\documentclass[12pt,a4,french]{article}
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\def\ds{\displaystyle}
\def\R{I\!\!R}
\def\N{I\!\!N}

\pagestyle{empty}
\begin{document}

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\leftline{{\bf Universit\'e Grenoble Alpes}
\hfill Ann\'ee 2017-2018}
\leftline{Module MAT 307}
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\hrule
\medskip
\centerline{\bf CC1 : examen partiel du 26 octobre 2017}
\smallskip
\centerline{{\it Une feuille A4 recto-verso \underbar{manuscrite} est autoris\'ee. Calculatrices autoris\'ees }}
\smallskip
\centerline{{\it  Le bar\`eme est donn\'e \`a titre indicatif.  }}

\smallskip
\centerline{ Dur\'ee 2h}
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\hrule
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NB: dans les trac\'es de courbes, on fera appara\^{i}tre le sens de parcours, les valeurs correspondantes pour $t,\theta$ et les informations obtenues dans les questions pr\'ec\'edentes.

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{\bf Exercice 0}--[{\it 1 point}] En utilisant les formules trigonom\'etriques sur le cosinus et sinus, montrer que $\tan(\frac{\pi}2 +u )=-1/\tan u$.

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\noindent
{\bf Exercice 1} (\emph{Tractrice})--[{\it 9 points}]

\noindent On consid\`ere la courbe param\'etr\'ee $(x(t),y(t)) = \left(\sin (t),\cos(t)+\ln \tan \left(\frac{t}{2}\right)\right)$.
\begin{enumerate}
\item Apr\`es avoir \'etudi\'e la p\'eriodicit\'e, donner le domaine de d\'efinition sur une p\'eriode.

\item Apr\`es avoir reli\'e $y(\pi-t),x(\pi-t)$ \`a $y(t)$ et $x(t)$, r\'eduire l'intervalle d'\'etude \`a $]0,\pi/2]$.

\item  Calculer la d\'eriv\'ee de $x(t)$ et celle de $y(t)$. Donner le tableau de variations conjoint.

\noindent{\it (Indication: v\'erifier que la deriv\'ee de $\ln(\tan(t/2))$ vaut $1/\sin(t)$)}

\item \'Etudier les asymptotes \'eventuelles.

\item  D\'eterminer les points singuliers \'eventuels et les tangentes en ces points. (BONUS : d\'eterminer la nature des points singuliers \`a l'aide de la caculatrice)

\item Tracer l'allure de la courbe sur tout son ensemble de d\'efinition.

\item En tout point $t$, donner le r\'ep\`ere de Fr\'enet, la courbure, le rayon de courbure et le centre du cercle osculateur. Pour $t=\pi/3$, donner les valeurs exactes pour le rayon et le centre du cercle, et rajouter le cercle sur l'allure de la courbe.

\item  D\'emontrer que, sur la droite tangente \`a la courbe en un point, la longueur du segment entre ce point et l'intersection de la tangente avec l'axe des ordonn\'ees $y$ est toujours $1$.

\end{enumerate}

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\noindent
{\bf Exercice 2} -- [{\it 10 points}]



\noindent On consid\`ere la courbe param\'etr\'ee en polaire $r(\theta)=\tan\frac{2\theta}3$.

\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de d\'efinition. Quel est l'entier $k$ le plus petit possible tel que $r$ soit $2\pi k$ p\'eriodique ?

\item En notant que $r(\theta+3\pi/2)=r(\theta)$, en d\'eduire qu'il suffit d'\'etudier sur un intervalle de longueur $3\pi/2$, puis donner le nombre de rotation qu'il faut faire pour avoir la courbe pour tout $\theta$. 

\item Par un argument de sym\'etrie, r\'eduire l'intervalle d'\'etude \`a $[0,3\pi/4[$.

 \item Donner le tableau de variations.
 
 \item \'Etudier la branche infinie.
 
\noindent{\it (Indication : on pourra faire le changement de variable $u=\theta-\frac{3\pi}4$)}
 
 \item Donner la direction de la tangente en $\theta=0$ puis tracer la courbe.% (faire apparaitre le sens de parcours).
 
 \item Remarquer que la courbe d\'ecrit une boucle ferm\'ee entre les param\`etres $\theta_{0}=-\pi/2$ et $\theta_{1}=\pi/2$.
  Exprimer la longueur de cette boucle sous la forme d'une int\'egrale. Avec la calculatrice, donner une valeur approch\'ee de cette longueur.
 
% \item En passant en param\'etrique $x(\theta)$ et $y(\theta)$, donner l'aire (sous forme d'une int\'egrale et puis une valeur approch\'ee donn\'ee par la calculatrice) de la zone situ\'ee \`a l'int\'erieur de cette boucle. Quel est le barycentre de cette zone (sous forme d'une int\'egrale et puis une valeur approch\'ee donn\'ee par la calculatrice) ? 

\end{enumerate}

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\end{document}