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\newcommand{\exo}[1]{\underline{\textbf{#1}}}

\newcommand{\dist}{\mathrm{dist}\,}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\everymath{\displaystyle}
%\renewcommand{\arraystretch}{2}

\newcommand{\fonction}[4]{\begin{array}{|rcl}
#1 & \longrightarrow & #2 \\
#3 & \longmapsto & #4 \end{array}}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}


%\hspace{-0.7cm} NOM: \hfill  Université Grenoble Alpes \\
%Prénom:  \hfill MAT 106
\vspace{1cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{
Correction Partiel 1}}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item On considère $C$ la courbe paramétrée $t\longmapsto (x(t),y(t))$ définie par
$$x(t) = \frac{1}{t+1}+t+5t^2$$
$$y(t) = -\frac{2}{t+1}-2t$$
$x$ est définie et de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathcal{D}_x = \mathbb R - \{-1\}$ en tant que fraction rationelle dont le dénominateur ne s'annule qu'en $-1$.\\
\\
$y$ est définie et de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathcal{D}_y = \mathbb R - \{-1\}$ en tant que fraction rationelle dont le dénominateur ne s'annule qu'en $-1$.\\
\\
$C$ est donc définie et de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathcal{D}_C = \mathcal{D}_x \cap \mathcal{D}_y = \mathbb{R}-\{-1\}$.\\
\\
\\
\item Soit $t\in \mathbb R -\{-1\}$.\\
On a 
$$x'(t) = -\frac{1}{(t+1)^2}+1+10t $$
$$= \frac{1}{(t+1)^2} \cdot (-1+(t+1)^2+10t(t+1)^2)$$
$$ =  \frac{1}{(t+1)^2} \cdot (-1+t^2+2t+1+10t(t^2+2t+1))$$
$$ = \frac{t}{(t+1)^2} \cdot (t+2+10(t^2+2t+1))$$
$$ = \frac{t}{(t+1)^2} \cdot (10t^2+21t+12)$$
Notons $A(X) = 10X^2+21X+12$. On a $\Delta = 21^2-4\cdot 10 \cdot 12 = 421-480 <0$, donc $A$ n'a pas de racines réelles et est de signe constant (positif car $A(0)>0$...). On a donc $\forall t\in \mathcal D_x, \: A(t)>0$.\\
D'autre part, $\forall t \in \mathcal D_x, (t+1)^2 \geq 0$. On en déduit que
$\forall t \in \mathcal D_x$, $x'(t)$ est du signe de $t$.\\
\\
$$y'(t) = \frac{2}{(t+1)^2}-2$$
$$ = \frac{2}{(t+1)^2} \cdot (1 - (t+1)^2)$$
$$ = \frac{2}{(t+1)^2} \cdot (1 - (t+1))(1+t+1)$$
$$ = \frac{-2t}{(t+1)^2} \cdot (t+2)$$
Il est ensuite facile de construire un tableau de signe conjoint de $x'$ et $y'$ et d'en déduire le tableau de variations conjoint de $x$ et $y$:
%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.5, espcl=2.5]%
{ $t$ / 1, $t$ / 1, $t+2$ / 1, $x'$ / 1.5, $y'$ / 1.5, $x$ /3, $y$ / 3 }%
{ $-\infty$, $-2$,$-1$,$0$, $+\infty$ }
\tkzTabLine{, -,,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{, -,z,+,,+,,+}
\tkzTabLine{,-,,-,d,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,d,+,z,-}
\tkzTabVar{+/$+\infty$, R/,-D+/$-\infty$/$+\infty$,-/1, +/$+\infty$ }
\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/6,+D-/$+\infty$/$-\infty$, +/-2, -/$-\infty$}
%\tkzTabLine{ , +, +, + , -}
%\tkzTabVar{ + / 0 , - / + }
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item
On a 
$$x(t)\sim_{t\rightarrow \pm \infty} 5t^2$$
Donc en particulier
