\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym}
\usepackage{a4,mathptmx,helvet,courier}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%\textheight 20cm
\input{giacfr.tex}
\usepackage[auto]{mathjax}
\giacmathjax
%HEVEA\renewcommand{\footertext}{}

\begin{document} 
\begin{giacjshere}

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Universit\'e Grenoble Alpes   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence2, mat307                       \hfill $\bullet$ \hfill
Ann\'ee 2016/17           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
 Examen du 29 juin 2017, de 7h30 \`a 9h30 \\
%Ce sujet comporte 2 exercices sur {\bf 1 page}.\\
  {\it Calculatrices et 
r\'esum\'e de cours manuscrit format A4 recto-verso autoris\'es. 
Autres documents et portables interdits. \\
Ce sujet comporte deux pages. Le bar\^eme est indicatif.}
  \end{center}

\vspace{0.5cm}

\section{Courbe en param\'etriques (12 points)}
Cet exercice est consacr\'e \`a l'\'etude de la courbe 
$$ x(t)=\cos(t)^3-\cos(t), \quad y(t)=\sin(t)^3+\sin(t)$$
\begin{enumerate}
\item {\bf Donner le domaine de d\'efinition commun de $x$ et $y$. Montrer qu'on
peut restreindre le domaine d'\'etude \`a $[0,\pi/2]$ gr\^ace aux sym\'etries de la
courbe que l'on justifiera.} \\%2
Domaine commun $\mathbb{R}$, p\'eriodicit\'e $2\pi$, $x$ est paire et $y$
impaire, donc on peut se restreindre \`a $[-\pi,\pi]$ par
p\'eriodicit\'e puis sur $[0,\pi]$ par parit\'e, l'arc de courbe 
sur $[-\pi,0]$ est obtenu par sym\'etrie par rapport \`a $Ox$
de l'arc de courbe sur $[0,\pi]$. On a aussi
$x(\pi-t)=-x(t), y(\pi-t)=y(t)$ donc on peut se restreindre \`a
$[0,\pi/2]$ avec une sym\'etrie de la courbe par rapport \`a $Oy$.
\item {\bf Calculer $dx/dt$ et $dy/dt$. La courbe admet-elle des points
singuliers~? Si oui, d\'eterminer la tangente \`a la courbe en ces
points.} %1
$$ x'=\sin(t)(1-3\cos(t)^2), \quad y'=\cos(t)(1+3\sin(t)^2)$$
Donc $y'$ s'annule lorsque $\cos(t)=0$, dans ce cas $x'=\sin(t)\neq
0$, il n'y a donc pas de point singulier.
\item {\bf D\'eterminer le signe de $dx/dt$ et $dy/dt$ sur $[0,\pi/2]$. %1
Dresser le double tableau de variations et repr\'esenter l'allure de
la courbe en indiquant les points de param\`etres $0, \pi/2, \pi$ et
le sens de parcours.}\\ %2
$y'\geq 0$ et s'annule en $\pi/2$, $x'$ est nul en 0 et ailleurs est
du signe de $1-3\cos(t)^2$ donc positif sur $]0,\arccos(1/\sqrt{3})[$
et n\'egatif ailleurs.
\giacinputbigmath{X,Y:=[cos(t)^3-cos(t),sin(t)^3+sin(t)];tabvar([X,Y],t=0..pi/2)}
\giacinputbig{G:=plotparam([X,Y],t=-pi/2..3*pi/2,affichage=arrow_line);
M:=element(G,pi/4);
C:=cercle_osculateur(G,t,pi/4,affichage=rouge)}
\item {\bf D\'eterminer la longueur de l'arc de courbe entre les points de
  param\`etre $t=0$ et $t=\pi/2$ sous la forme d'une int\'egrale dont
on ne cherchera pas \`a d\'eterminer la valeur exacte.
D\'eterminer \`a la calculatrice une valeur approch\'ee de cette
longueur, v\'erifier la vraissemblance du r\'esultat sur votre
repr\'esentation graphique.  %(2.24...)
En d\'eduire la longueur totale de la courbe.} \\ %2
\giacinputbigmath{l:=int(sqrt(diff(X,t)^2+diff(Y,t)^2),t,0,pi/2); evalf(l); evalf(4*l);}
L'arc de courbe entre 0 et $\pi/2$ a en effet une longueur un peu sup\'erieure
\`a 2 puisqu'on relie $(0,0)$ \`a $(0,2)$ 
sans beaucoup s'\'eloigner de l'axe $Oy$.
\item {\bf D\'eterminer le rep\`ere de Frenet, la courbure et le cercle
  osculateur au point de param\`etre  $t=\pi/4$, tracer le
  cercle sur votre repr\'esentation graphique.}\\ %2, centre (-1/2,0) rayon 1/2 
En $t=\pi/4$, on est au point $M(-\sqrt{2}/4,3\sqrt{2}/4)$, 
un vecteur directeur
de la tangente est $X'=-\sqrt{2}/4$ et $Y'=5\sqrt{2}/4$
donc $X'^2+Y'^2=52/16=13/4$ et
$$ \vec{T} =\frac{1}{\sqrt{26}}(-1,5), \quad \vec{N}=\frac{1}{\sqrt{26}}(-5,-1)$$
on v\'erifie
\giacinputbigmath{simplify(coordonnees(M));pente(tangente(G,pi/4))}
La courbure se calcule par exemple avec la formule 
$\kappa=(X'Y''-X''Y')/\sqrt{X'^2+Y'^2}$
\giacinputbigmath{kappa:=simplify(courbure(G,t,\pi/4))}
Le centre du cercle osculateur est $M+\kappa \vec{N}$
\giacinputbigmath{coordonnees(centre(C)),simplify(rayon(C))}
\item {\bf Exprimer l'aire situ\'ee \`a l'int\'erieur de l'arc de courbe 
entre les points de param\`etre 0 et $\pi$ \`a l'aide d'une
int\'egrale curviligne puis d'une int\'egrale.}\\ 
Attention, la courbe est parcourue dans le sens inverse du sens
trigonom\'etrique, il faut changer le signe quand on applique
la formule de Green-Riemann~:
$$ -\int x dy = -\int_0^\pi (\cos(t)^3-\cos(t))\cos(t)(1+3\sin(t)^2) \, dt $$
{\bf D\'eterminer la valeur de cette int\'egrale 
\`a la calculatrice en indiquant la commande utilis\'ee. V\'erifier
la vraissemblance du r\'esultat sur votre repr\'esentation graphique.}\\ %2
\giacinputbigmath{a:=-int(X*diff(Y,t),t,0,pi); evalf(a);}
L'aire est proche de 1 ce qui parait vraissemblable.
\end{enumerate}


