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 \fi

\newtheorem{rem}{Remarque}
\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\faux}{$\square\;$}
\newcommand{\vrai}{$\square\;$}
%\newcommand{\vrai}{$\boxtimes\;$}
%\newcommand{\item}{\item \faux}
%\newcommand{\item}{\item \faux}

\newtheorem{exo}{Exercice}[section]

\title{TP de math\'ematiques.}

\author{Licence 2-Mat 237}
\date{2013/4}

\makeindex

\begin{document}
\topmargin -1 cm
\textheight 23cm
\textwidth 16.5cm \columnsep 10pt \columnseprule 0pt

%\maketitle
\noindent Mat237 \hfill {\bf TP} \hfill UJF

%\tableofcontents

\section{Introduction}
Il y a 4 s\'eances de TP en mat237. L'\'evaluation se fait
pendant la derni\`ere s\'eance, typiquement avec
un ou deux exercices tir\'es au sort du type d'un des TP ou d'un controle 
continu d'une ann\'ee pr\'ec\'edente, avec des calculs qui
peuvent \^etre plus compliqu\'es. Pendant l'\'evaluation, 
les \'etudiants peuvent poser des questions 
comme dans un TP normal pendant
la premi\`ere partie de la s\'eance, 
\`a la fin de la s\'eance, l'enseignant regarde
la session r\'ealis\'ee par le bin\^ome (graphes, scripts)
et pose \'eventuellement
des questions, le bin\^ome rend une copie r\'edig\'ee
en r\'eponse aux questions math\'ematiques,
comme pour un autre controle, mais
au lieu de donner le d\'etail des calculs \`a la main, 
on donne l'instruction utilis\'ee sur le logiciel
et directement le r\'esultat.
Au vu du d\'eroulement de la s\'eance et de la copie, une note
sur 5 est attribu\'ee pour int\'egration dans la note CC2,
cette note peut \^etre diff\'erent entre les
deux \'etudiants d'un bin\^ome d\'es\'equilibr\'e.

Vous pouvez sauter le reste de l'introduction, parcourir
rapidement le TP1 et passer au TP2 si vous avez suivi le TP 
facultatif de calcul formel en mat115.

Un logiciel de calcul formel permet de faire des manipulations
alg\'ebriques sans avoir \`a effectuer d'approximation num\'erique,
par exemple calculer la d\'eriv\'ee ou la primitive d'une fonction,
r\'esoudre certaines \'equations diff\'erentielles, etc. Il permet
\'egalement de faire des calculs num\'eriques, ainsi que des repr\'esentations
graphiques, de la g\'eom\'etrie, ....
Nous utiliserons Xcas qui est un logiciel libre.
Pour lancer Xcas au DLST~: allumez le PC et l'\'ecran si n\'ecessaire.
Connectez-vous sur Windows, session E (choix par défaut) puis entrez
votre {\tt nom\_d\_utilisateur\_ujf} suivi de votre {\tt mot\_de\_passe}
puis cliquez sur l'icone \verb|Xcas| du bureau.\\
Pour utiliser Xcas sur votre ordinateur personnel, vous pouvez soit
ouvrir un navigateur compatible (Firefox, Safari ou Chrome)~:
\verb|www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~parisse/xcasfr.html|
soit l'installer en suivant les instructions ici~:
\verb|www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~parisse/install_fr.html|
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{demarr1}
\end{center}
% {\bf Remarque}: certaines commandes peuvent provoquer un bug dans la 
% version install\'ee au DLST, on peut le contourner par la commande
% \verb|autosimplify(nop)|
% \begin{itemize}
% \item Sous Windows (en installation locale), 
% on clique sur l'icone \verb|xcasfr| du bureau.
% \item Sous Linux, on clique sur Xcas du menu
% Education (ou sur l'icone de Xcas si elle apparait). 
% Sinon, ouvrir un terminal et taper \verb|xcas &|.
% \item sur Mac, cliquez sur Xcas dans le menu Applications puis
%   \verb|/usr/bin| du Finder.
% \end{itemize}
Lors de la
premi\`ere utilisation, choisissez {\tt Xcas} lorsqu'on vous demande
de choisir une syntaxe (sauf si vous connaissez le langage Maple).
Vous pouvez ensuite cliquer sur Oui pour faire 
apparaitre le tutoriel dans le navigateur, ou le retrouver
depuis le menu Aide, Debuter en calcul formel.


