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  \centerline{\bf Question de cours
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Universit\'e Grenoble-Alpes}
\rhead{L2, mat307, 2024-2025}
\begin{center}
\textbf{Partiel du 23 octobre 2024}

\end{center}
\medskip

Calculatrice et feuille recto-verso $A_4$ manuscrite autorisées.\\

{\it Ce sujet comporte deux exercices sur les pages 1 et 2 du sujet.
Vous pouvez utiliser les pages 3 et 4
pour les représentations graphiques,
n'oubliez pas de les détacher et de les rendre avec votre copie.}


\medskip

\begin{exo}
On considère la courbe $C$ paramétrée $t \mapsto (x(t),y(t))$ où
 $$\left\{\begin{array}{l} x(t)= \frac{1}{t+1}+t+5t^2 \\[2ex] y(t)= -\frac{2}{t+1}-2t\end{array}\right.$$.
 \begin{enumerate}
 \item Donner le domaine de définition de $C$. 
\item Dresser le double tableau de variation de $(x,y)$.
\item Faire l'étude des branches infinies de la courbe.
\item Vérifier que la courbe admet un unique point singulier. Donner
  un vecteur directeur pour la tangente en ce point singulier et 
  décrire la position de la courbe par rapport à la tangente au
  voisinage de ce point.
\item Tracer la courbe et indiquer le sens de parcours. Tracer également les asymptotes éventuelles.
\item Déterminer le repère de Frenet au point de paramètre $t=-\frac 12$, puis déterminer le centre du cercle osculateur en ce point. Tracer le cercle sur le dessin de la courbe.
\item \'Ecrire sous la forme d'une intégrale définie la longueur de l'arc entre les paramètres $t=1$ et $t=2$. Donner une valeur approchée de cette intégrale, obtenue à l'aide de la calculatrice (préciser la commande utilisée).
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage


\begin{exo}
Soit $C$ la courbe du plan donnée par l'équation polaire  
$$r(\theta)=2\cos(\frac \theta 2)\left(\sin( \frac \theta 2)+1\right)$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $r$ est $4\pi$ périodique et que $r(2\pi-\theta)=-r(\theta)$.
\item En déduire que l'on peut restreindre l'étude de la courbe $C$ à l'intervalle $[-\pi,\pi]$ et expliquer comment on complète le morceau de courbe obtenu lorsque $\theta$ varie entre $-\pi$ et $\pi$ pour obtenir la courbe $C$ toute entière.  
\item Montrer qu'il existe un unique point singulier sur $[-\pi,\pi]$ et déterminer la tangente en ce point. %On pourra utiliser la relation $\sin (2x)=2\sin x\cos x$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $r$ sur $[-\pi,\pi]$.
\item Montrer que $2(r')^2+r^2-rr''=P\left(\sin(\frac \theta 2)\right)$ avec $P(X)=(X+1)^2(7-5X)$, et en déduire la convexité de la courbe sur $[-\pi,\pi]$. On pourra faire la vérification à la calculatrice en indiquant les commandes utilisées.
\item Déterminer la tangente en $\theta=\pi/3$ (en donner une équation paramétrique ou cartésienne).
\item Tracer sur un même dessin la courbe complète, la tangente de la question précédente et indiquer les points de la courbe correspondant aux valeurs du paramètre $t=0$, $2\pi$ et $3\pi/2$.
% \item A l'aide la calculatrice, déterminer le point de $C$ où la courbure est maximale. Donner le détail des commandes utilisées. 
\end{enumerate}
\end{exo}



\newpage

\includegraphics{quad.eps}

\newpage

\includegraphics{quad.eps}

\end{document}

\end{document}