\section{\'Equation diff\'erentielle (11 points)}
On \'etudie dans cet exercice pour $\lambda $ un param\`etre r\'eel
l'\'equation diff\'erentielle d'inconnue la fonction $y(t)$~:
$$ \frac{dy}{dt}=y^3-\lambda y$$
\begin{enumerate}
\item {\bf Quel est le type de cette \'equation diff\'erentielle~?}\\ % 0.5
\'Equation autonome, \`a variables s\'eparables.
\item {\bf D\'eterminez les solutions stationnaires de cette \'equation
diff\'erentielle, on discutera en fonction de $\lambda$.} % 1
$$ 0=\frac{dy}{dt}=y^3-\lambda y = y(y^2-\lambda)$$
donc on a 1 ou 3 solutions stationnaires~: $y=0$
dans tous les cas, et $y=\pm \sqrt{\lambda}$ si $\lambda>0$.
\item {\bf R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle pour $\lambda=0$.}\\
Si $y$ est non nul en un $t_0$ alors il reste  non nul
(th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz) donc 
$$ \frac{dy}{y^3}= dt \Rightarrow -\frac{1}{2y^2}=t+C \Rightarrow 
y(t)=\pm\frac{1}\sqrt{-2(t+C)}$$
d\'efinie pour $t<-C$.\\
{\bf Les solutions sont-elles born\'ees~?} \\ % 1.5
Non, si $t \rightarrow -C$, $y(t)$ tend vers plus ou moins l'infini.\\
{\bf On suppose dans la suite que $\lambda \neq 0$}
\item {\bf On suppose que $y(0)$ est proche de 0.
Lorsque $t$ est proche de 0, on s'attend 
\`a ce que $y^3$ soit n\'egligeable devant $y$. \\
Quelle
est la solution g\'en\'erale de $\frac{dy}{dt}=-\lambda y$~?\\}
$$ y(t)=Ke^{-\lambda t}$$
{\bf Discuter en fonction de $\lambda$ si la solution se rapproche
de 0 (\'equilibre stable) ou
s'\'eloigne de 0 (\'equilibre instable) lorsque $t$ augmente.}\\ %1
Si $\lambda>0$, la solution tend vers 0 lorsque $t$ tend vers $+\infty$,
si $\lambda<0$, la solution tend vers $\pm \infty$.
\item {\bf On suppose dans cette question que $\lambda>0$ et 
que $y(0) \in [-\sqrt{\lambda},\sqrt{\lambda}]$. \\
Montrer
sans calculer explicitement la solution que $y(t)$ reste born\'ee.} \\ % 1
C'est une cons\'equence du th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz et du
fait que $y(t)=\pm \sqrt{\lambda}$ est solution stationnaire, toute
solution avec une condition initiale dans l'intervalle y reste donc.\\
{\bf Conjecturer l'allure du graphe lorsque la condition initiale 
$y(0)$ est positive et proche de 0
(repr\'esenter l'allure sur la copie).}\\ %1
On peut conjecturer que tout se passe comme si on pouvait n\'egliger le terme
en $y^3$, on se ram\`ene \`a la question pr\'ec\'edente, la solution
tend (exponentiellement vite) vers 0 (et l'hypoth\`ese $y(0)$ proche de 0
reste bien v\'erifi\'ee).
\giacslider{y0}{-2}{2}{0.1}{0.4}{lambda:=3.0;gl_x=-1..5; gl_y=-3..3;
plotfield(y^3-lambda*y,[t=-1..5,y=-3..3],xstep=0.4,ystep=0.4);
plotode(y^3-lambda*y,[t=-1..5,y],[0,y0],tstep=0.1,color=red)
}