\section{TP 1}
Si le tutoriel n'est pas charg\'e dans le navigateur, 
vous pouvez l'ouvrir depuis le menu Aide, Debuter en calcul formel.
Suivez les instructions donn\'ees dans la section Pour commencer
et la section Les objets du calcul formel.
Ensuite vous pouvez continuer la lecture du tutoriel ou passer 
aux exercices du TP, en revenant au tutoriel ou en consultant
le menu Outils, le menu Cmds, ou l'aide
de Xcas pour trouver les bonnes commandes. 
Si vous devez
r\'e-utiliser un r\'esultat, donnez-lui un nom de variable
(par exemple \verb|a:=...|).
Pour lib\'erer une variable de son contenu, utiliser \verb|purge()|.

\begin{enumerate}
\item \'Ecrire le polyn\^ome $(x+3)^7 \times (x-5)^6$ selon les puissances
d\'ecroissantes de $x$.

\item Simplifier les expressions suivantes:
\[ \quad \sqrt{3+2\sqrt{2}},
\quad \frac{1+\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}, \quad
e^{i\pi/6}, \quad 4\mbox{atan}(\frac{1}{5})-\mbox{atan}(\frac{1}{239}) \]

\item Factoriser~:
\[ x^{4}+x^{3}-2x^{2}-3 x-3, \quad x^6-2x^3+1, \quad (-y+x)z^2-xy^2+x^2y \]

\item Calculez les int\'egrales et simplifiez le r\'esultat:
\[ \int \frac{1}{e^x-1} \ dx, \quad
\int  \frac{1}{x\ln(x)} \ln(\ln(x)) dx, \quad \int e^{x^2} \ dx,
\quad \int x\sin(x)e^{x} \ dx \]
V\'erifiez en d\'erivant les expressions obtenues.

\item D\'eterminer la valeur de:
\[\int _1^2\frac{1}{(1+x^2)^3}, \quad  \int _1^2 \frac{1}{x^3+1} \ dx \]

\item Calculer les sommes suivantes
\[\sum_{k=1}^N k,\quad \sum_{k=1}^N k^2,\quad \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\]

\item D\'evelopper $\sin(3x)$, lin\'eariser l'expression obtenue
et v\'erifier qu'on retrouve l'expression initiale.

\item \'Ecrire $\sin(t)$ et $\cos(t)$ en fonction de $\tan(t/2)$ puis
faire l'op\'eration inverse.

\item Calculer le d\'eveloppement de Taylor en $x=0$ \`a l'ordre 4
de:
\[ \ln(1+x+x^2),\quad
\frac{\exp(\sin(x))-1}{x+x^2} , \quad \sqrt{1+e^{x}}, \quad
\frac{\ln(1+x)}{\exp(x)-\sin(x)} \]
Calculez le d\'eveloppement asymptotique en $+\infty$ et en $-\infty$
de
\[ f(x)=\sqrt{x^2+x+1} \]
En d\'eduire les asymptotes de $f$ et la position de la courbe par
rapport aux asymptotes.

\item R\'esoudre le syst\`eme lin\'eaire:
\[ \left\{ \begin{array}{lllllll}
 x &+& y &+& az&=&1\\
 x & +& a y&+& z&=&2 \\
 ax & +&y &+& z&=&3 
\end{array}\right. \]
Discuter selon les valeurs de $a$.

