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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Universit\'e Grenoble-Alpes}
\rhead{L2PM-PR-PCMINT, MAT307, 2025-2026}
\begin{center}
\textbf{Partiel du 22 octobre 2025}

\end{center}
\medskip

Calculatrice et feuille recto-verso $A_4$ manuscrite autorisées.\\

{\it Ce sujet comporte deux exercices sur les pages 1 et 2 du sujet.
Vous pouvez utiliser les pages 3 et 4
pour les représentations graphiques,
n'oubliez pas de les détacher et de les rendre avec votre copie.}


\medskip

\begin{center}
\textbf{Exercice 1} ($\approx$ 9 points)
\end{center}
On considère la courbe $C$ paramétrée $t \mapsto (x(t),y(t))$ où $$\left\{
    \begin{array}{ll}
        x(t)=& \frac{(t-1)^2}{t^2} \\
        y(t)=& \frac{(t-1)^3}{t^2}
    \end{array}
\right.
$$
\begin{enumerate}
  \item Donner le domaine de définition de $C$.
  \item Étudier les branches infinies de cette courbe.
  \item Dresser le double tableau de variations de $(x,y)$.
  \item  Vérifier que la courbe admet un unique point singulier. Donner un vecteur directeur pour la tangente en ce point.
  \item Étudier la convexité de la courbe.\\
   (\textit{Indication : étudier les variations de $g(t)=\frac{y'(t)}{x'(t)}$})
  \item Déterminer le repère de Frenet au point de paramètre $t=-2$. 
  \item Tracer la courbe en indiquant le sens de parcours. Faire aussi apparaître tous les éléments "importants" (asymptotes, tangente en le point singulier, repère de Frenet en $t=-2$).
 
  \end{enumerate}

\newpage


\begin{center}
\textbf{Exercice 2} ($\approx$ 12 points)
\end{center}
On considère la courbe d'équation polaire $r(\theta):=1+\cos \left( \frac{3 \theta }{2} \right)$, pour $\theta \in \R$.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'on peut restreindre l'étude de la courbe d'abord à l'intervalle $[-2\pi;2\pi]$, puis à $[0;2\pi]$ en déduisant le reste du tracé par une symétrie que l'on précisera. 
  \item Résoudre $r(\theta)=0$ en l'inconnue $\theta\in [0,2\pi]$.
  \item  Dresser le tableau de signe de $r'$ et le tableau de variations de $r$ sur $[0,2\pi]$.
  \item Montrer que la courbe admet deux points singuliers sur $[0,2\pi]$ et donner la tangente en ces points singuliers.
  \item Ces points singuliers sont-ils des points de rebroussements  ? %Si oui, donner leur type (première ou seconde espèce).
  \item \label{q:tangente} Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe en $\theta=\pi$. % Déterminer le repère de Frenet en $\theta=\pi$, puis donner une équation cartésienne de la tangente à la courbe en $\theta=\pi$.
  \item Tracer la courbe en indiquant le sens de parcours, et sur le même dessin les vecteurs tangents aux points singuliers, ainsi que la tangente calculée à la question~\ref{q:tangente}.
  \item Calculer la longueur de la courbe obtenue pour $\theta$ allant de $0$ à $2\pi$: donner la formule sous la forme de l'intégrale d'une fonction explicite de $\theta$, puis donner une valeur approchée obtenue avec la calculatrice.
  \item Déterminer la courbure en $\theta=0$ et le cercle osculateur en ce point (rayon et centre). Ajouter au dessin de la question 7. ce cercle osculateur.
  \item Étudier la convexité de la courbe.
  \item {\it Bonus:} Déterminer la position de la courbe par rapport au cercle osculateur au voisinage de $\theta=0$.
  \end{enumerate}



\newpage

\begin{tikzpicture} 
\draw[very thin, gray ,step=0.26] (0.1,0.1) grid (14,20); 
\end{tikzpicture}

\newpage

\begin{tikzpicture} 
\draw[very thin, gray ,step=0.26] (0.1,0.1) grid (14,20); 
\end{tikzpicture}


\end{document}

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