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\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

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\textheight 20cm

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\begin{document} 

\begin{giacjshere}

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Universit\'e Grenoble Alpes   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence2, mat307                       \hfill $\bullet$ \hfill
Ann\'ee 2023/2024           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
 Examen du jeudi 11 janvier 2024, de 8h30 \`a 10h30. \\
%Ce sujet comporte 2 exercices sur {\bf 1 page}.\\
  {\it Calculatrices et 
r\'esum\'e de cours manuscrit format A4 recto-verso autoris\'e. 
Autres documents et portables interdits. \\
Ce sujet comporte {\bf deux pages}. Le bar\^eme est indicatif.}
  
\end{center}

\vspace{0.3cm}

\section{Courbe param\'etr\'ee, forme diff\'erentielle (9 points)}
On consid\`ere la courbe param\'etr\'ee $C$
$$ \left\{ \begin{array}{ccc}
  x(t)&=&t^3 \\
  y(t)&=&\sin(t)^2
\end{array} \right. \quad t\in[-\pi,\pi]
$$
et les points $A(-\pi^3,0)$ pour $t=-\pi$, et $B(\pi^3,0)$ pour $(t=\pi)$.
\begin{enumerate}
\item {\em D\'eterminer les sym\'etries \'eventuelles et le domaine d'\'etude de $(C)$}.\\
$x$ et $y$ sont d\'efinies et r\'eguli\`eres ($C^\infty$) sur $[-\pi,\pi]$.
$x$ est impaire et $y$ paire, donc sym\'etrie par rapport \`a l'axe $Oy$
et restriction du domaine d'\'etude \`a $[0,\pi]$.
\item {\em La courbe admet-elle des branches infinies pour $t\in[-\pi,\pi]$?
  Si oui, les d\'ecrire (asymptotes, branches paraboliques...)}\\
Il n'y a pas de branches infinies, puisque $x$ et $y$ sont d\'efinies partout et
qu'on se limite au domaine $[0,\pi]$. Il faudrait que $t$ puisse tendre vers
$\pm \infty$ pour faire une \'etude de branche infinie, qui ne donnerait 
rien puisque $x$ tend vers l'infini mais $y$ n'a pas de limite.
\item  {\em La courbe admet-elle des points singuliers~? Si oui, les d\'ecrire
  (tangente, position par rapport \`a la tangente).}\\
On a $x'=3t^2$ qui s'annule en $t=0$, et en ce point $y'=2\sin(t)\cos(t)$
s'annule \'egalement, on a donc un unique point singulier en $t=0$, le D.L. de
$y$ en $t=0$ \`a l'ordre 3 est $t^2+o(t^3)$, donc on a un point de 
rebroussement de premi\`ere esp\`ece avec une tangente selon l'axe $Oy$,
et on traverse la tangente. On pouvait aussi calculer l'acc\'el\'eration
qui vaut $(0,2)$ en $t=0$ donc tangente verticale et conclure
sur la travers\'ee de la tangente
par un argument de sym\'etrie d\^u \`a la parit\'e.
\item {\em Dresser le double tableau de variations sur le domaine
  d'\'etude, puis faire le trac\'e de la courbe en indiquant le sens de parcours.}\\
$x' \geq 0$ et $y'$ s'annule et change de signe en $t=\pi/2$.
\giacinputmath{X:=t^3; Y:=sin(t)^2; tabvar([X,Y],t=0..pi)}
\giacinputmath{gl_x=-35..35;plotparam([X,Y],t=-pi..pi);G:=point(0,0.358);A:=point(-pi^3,0); B:=point(pi^3,0);}