$$\lim_{t\rightarrow \pm \infty} x(t) = + \infty$$
D'autre part,
$$y(t)\sim_{t\rightarrow \pm \infty } -2t$$
$$\lim_{t\rightarrow \pm \infty} y(t)  = \mp \infty$$
On n'a donc pas d'asymptotes horizontales ou verticales en $\pm \infty$.\\
Comme $\frac{y(t)}{x(t)} \sim_{t\rightarrow \pm \infty} \frac{-2}{5t}$, on a 
$$\lim_{t\rightarrow \pm \infty}\frac{ y(t)}{x(t)} =0$$
Il n'y a donc pas non-plus d'asymptotes obliques en $\pm\infty$.\\
\\
On a les équivalents
$$x(t)\sim_{t \rightarrow -1} \frac{1}{1+t}$$
et
$$y(t)\sim_{t\rightarrow -1} \frac{-2}{1+t}$$
Donc en particulier
$$\lim_{t \rightarrow -1^+} x(t) = +\infty$$
$$\lim_{t \rightarrow -1^-} x(t) = -\infty$$
et
$$\lim_{t \rightarrow -1^+} y(t) = -\infty$$
$$\lim_{t \rightarrow -1^-} y(t) = +\infty$$
Il n'y a donc pas d'asymptote horizontale ou verticale en $-1$.\\
Il reste à déterminer une éventuelle asymptote oblique.\\
A l'aide des deux équivalents pour $x$ et $y$, on a:
$$\lim_{t\rightarrow -1} \frac{y(t)}{x(t)} = -2$$
Donc le coefficient directeur d'une telle asymptote serait $-2$.
Déterminons, si elle existe, $\lim_{t\rightarrow -1} y(t) +2 x(t)$:
Soit $t\in \mathcal{D}_{C}$. On a:
$$y(t)+2x(t) = -2t+2(t+5t^2) = 10t^2$$
D'où
$$\lim_{t\rightarrow -1} y(t) +2 x(t) = 10$$
On a donc une asymptote oblique d'équation cartésienne
$$y = -2x+10$$
\\
\item 
Soit $t\in \mathcal{D}_{C}$. On a 
$$x'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$$
$$y'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \text{ ou } t = -2$$
Ainsi,
$$C'(t) = (0,0) \Leftrightarrow t = 0$$
On a donc un unique point singulier $S = (1,-2)$ correspondant au temps $t=0$.\\
\\
Déterminons un vecteur directeur de la tangente en $t=0$. On va calculer $C^{(k)}(0), \: k\geq 2$ jusqu'à ce que $C^{(k)(0)}\neq (0,0)$.\\
On a 
$$x''(t) = 10 +\frac{2}{(t+1)^3}$$
$$y''(t) = \frac{-4}{(t+1)^3}$$
Donc 
$$C''(0) = (12,-4)\neq (0,0)$$
et
$C''(0)$ est un vecteur directeur de la tangente au point singulier.\\
Une équation paramétrique de la tangente $\mathcal T$ est donnée par 
$$s\longmapsto s\cdot (12,-4)+ (1,-2)$$
On en déduit l'équation cartésienne :
$$\mathcal T: 4x +12y +20 = 0 $$ 
On a aussi pour $t\in \mathcal{ D}_{C}$
$$4x(t)+12y(t) +20$$
$$ = \frac{4+4t(t+1)+20t^2(t+1)-24-24t(t+1)+20(t+1)}{t+1}$$
$$=\frac{4+4t^2+4t+20t^3+20t^2 -24 -24t^2 -24t +20t +20}{t+1}$$
$$ = \frac{20t^3}{t+1}$$
On en déduit que pour $t\geq 0$, $C$ est au dessus de la tangente, et pour $t\leq 0$, $C$ est en dessous de la tangente (atte,tion de ne pas se tromper de côté! Ici, le coefficient devant $y$ dans l'équation cartésienne est strictement positif, donc ce que nous avons écrit est bien vrai).\\
\\
Remarque : On peut aussi chercher à déterminer la nature du rebroussement pour avoir seulement localement la position de la courbe par rapport à la tangente autour de $0$.\\
En effet, on a $$\forall t  \in \mathcal{ D}_C, \: C'''(t) = (x'''(t),y'''(t)) = \bigl(\frac{-6}{(t+1)^4}, \frac{12}{(t+1)^4}\bigr)$$