\item D\'eterminer l'inverse de la matrice~:
\[ A=\left(\begin{array}{llll}
 1 & 1 & 1 & a \\
 1 & 1 & a & 1 \\
 1 & a & 1 & 1 \\
 a & 1 & 1 & 1
\end{array}\right)\]
%Diagonaliser la matrice $A$.
\end{enumerate}

\section{TP2: courbes}
Pour vous aider \`a saisir les commandes de trac\'e et g\'eom\'etrie, 
vous pouvez utiliser les
assistants du menu Graphe, et les commandes du menu
Geometrie de Xcas, ainsi que les commandes \verb|courbure|, 
\verb|cercle_osculateur|, \verb|developpee| sur les versions
\`a jour de Xcas.

\begin{enumerate}
\item Repr\'esentation graphique: comparer les deux repr\'esentations 
param\'etriques
\[ x(t)=\cos(t), y(t)=\sin(t) \quad x(T)+i y(T)=\frac{1+iT}{1-iT}\]
On pourra utiliser les options \verb|t=a..b,tstep=valeur| de
\verb|plotparam| pour affiner les graphes. Retrouver la deuxi\`eme
repr\'esentation \`a partir de la premi\`ere et du changement de
variable $T=\tan(t/2)$. (commande \verb|halftan|)
\item \'Etude/trac\'e d'une courbe param\'etrique~:\\
 $x(t)=t+1/t, \ y(t)=t^2+2/t$, \qquad
$x(t)=3t^2-2t^3, \ y(t)=5t^4-4t^5$ \ \\
 $x(t)=2t^3,\ y(t)=-4t^5$, \qquad
$x(t)=3\cos(t), y(t)=4\sin(t)$ \\
$x(t)=3\cosh(t), y(t)=4\sinh(t)$, \qquad
$x(t)=\cos(3t), y(t)=\sin(t)$
\item \"Etude/trac\'e d'une courbe polaire (\verb|plotpolar|) :
$\rho(\theta) = e^{-\theta}, \ \rho(\theta)=\sqrt{\cos(2\theta)}, \ \rho(\theta)=3/(2+\cos(\theta))$
\item Faites l'un des exercices
de la feuille 1 ou d'un CC en utilisant Xcas ou une calculatrice formelle
pour faire les calculs.
\item Soit $E$ la courbe d'\'equation cart\'esienne
$x^2+y^2+xy-4=0$. V\'erifiez que le point $A(2,0)$ appartient \`a $E$.
D\'eterminez l'autre point d'intersection de $E$ et de la droite
passant par $A$ de pente $m$. En d\'eduire la nature
et une repr\'esentation 
param\'etrique de $E$ en faisant varier $m$.\\
Indication, on pourra utiliser le menu Edit, Ajouter param\`etre 
pour cr\'eer un param\`etre symbolique de nom $m$ avec une valeur
ajustable \`a la souris pour le dessin,
\verb|D:=droite(point(2,0),pente=m)| pour g\'enerer une droite
de pente $m$, \verb|G:=implicitplot(eq)| pour obtenir le graphe
d'une \'equation cart\'esienne, \verb|L:=inter(D,G)| pour d\'eterminer 
la liste des points d'intersections
de deux courbes et \verb|coordonnees| pour avoir les coordonn\'ees
d'un point.\\
Cette m\'ethode s'applique \`a toutes les coniques, c'est-\`a-dire
les courbes dont l'\'equation cart\'esienne est de degr\'e 2 (Xcas reconnait
d'ailleurs automatiquement les coniques). Mais elle ne s'applique
malheureusement pas en g\'en\'eral, et l'\'etude et le trac\'e de courbes en
implicite (ou ligne de niveau 0) est nettement plus compliqu\'ee 
(vous pouvez essayer avec
des \'equations de degr\'e plus grand que 2 ou non polynomiales, avec
les instructions \verb|implicitplot|, \verb|contourplot| et
