est $s(t)=A\cos(\omega
t+\phi)$ avec $\omega=\sqrt{\frac{g}{4R}}$.
\item (1) la somme des forces est non nulle, sauf en l'origine puisque le
  poids est vertical et la r\'eaction est port\'ee par $N$ la normale \`a
la cyclo\"ide, qui n'est verticale que pour $\tau=0$,
donc $s$ ne peut pas \^etre constant (sinon l'acc\'el\'eration serait nulle).
\item (2.5) $C$ est positif (somme de carr\'es). On a
$$ \frac{ds}{dt}=\sqrt{C-\frac{g}{4R} s^2} \ \Rightarrow \
 \frac{ds}{\sqrt{C-\frac{g}{4R} s^2}}=dt $$
On int\`egre, en faisant le changement de variable $s=\sqrt{4RC/g}S$
$$ \int \frac{\sqrt{4RC/g} dS}{\sqrt{C(1-S^2)}} = \int dt$$
donc $\sqrt{4R/g} \arcsin(S) = t - t_0$ et 
$s=\sqrt{4RC/g}S=\sqrt{4RC/g} \sin(\sqrt{g/(4R)}(t-t_0)) $ 
\item (1.5) Le lagrangien de la m\'ecanique classique est la diff\'erence de
  l'\'energie cin\'etique et potentielle donc
$$L(s,\dot{s},t)=\frac12m\dot{s}^2-mgy=
\frac12m\dot{s}^2-mg\frac{s^2}{8R}$$
On a 
$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{s}} = \frac{\partial
  L}{\partial s}$$
donc
$$ \frac{d}{dt} (m\dot{s})=-mg\frac{s}{4R}$$
on retrouve bien l'\'equation pr\'ec\'edente.
\item (1) Le mouvement est p\'eriodique de p\'eriode 
$T=2\pi/\omega=2\pi \sqrt{\frac{4R}{g}}$.
\item (1) La p\'eriode ne d\'epend pas du point de d\'epart. Par
  sym\'etrie, il faut un quart de p\'eriode pour atteindre l'origine
donc les 2 masses arrivent en m\^eme temps.
\end{enumerate}

\section{Commentaires}
La moyenne et la m\'ediane sont de 8, l'\'ecart-type de 4.1, il y a 24 notes
au-dessus de la moyenne sur 89 copies, ce qui est assez d\'ecevant. 
Le sujet \'etait long, mais 
avec le bar\^eme adopt\'e, la barre de 10 \'etait largement
accessible~: r\'esolution
des \'equations sans second membre du 1 (2.5 points), sym\'etries
(au moins la parit\'e/imparit\'e 1 point sur 2), trac\'e de la
cyclo\"ide (3 points sur 4 si on ne trouvait pas la tangente en
$\pi$, la calculatrice pouvait utilement servir \`a repr\'esenter
la courbe correctement!), 
calcul du rep\`ere de Fr\'enet, $ds$ et $s$ (2 points sur 4
si on ne simplifiait pas), question 1 de la partie 2.2
(1 point pour remplacer $y$ par sa valeur!) et d\'ebut de la question
4 (variables s\'eparables, encore 1 point). La solution particuli\`ere
du 1.2 ne demandait pas beaucoup de calculs (2 points) (les deux
\'equations pouvaient d'ailleurs \^etre r\'esolues avec
\verb|desolve| sur les calculatrices formelles pr\^et\'ees aux
\'etudiants), 
la condition initiale du 1.3 non plus (1 points), ni le 2.2.2 (2 points)
ou le 2.2.5 (1.5). La r\'esolution de 2.2.2 ou 2.2.4 ou 2.2.5
permettait de r\'epondre \`a 2.2.6 (1 point). 

Pour l'exercice 1~:
Une majorit\'e des \'etudiants calcule le discriminant pour r\'esoudre
$r^2+4=0$ ... et beaucoup trop se trompent ensuite, finalement
ils s'en sortent mieux pour $r^2+ar+4=0$! Je n'avais pas
identifi\'e cette r\'esolution comme un point d\'elicat \`a ce niveau...
Certains ont utilis\'e la
variation des constantes pour trouver la solution particuli\`ere. 
Les calculs sont plus ardus qu'en posant la forme 
de la solution particuli\`ere, pour $x'{'}+4x=\cos(2t)$, ainsi en posant 
$x(t)=A(t)\cos(2t)+B(t)\sin(2t)$ et $A'\cos(2t)+B'\sin(2t)=0$, 
donc $x'=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)$ puis 
$x'{'}=-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)-2A'\sin(2t)+2B'\cos(2t)$
et on remplace dans l'\'equation
$$x'{'}+4x=\cos(2t)=-2A'\sin(2t)+2B'\cos(2t)$$
on obtient un syst\`eme de deux \'equations \`a 2 inconnues
en $A'$ et $B'$, dont la solution est $A'=-\cos(2t)\sin(2t)/2,
B'=\cos(2t)^2/2$, on lin\'earise $A'=-\sin(4t)/4, B'=\frac{1+\cos(4t)}{4}$
pour int\'egrer $A=\cos(4t)/16, B=t/4+\sin(4t)/16$ et on remplace
dans 
$$x(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)=\frac{t}{4}\sin(2t)+
\frac{1}{16}(\cos(4t)\cos(2t)+\sin(4t)\sin(2t))$$

Exercice 2.1~: tr\`es peu ont simplifi\'e $ds$ \`a l'aide
de la formule de trigonom\'etrie $\cos(t)=2\cos(t/2)^2-1$ (moins de
1 sur 10), alors que la longueur de cyclo\"ide (renvers\'ee) \'etait
\'etudi\'ee dans la feuille d'exercices, et que cette m\^eme
formule avait \'et\'e utilis\'ee dans le premier partiel.
Des erreurs \'etonnantes \`a ce niveau, comme intervertir $\int$ et carr\'e.

Exercice 2.2~: beaucoup de confusion dans les variables de
d\'erivation (le temps, $\tau$ ou $s$). Tr\`es peu de bonnes
r\'eponses \`a la r\'esolution de l'\'equation comme \'equation
\`a variables s\'eparables en 2.2.4. Plusieurs \'etudiants entament un
sch\'ema de r\'esolution calqu\'e sur le lin\'eaire (r\'esolution
sans second membre...). Tr\`es peu de r\'eponses aux questions
2.2.6 et 2.2.7 (et la plupart du temps fausse pour 2.2.7).

\end{document}

\section{Système différentiel (6 points)}
Résoudre le système différentiel
$$ Y'=AY + \left(\begin{array}{c}
\cos(t) \\
\sin(t)
\end{array}\right), 
\quad A=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-2 & -1
\end{array}\right), Y(0)= \left(\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}\right) $$
Le comportement asymptotique de la solution dépend-il 
de la condition initiale~?