\item {\bf On suppose dans cette question que $y(0)>0$.\\
Montrer que $y(t)>0$ pour tout $t$.}\\
Cela r\'esulte \`a nouveau du th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz
et du fait que $y(t)=0$ est solution stationnaire.\\
{\bf En d\'eduire le sens de variations de $y$ lorsque $\lambda<0$. }\\
On a alors $y'>0$ puisque $y^3>0$ et $-\lambda y>0$ donc $y$ croit.\\
{\bf La solution est-elle born\'ee pour $t>0$~?}\\ % 1.5
La solution ne peut pas \^etre born\'ee, sinon comme $y(t)$ est croissante,
elle convergerait vers une limite finie, qui serait solution stationnaire.\\
{\bf Conjecturer l'allure du graphe lorsque la condition initiale 
$y(0)$ est positive et proche de 0
(repr\'esenter l'allure sur la copie).}\\ %1
On va s'\'eloigner de plus en plus rapidement de 0, au d\'ebut exponentiellement
vite, apr\`es encore plus vite.
\giacinputbig{lambda:=-0.5;y0:=-0.1;plotode(y^3-lambda*y,[t=-1..5,y],[0,y0],tstep=0.1,color=red)}
\item {\bf On suppose $\lambda >0$ et $0 < y(0)  < \sqrt\lambda$. 
R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle.\\
Indications~: on pourra d\'eterminer 
\`a la calculatrice en donnant la commande utilis\'ee~:
$$ \int \frac{1}{x^3-\lambda x} \, dx $$
%=\frac{\ln\left(|x^{2}-l|\right)}{2 l}-\frac{\ln\left(|x|\right)}{l}$$
et on pourra exprimer $e^{2\lambda t}$ en fonction de $y$.}\\ %2.5
On sait que $y(t) \in ]0,\sqrt\lambda[$ pour tout temps, 
donc $y^3-\lambda y\neq 0$, on a donc
$$ \frac{dy}{y^3-\lambda y} = dt$$
on int\`egre, \`a gauche on calcule la primitive par la commande
\giacinputbigmath{assume(lambda>0); p:=int(1/(y^3-lambda*y),y)}
d'o\`u on tire, en observant que $y^2-\lambda<0$ pour enlever la
valeur absolue
$$ \ln\left(\frac{\lambda-y^2}{y^2}\right)=2\lambda (t+C)$$
puis en prenant les exponentielles et en posant $e^{2\lambda C}=K$,
$$ \frac{\lambda-y^2}{y^2}=Ke^{2\lambda t} 
\Rightarrow
y^2(1 +Ke^{2\lambda t}) = \lambda =0 $$
finalement, comme $y>0$, on a~:
$$ y=\sqrt{\frac{\lambda}{1+Ke^{2\lambda t}}} $$ 
V\'erification avec le trac\'e pour $\lambda=0.5$ et $K=0.2$
(solution calcul\'ee num\'eriquement par \verb|plotode| et 
solution exacte, les deux graphes sont superpos\'es)
\giacinputbig{gl_x=-1..5; gl_y=-1..7;lambda:=0.5;K:=0.2;
y0:=sqrt(lambda/(1+K));
plotode(y^3-lambda*y,[t=-1..5,y],[0,y0],tstep=0.1,affichage=red);
plot(sqrt(lambda/(1+K*exp(2*lambda*t))),t=-1..5)}

\end{enumerate}

\end{giacjshere}
\end{document}