\verb|densityplot|).
\item Courbe param\'etrique d\'ependant d'un param\`etre~:
on consid\`ere la courbe $C_m$ d\'ependant du r\'eel $m$~:
$$ x(t)=\frac{t+m}{t^2+1+m^2}, \quad y(t)=\frac{t^2}{t-m}$$
Repr\'esenter la courbe pour quelques valeurs de $m$ (on pourra
utiliser dans un niveau de g\'eom\'etrie, le menu Edit, Ajouter un
param\`etre pour cr\'eer un curseur repr\'esentant $m$, puis 
\verb|plotparam|). D\'eterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles
la courbe admet un point singulier, repr\'esenter le graphe dans ce(s)
cas et faire l'\'etude de la courbe.
\item Calculer la longueur d'un arc d'une des courbes pr\'ec\'edentes
(essayez de mani\`ere exacte et approch\'ee).
D\'eterminez le rayon de courbure du cercle tangent \`a l'une
des courbes pr\'ec\'edentes en un des points de la courbe et
repr\'esentez le cercle osculateur correspondant (instruction \verb|cercle|) 
sur le m\^eme graphe. La courbe admet-elle un sommet~?
Calculer et repr\'esenter sa d\'evelopp\'ee.
\item Int\'egrale curviligne~: d\'eterminez le centre de gravit\'e 
d'une boucle de la courbe de Lissajoux
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(3t)$$
\item Int\'egrale curviligne~: d\'eterminez l'aire et le centre de gravit\'e du
domaine du plan d\'elimit\'e par l'axe des $x$ et la courbe
$r=\cos(2\theta), \theta \in [0,\pi/4]$
\item 
Soit $E$ l'ellipse de foyers $F(1,0)$ et $F'(-1,0)$ et passant par le point $A(2,0)$. 
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'excentricit\'e $e$ de l'ellipse et 
son demi-grand axe $a$. Donner l'\'equation cart\'esienne de $E$ 
puis une repr\'esentation param\'etrique $M(t)$ d'un point de $E$.
\item D\'eterminer la tangente $T$ \`a l'ellipse au point $M(t)$.
Donner un vecteur unitaire $\overrightarrow{T}$ vecteur directeur de $T$.
\item Donner un vecteur unitaire
$\overrightarrow{N}$ orthogonal \`a $\overrightarrow{T}$.
D\'eterminer les coordonn\'ees de $\overrightarrow{FM(t)}$ 
dans la base orthonorm\'ee $\{ \overrightarrow{T},\overrightarrow{N}\}$
(on pourra utiliser
le produit scalaire de $\overrightarrow{FM(t)}$ avec
$\overrightarrow{T}$ et $\overrightarrow{N}$).
\item On place une source lumineuse en $F$ qui \'emet dans 
toutes les directions et on suppose que 
l'int\'erieur de l'ellipse $E$ est un miroir. 
D\'eterminer le rayon r\'efl\'echi du rayon
$\overrightarrow{FM(t)}$
(sym\'etrique du rayon $\overrightarrow{FM(t)}$ 
par rapport \`a la tangente $T$ en $M(t)$ \`a l'ellipse).
\item Montrer que le rayon r\'efl\'echi passe par un point ind\'ependant
de $t$ que l'on d\'eterminera.
\end{enumerate}
 \item Compl\'ements~: voir dans l'aide de Xcas, menu Manuel Exercices les sections 14 et 15
consacr\'ees aux courbes en param\'etriques et polaires. Et la session
\verb|astroide.xws| du menu Exemples, geometrie.
\end{enumerate}

