\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[10pt,a4paper,twoside]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym}
\usepackage{a4,mathptmx,helvet,courier}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\textheight 20cm

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Grenoble Alpes   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence2, mat307                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2016/17           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
 Examen du 29 juin 2017, de 7h30 à 9h30 \\
%Ce sujet comporte 2 exercices sur {\bf 1 page}.\\
  {\it Calculatrices et 
r\'esum\'e de cours manuscrit format A4 recto-verso autorisés. 
Autres documents et portables interdits. \\
Ce sujet comporte deux pages. Le barême est indicatif.}
  \end{center}

\vspace{0.5cm}

\section{Courbe en param\'etriques (12 points)}
Cet exercice est consacr\'e \`a l'\'etude de la courbe 
$$ x(t)=\cos(t)^3-\cos(t), \quad y(t)=\sin(t)^3+\sin(t)$$
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de d\'efinition commun de $x$ et $y$. Montrer qu'on
peut restreindre le domaine d'\'etude \`a $[0,\pi/2]$ gr\^ace aux sym\'etries de la
courbe que l'on justifiera. %2
\item Calculer $dx/dt$ et $dy/dt$. La courbe admet-elle des points
singuliers~? Si oui, d\'eterminer la tangente \`a la courbe en ces
points. %1
\item D\'eterminer le signe de $dx/dt$ et $dy/dt$ sur $[0,\pi/2]$. %1
Dresser le double tableau de variations et repr\'esenter l'allure de
la courbe en indiquant les points de param\`etres $0, \pi/2, \pi$ et
le sens de parcours. %2
\item D\'eterminer la longueur de l'arc de courbe entre les points de
  param\`etre $t=0$ et $t=\pi/2$ sous la forme d'une int\'egrale dont
on ne cherchera pas \`a d\'eterminer la valeur exacte.
D\'eterminer \`a la calculatrice une valeur approch\'ee de cette
longueur, v\'erifier la vraissemblance du r\'esultat sur votre
repr\'esentation graphique.  %(2.24...)
En d\'eduire la longueur totale de la courbe. %2
\item D\'eterminer le rep\`ere de Frenet, la courbure et le cercle
  osculateur au point de param\`etre  $t=\pi/4$, tracer le
  cercle sur votre repr\'esentation graphique. %2, centre (-1/2,0) rayon 1/2 
\item Exprimer l'aire situ\'ee \`a l'int\'erieur de l'arc de courbe 
entre les points de param\`etre 0 et $\pi$ \`a l'aide d'une
int\'egrale curviligne puis d'une int\'egrale. 
D\'eterminer la valeur de cette int\'egrale 
\`a la calculatrice en indiquant la commande utilis\'ee. V\'erifier
la vraissemblance du r\'esultat sur votre repr\'esentation graphique. %2
\end{enumerate}

\vfill
\begin{center} TSVP \end{center}

\pagebreak

\section{\'Equation diff\'erentielle (11 points)}
On \'etudie dans cet exercice pour $\lambda $ un param\`etre r\'eel
l'\'equation diff\'erentielle d'inconnue la fonction $y(t)$~:
$$ \frac{dy}{dt}=y^3-\lambda y$$
\begin{enumerate}
\item Quel est le type de cette \'equation diff\'erentielle~? % 0.5
\item D\'eterminez les solutions stationnaires de cette \'equation
diff\'erentielle, on discutera en fonction de $\lambda$. % 1
\item R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle pour $\lambda=0$.
Les solutions sont-elles born\'ees~? \\ % 1.5
{\bf On suppose dans la suite que $\lambda \neq 0$}
\item On suppose que $y(0)$ est proche de 0.
Lorsque $t$ est proche de 0, on s'attend 
\`a ce que $y^3$ soit n\'egligeable devant $y$. \\
Quelle
est la solution g\'en\'erale de $\frac{dy}{dt}=-\lambda y$~?\\
Discuter en fonction de $\lambda$ si la solution se rapproche
de 0 (\'equilibre stable) ou
s'\'eloigne de 0 (\'equilibre instable) lorsque $t$ augmente. %1
\item On suppose dans cette question que $\lambda>0$ et 
que $y(0) \in [-\sqrt{\lambda},\sqrt{\lambda}]$. \\
Montrer
sans calculer explicitement la solution que $y(t)$ reste born\'ee. \\ % 1
Conjecturer l'allure du graphe lorsque la condition initiale 
$y(0)$ est positive et proche de 0
(repr\'esenter l'allure sur la copie). %1
\item On suppose dans cette question que $y(0)>0$.\\
Montrer que $y(t)>0$ pour tout $t$.\\
En d\'eduire le sens de variations de $y$ lorsque $\lambda<0$. \\
La solution est-elle
born\'ee pour $t>0$~?\\ % 1.5
Conjecturer l'allure du graphe lorsque la condition initiale 
$y(0)$ est positive et proche de 0
(repr\'esenter l'allure sur la copie). %1
\item On suppose $\lambda >0$ et $0 < y(0)  < \sqrt\lambda$. 
R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle.\\
Indications~: on pourra d\'eterminer 
\`a la calculatrice en donnant la commande utilis\'ee~:
$$ \int \frac{1}{x^3-\lambda x} \, dx $$
%=\frac{\ln\left(|x^{2}-l|\right)}{2 l}-\frac{\ln\left(|x|\right)}{l}$$
et on pourra exprimer $e^{2\lambda t}$ en fonction de $y$. %2.5
\end{enumerate}

\end{document}



