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\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

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\textheight 20cm

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}


{\footnotesize\noindent
Universit\'e Joseph Fourier, Grenoble I   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence2, mat237                       \hfill $\bullet$ \hfill
Ann\'ee 2015/2016           \\[-2mm]\hrule}

\begin{center}
 Interrogation du 4 d\'ecembre, 30 minutes. \\
%Ce sujet comporte 2 exercices sur {\bf 1 page}.\\
  {\it Documents, calculatrices et portables interdits. }
  
\end{center}

\noindent \underline{NOM, Pr\'enom:}
\vspace{1cm}


\begin{enumerate}
\item La forme diff\'erentielle $\omega_1=ydx-xdy$ est-elle ferm\'ee sur
son domaine de d\'efinition~?  exacte sur $\R^2$~? 
Si oui en donner un potentiel.
\vspace{3cm}
\item M\^eme question pour  $\omega_2=ydx+xdy$
\vspace{3cm}
\item  Exprimer $\int_\gamma \omega_1 $ sous forme d'une int\'egrale
r\'eelle pour $\gamma$ l'arc de courbe ferm\'e $x(t)=\cos(t),
y(t)=\sin(t)^3, t \in [0,\pi]$. 
D\'eterminer l'aire du domaine bord\'e par $\gamma$. 
On donne $\int_0^{\pi} \cos(t)^4 dt = \int_0^{\pi} \sin(t)^4 \ dt =
3\pi/8$ et $\int_0^{\pi} \sin(t)^2 \cos(t)^2 = \pi/8$.
\vspace{5cm}
\item 
Donner la nature de l'ensemble des solutions de $ty''+(t^2-1)y'+y=0$
\vspace{3cm}
\item
Donner la solution g\'en\'erale de $y'=t^2y$
\vspace{4cm}
\item Donner la solution g\'en\'erale de $y''+4y=\sin(t)$. 
\vspace{6cm}
\item D\'eterminer les solutions
  constantes de l'\'equation $y'=ty(y-1)$. On consid\`ere
la solution de cette \'equation avec condition initiale $y(0)=1/2$.
Que peut-on dire de son comportement lorsque $t \rightarrow +\infty$~?
\end{enumerate}

\end{document}