\section{TP3: \'equations diff\'erentielles, syst\`emes.}
\begin{enumerate}
\item R\'esolution exacte d'une \'equation avec \verb|desolve|.
D\'eterminer la solution g\'en\'erale de $2t\dot{x}+x-3t^2=0 $
puis les solutions $x_1$ et $x_2$
passant respectivement par le point $(t,x)=(1,1),
(1,2)$.
Tracer sur un m\^eme graphe les courbes de $x_1,x_2$ et
le champ des tangentes, pour $t=1..5$ et $x=0..14$.
\item D\'eterminer les solutions de $\dot{x}=t^3 x$, tracez
quelques courbes repr\'esentatives de solutions dans
l'intervalle $[-1,1]$. Faire de m\^eme pour $t^3 \dot{x}=x$. 
Qu'observe-t-on en $t=0$~? Expliquer en appliquant le th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz.
\item R\'esolution approch\'ee: champ des tangentes et
  \verb|odeplot|.\\
Que se passe-t-il si on essaie de r\'esoudre exactement l'\'equation
$\dot{x}=\sin(tx) $~?
Il n'y a en g\'en\'eral pas de solution explicite \`a une \'equation
diff\'erentielle. Comme pour l'int\'egration, il existe des m\'ethode
pour trouver la valeur approch\'ee d'une solution, dont la plus simple
utilise \verb|plotfield|. Tracez quelques solutions approch\'ees
avec \verb|plotode| sur la m\^eme figure que \verb|plotfield|
(indication~: ouvrir une figure 2d depuis le menu Geo, puis choisir dans ce menu Geo,
champ des tangentes).
\item
\'Equation autonome, point d'\'equilibre, comportement pr\`es d'un point
d'\'equilibre.\\
On reprend l'\'equation logistique $y'=f(y)=y(1-y)$.
D\'eterminer la solution exacte avec \verb|desolve|, les points
d'\'equilibre (les solutions de $f(y)=0$)
puis pour des conditions initiales $y(0)$ proches de chaque point d'\'equilibre,
tracez les solutions de l'\'equation.
Comparez le comportement de la solution \`a celui de l'\'equation
lin\'earis\'ee $y'=f'(0)y$ et $(y-1)'=f'(1)(y-1)$ en les points d'\'equilibre.
%\\Forcage.
\item \'Equation du second ordre $x'{'}+ax'+4x=\cos(2t)$.
D\'eterminer la solution g\'en\'erale de l'\'equation pour $a \in
]0,4[$, les solutions sont-elles born\'ees lorsque $t \rightarrow
+\infty$~? Observez la valeur du maximum de la solution telle que
$x(0)=0,x'(0)=1$ lorsque $a$ tend vers 0. Comparer avec la solution
de l'\'equation pour $a=0$ ayant ces conditions initiales.
\item
Pour r\'esoudre des
syst\`emes lin\'eaires homog\`enes \`a coefficients constants $\dot{Y}=AY$ avec Xcas, 
on peut utiliser l'exponentielle de matrice, en effet
\verb|exp(A*t)*Y(0)| est la solution du syst\`eme au temps $t$.\\
Exemple du cours~: $A=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-5 & 6
\end{array}\right) $
D\'eterminez la solution v\'erifiant $Y(0)=[1,0]$ et
$Y(0)=[0,1]$. Observez que les coefficients des
exponentielles sont les valeurs propres de $A$ (\verb|eigenvalues|).
On peut tracer un faisceau de solutions par exemple avec la commande\\
\verb|seq(seq(plotparam(exp(A*t)*[a/5,b/5],t=-1..1),a,-3,3),b,-3,3)|\\
Faire de m\^eme pour des matrices dont les deux valeurs propres sont
n\'egatives, une avec une valeur positive et une valeur
n\'egative,  puis dont le discriminant est n\'egatif
(valeurs propres complexes conjugu\'ees), par exemple~: 
\[ A=\left(\begin{array}{cc}
-3 & 1 \\
2 & -2
\end{array}\right), 
A=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & 0
\end{array}\right),
A=\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right), 
A=\left(\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
1 & -1
\end{array}\right), 
A=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right)
\]
%\item
%Syst\`emes autonomes 2-d, champ des tangentes, comportement pr\`es d'un point
%d'\'equilibre et lin\'earisation. Proie-pr\'edateur?
\end{enumerate}