Donc en particulier, $C'''(0) = (-6,12) $ n'est pas colinéaire à $C''(0) = (12,-4)$. \\
On a donc un point de rebroussement de première espèce. A partir de là, on sait déjà que la courbe change de position par rapport à la tangente entre $t<0$ et $t>0$ (locallement). Si on veut conclure ou qu'on a oublié ce résultat, on retrouve tout à l'aide de la formule de Taylor-Young:
A l'ordre $3$, 
$$C(t) = C(0)+\frac{1}{1!}C'(0)t+ \frac{1}{2!}C''(0)t^2+\frac{1}{3!}C'''(0)t^3 +o(t^3) $$
$$ = (1,-2) + (6,-2)t^2 + (-1,2)t^{3} +o(t^3)$$
Notons $R$ la rotation d'angle $+\frac{\pi}{2}$. \\
Si on a $R((6,-2))\cdot (-1,2)>0$, alors pour $t$ autour de $0$ positif, $C(t)$ est au dessus de la tangente, et pour $t$ autour de $0$ négatif, $C(t)$ est au dessous de la tangente. (faire un dessin pour être convaincu!)\\
\\
Si $R((6,-2))\cdot (-1,2)<0$ c'est l'inverse: pour $t$ autour de $0$ négatif, $C(t)$ est au dessus de la tangente, et pour $t$ autour de $0$ positif, est au dessous de la tangente.\\
\\
Rappel: le cas $R((6,-2))\cdot (-1,2)=0$ est exclu car $(-1,2)$ n'est pas colinéaire à $(6,-2)$!\\
\\
Comme $R((6,-2)) = (2,6)$, $R((6,-2))\cdot (-1,2) = -2 =12 >0$ et on est dans le premier cas (cohérent avec l'autre approche).\\
\\
\\
\item 
\includegraphics[width=\textwidth]{m307cor24ex1}
\item 
$t = \frac {-1}2$ n'est pas un temps singulier. 
Le repère de Frénet est donc donné par le point $C(t=-1/2)=(11/4,-3)$
et les vecteurs
$$e_T = \frac{C'(\frac{-1}{2})}{||C'(\frac{-1}{2})||}$$
$$e_N = R(e_T)$$
où $R$ est la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ introduite dans la remarque de la question $4$.\\
On trouve
$$C'(\frac{-1}{2}) = (1-5-4, 2\cdot 4 -2) = (-8,6)$$
$$||C'(\frac{-1}{2})|| = \sqrt{100} = 10$$
Donc
$$e_T = (-4/5, 3/5)$$
$$e_N = (-3/5,-4/5)$$
Le centre $O(t)$ du cercle osculateur au temps non-singulier $t$ est ensuite donné par la formule
$$O(t) = C(t)+ \frac{1}{\kappa (t)}\overrightarrow{e}_N(t)$$
où 
$$\kappa(t) = \frac{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}{{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}^3}$$
Ici $\kappa=1/10$, le rayon du cercle est donc 10 et 
le centre du cercle a pour coordonnées (-13/4,-11).
\item
la longueur de l'arc de courbe est donné par
$$\int_{1}^2 \sqrt{x'(t)^2 +y'(t)^2} dt$$

\`A la calculatrice, il est conseillé d'effectuer la représentation
graphique avec plotparam, \\
\verb|plotparam([1/(x+1)+x+5x^2,-2/(x+1)-2x],x,-4,4)|\\
ce qui calcule et stocke dans les variables
\verb|x1| et \verb|y1| les dérivées de $x(t)$ et de $y(t)$ (en fonction
de la variable $x$ au lieu de $t$ car plus facile à saisir au clavier),
et on trouve une valeur approchée à l'aide de la commande~:\\
\verb|integrate(sqrt(x1^2+y1^2),x,1.0,2.0)|\\
Attention à bien mettre au moins une des deux bornes sous forme
d'un nombre approché (1.0 et pas 1), le calcul de l'intégrale
ne peut en effet pas être réalisé exactement et une telle tentative
risque d'épuiser les faibles ressources mémoire de la calculatrice.


\end{enumerate}

\end{document}