\end{document}
\pagebreak

\section{Mod\`ele T/CO2}
On mod\'elise l'\'evolution de la temp\'erature
$T$ de la Terre par
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( 6 \ln (\frac{CO2}{280}) - \sigma (T^4-T_e^4) \right)\]
o\`u $T_e=288K$ est la temp\'erature d'\'equiibre de la Terre et 
$CO2(t)$ la concentration en ppm de gaz carbonique, $k$ mod\'elise
la capacit\'e calorifique de la Terre (on prendra $k=0.0025K/yr$),
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 SI).
\begin{enumerate}
\item Si $CO2=280$ est constant, d\'eterminer la ou les solutions
stationnaires. Peut-on r\'esoudre l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Lin\'eariser au voisinage des solutions stationnaires
et \'etudier la stabilit\'e des solutions du lin\'earis\'e.
\item Si $CO2=400$ (taux actuel), d\'eterminez
les nouvelles solutions stationnaires, lin\'earisez au voisinage et
\'etudiez la stabilit\'e des solutions du lin\'earis\'e.
\item Si $CO2=400+2t$ (hausse de 2 ppm par an du CO2),
peut-on r\'esoudre l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Calculer la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee pr\'ec\'edente.
\item La hausse de la temp\'erature provoque un d\'egazage de CO2 par
  l'oc\'ean. On a donc un syst\`eme coupl\'e
\[ \frac{dCO2}{dt}=2+\alpha (T-T_e)-\beta(CO2-280)\]
Comment peut-on \'etudier l'\'evolution d'un tel syst\`eme~?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\section{D\'ephasage}
On suppose que la variation de temp\'erature de l'oc\'ean ou des continents
au cours d'une ann\'ee suit l'\'equation diff\'erentielle~:
\[ \frac{dT}{dt} = - a T + a \cos(t), \quad T(0)=\frac{a^2}{a^2+1} \]
avec une constante $a>0$ diff\'erente pour un oc\'ean ou pour un continent,
o\`u $\cos(t)$ repr\'esente l'influence de la saison. D\'eterminer
la solution de cette \'equation et la mettre sous la forme
\[ T(t)=A\cos(t-\phi)\]
Calculer l'amplitude $A$ et
le d\'ephasage $\phi$ 
de $T(t)$ par rapport au signal $\cos(t)$ en fonction de $a$.
On suppose que le d\'ephasage est de 3 semaines environ sur les
continents et de 10 semaines sur les oc\'eans. Peut-on en d\'eduire
une information sur l'amplitude thermique pour les continents
en fonction de l'amplitude thermique pour les oc\'eans~? 

\vspace{0.5cm}

\section{Param\'etrique}
\'Etude et trac\'e de la courbe 
\[ x(t)=\frac{t^2}{1-t}, \quad y(t)=\frac{t^4}{1-t^2} \]

\vspace{1cm}

TP3 exercice 4

\vspace{1cm}

TP3 exercice 6

\vspace{1cm}

TP2 exercice 5

\pagebreak

\section{Temp\'erature au cours d'une journ\'ee.}
On mod\'elise la temp\'erature $T(t)$ au cours d'une journ\'ee par la
solution d'une \'equation diff\'erentielle~:
\[ aT'=f(t), \quad f(t)= -0.02 T + \mbox{max}(0,c\cos(t)+d) \]
o\`u une journ\'ee de 24h correspond \`a $t$ variant de $2\pi$ et~:
\begin{itemize}
\item $a \approx 0.05$ mod\'elise l'inertie thermique (pour un climat
  oc\'eanique d\'egrad\'e), 
\item $f(t)$ tient compte des transferts de chaleur vers le reste de
  la Terre et vers l'espace \footnote{Pour \^etre plus r\'ealiste,
il faudrait ici tenir compte de la latitude et de la saison} (terme $-0.02 T$) 
auquel on ajoute pendant la journ\'ee le rayonnement direct du
Soleil (terme $c \cos(t)+d$ lorsqu'il est positif ce qui d\'efinit le jour).
\item $c \geq 0$ et $d$ d\'ependent de la saison et de la latitude du lieu
  consid\'er\'e. Ainsi, au pole $c=0$ ($d=0.4$ au solstice
  d'\'et\'e et $d=-0.4$ au solstice d'hiver), \`a l'\'equateur $d=0$
  ($c=0.92$ aux solstices, $c=1$ aux \'equinoxes),
et \`a la latitude de Grenoble on a $c=0.65$ aux solstices, ($d=0.28$ au solstice
d'\'et\'e, $d=-0.28$ au solstice d'hiver).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On se place au pole. D\'eterminer la solution de l'\'equation
  diff\'erentielle 
\[ aT' = -0.02 T + \mbox{max}(0,d) \]
au solstice d'\'et\'e ($d=0.4$) et au solstice d'hiver ($d=-0.4$), ainsi
que la limite de $T$ pour $t$ grand.
\item On se place \`a l'\'equateur \`a l'\'equinoxe. 
D\'eterminer (par exemple avec \verb|desolve|)
la solution de l'\'equation~:
\[ aT'= -0.02 T + \mbox{max}(0,\cos(t)) \]
la nuit ($t \in [-3\pi/2,-\pi/2]$) en fonction de $T_s=T(-3\pi/2)$
en d\'eduire la valeur de $T(-\pi/2)$, puis r\'esoudre l'\'equation
le jour ($t\in [-\pi/2,\pi/2]$), en d\'eduire $T(\pi/2)$. 
Peut-on trouver $T_s$ tel que $T$ soit p\'eriodique~? 
Pour $t$ grand, tend-on vers une solution p\'eriodique~?
Lorsque la solution est p\'eriodique, 
\`a quel moment de la journ\'ee la temp\'erature
maximale est-elle atteinte~? La temp\'erature minimale~?
\item On se place \`a la latitude de Grenoble. D\'eterminer
la p\'eriode de nuit et de jour aux solstices puis
la solution de l'\'equation la nuit, puis le jour. On suppose
qu'on choisit une valeur initiale de $T$ telle que la solution soit
p\'eriodique,
%(environ 22 en \'et\'e et 5 en hiver), 
observe-t-on le m\^eme
type de ph\'enom\`ene qu'\`a l'\'equateur~? Que peut-on
dire de l'amplitude thermique au solstice d'\'et\'e par
rapport \`a l'amplitude thermique au solstice d'hiver~?
\end{enumerate}


\item Si le syst\`eme lin\'eaire est non homog\`ene, 
il faut d\'eterminer une solution particuli\`ere. Lorsque
  le second membre a des coordonn\'ees produit d'exponentielles (complexes) par
  polyn\^ome, on peut chercher une solution particuli\`ere du m\^eme
  type avec des coefficients ind\'etermin\'es dans le polyn\^ome (en
  ajoutant 1 ou 2 au degr\'e si le coefficient de l'exponentielle est
valeur propre). \\Par exemple pour $Y'=AY+\left(\begin{array}{cc}
te^{-2t}  \\
e^{-3t}
\end{array}\right)$, on cherchera $Y(t)$ sous la forme 
$\left(\begin{array}{cc}
(at+b)e^{-2t} +ce^{-3t} \\
(dt+f)e^{-2t}+ge^{-3t}
\end{array}\right)$. Essayez avec une des matrices pr\'ec\'edentes.

(Bonus) Cr\'eer une animation graphique\\
Une animation graphique s'obtient en passant en argument \`a
\verb|animation| une suite d'images, qui
sont affich\'ees en s\'equence. Cette suite est souvent
obtenue par la m\^eme instruction graphique mais en fonction d'un
param\`etre, en utilisant l'instruction \verb|seq|. Par exemple\\
\verb|animation(seq(droite(y=a*x),a,1,20))|\\
va cr\'eer une s\'equence de 20 droites de pente $a$ variant
de 1 \`a 20 (de 1 en 1), et les animer.\\
Prenons la cycloide: on va tracer la famille de cercles de centre
$(t,1)$ et de rayon 1, pour $t=0..4\pi$\\
\verb|animation(seq(cercle(point(t,1),1),t,0,4*pi,4*pi/50))|\\
puis on rajoute un point fixe sur le cercle (affich\'e en rouge)
et la cyclo\"ide\\
\verb|animation(seq([cercle(point(t,1),1),|\\
\verb|point(t-sin(t),1-cos(t),affichage=rouge+epaisseur_point_3)],|\\
\verb|t,0,4*pi,4*pi/50));plotparam([t-sin(t),1-cos(t)],t=0..4*pi)| \\
Vous pouvez encore ajouter le rayon entre le centre du cercle et le
point rouge sur le cercle.

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