\item {\em Soit $Z$ la zone d\'elimit\'ee par la courbe (pour $t\in[-\pi,\pi]$)
 et l'axe $Ox$. Hachurer
  $Z$ et d\'eterminer son aire (on pourra utiliser Green-Riemann pour
  se ramener \`a une int\'egrale curviligne, puis \`a une int\'egrale
  classique que l'on pourra d\'eterminer \`a la calculatrice
  en donnant la commande utilis\'ee).}\\
On applique Green-Riemann au contour $\gamma$ qui est la réunion  
du segment $[-\pi^3,\pi^3]$ sur l'axe des $x$ avec la courbe $C$
parcourue en sens inverse, en posant par exemple $\omega=x\ dy$. La
contribution du segment est nulle ($dy=0$), donc l'aire vaut
$$ a=\int_{\pi}^{-\pi} t^3 2\sin(t)\cos(t) \ dt$$ 
\giacinputmath{a:=integrate(t^3*2*sin(t)*cos(t),t,pi,-pi); simplify(a); evalf(a)}
\item {\em (Bonus) D\'eterminer l'ordonn\'ee du centre de gravit\'e $G$ de la zone $Z$
  $$ y_G = \frac{\iint_Z y dx\ dy }{\iint_Z dx\ dy}$$
  repr\'esenter $G$ sur la figure (on pourra proc\'eder comme \`a la question
  pr\'ec\'edente).}\\
Même méthode pour calculer le numérateur, on peut prendre $\omega=xy \ dy$
donc
$$ \frac{1}{a}\int_{\pi}^{-\pi} t^3 2\sin(t)^3\cos(t) \ dt $$
\giacinputmath{yG:=1/a*integrate(t^3*2*sin(t)^3*cos(t),t,pi,-pi); simplify(yG); evalf(yG)}\\
L'abscisse de $G$ est nulle en raison de la symétrie 
de la courbe par rapport à l'axe $Oy$.
\item On consid\`ere la forme diff\'erentielle
$$ \omega= e^{xy}(y\cos(x)-\sin(x)) dx +
x \cos(x) e^{xy}dy$$
\begin{enumerate}
\item {\em Cette forme est-elle ferm\'ee~? Exacte~? Si oui,
  en donner un potentiel.}\\
On calcule les dérivées croisées
$$ \frac{\partial (e^{xy}(y\cos(x)-\sin(x))) }{\partial y}=xe^{xy} (y\cos(x)-\sin(x))+e^{xy}\cos(x) $$
et
$$ \frac{\partial (x \cos(x) e^{xy} )}{\partial x}
=e^{xy}(\cos(x)-x\sin(x)+xy\cos(x))
$$
elles sont égales donc la forme est fermée, donc exacte car définie et 
régulière ($C^\infty$) sur $\mathbb{R}^2$. Pour en trouver un potentiel
$V$ on peut commencer par résoudre
$$ \frac{\partial V}{\partial y}=x \cos(x) e^{xy}$$
qui donne $V=\cos(x) e^{xy} + v(x)$ (la constante d'intégration est 
constante en $y$ donc fonction de $x$), on remplace dans
$$ \frac{\partial V}{\partial x}=e^{xy}(y\cos(x)-\sin(x))$$
et on trouve $v'(x)=0$ donc on peut prendre $v=0$ et
$$ V(x,y)=\cos(x) e^{xy}$$
\item {\em Calculer $\int_{C} \omega$ }\\
Comme $\omega$ est exacte, il suffit de faire la différence de potentiel
aux extrêmités~:
$$ V(\pi^3,0)-V(-\pi^3,0)=0$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.7cm}

\section{Calcul variationnel (2 points)}
{\em Donner les \'equations d'Euler-Lagrange correspondant au lagrangien
$$ L(x,\dot{x},t)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -mgx$$
o\`u $x(t) \in \mathbb{R}$, et $m>0$ et $g>0$ sont des constantes.
D\'eterminer le hamiltonien associ\'e.}\\
On a 
$$ \frac{\partial L}{\partial x}=-mg, \ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}
=m\dot{x}$$
on remplace dans les équations d'Euler-Lagrange (en dimension 1)~:
$$ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)
=\frac{\partial L}{\partial x}$$
on obtient
$$ m \ddot{x}=-mg$$
Le hamiltonien associé est 
$$ H = \dot{x} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} -L $$ 
donc
$$ H=  \dot{x}(m \dot{x}) - (\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -mgx)
=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 +mgx$$
Il est conservé puisque $L$ ne dépend pas explicitement du temps.

\vspace{0.7cm}


\section{\'Equation diff\'erentielle (9 points)}
\subsection{Pr\'eliminaire}
{\em Donner la solution g\'en\'erale de l'\'equation diff\'erentielle
d'inconnue la fonction $z$ o\`u $z(x) \in \mathbb{R}$~:}
$$ z'=4xz \quad (*) $$
\'Equation linéaire homogène du 1er ordre, la solution générale est
$$ z(x)=Ce^{2x^2}$$

\subsection{\'Equation diff\'erentielle avec param\`etre}
Pour $E$ un r\'eel fix\'e, on consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
d'inconnue $y$ avec $y(x) \in \mathbb{R}$
$$ -y'{'}+4x^2y=Ey \quad (**) $$
\begin{enumerate}
\item {\em Quel est l'ordre de cette \'equation diff\'erentielle~?
  Est-elle lin\'eaire~? \`A coefficients constants~?
  Quelle est la nature de l'ensemble des solutions~?}\\
\'Equation differentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients
variables, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel
de dimension 2.
\item {\em Pour quelle valeur de $E$ la fonction $s(x)=\exp(-x^2)$ est-elle
  solution~? On suppose dans les questions 3 et 4 que $E$
  a cette valeur.}\\
On a
$$s'=-2xe^{-x^2}, \quad s'{'}= -2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}$$
on remplace $s$ dans $(**)$
$$ 2e^{-x^2}-4x^2e^{-x^2} +4x^2e^{-x^2}=Ee^{-x^2}$$
donc $E=2$ convient.
\item {\em On pose comme dans la m\'ethode de variation
  de la constante 
$$y(x)=K(x)s(x)=K(x)\exp(-x^2)$$
  Montrer que $y$ est solution de $(**)$ si et seulement si
$z=K'$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle $(*)$.}
On a
$$ y'=K's+Ks', \quad y'{'}=K'{'}s+2K's'+Ks'{'}$$
on remplace dans $(**)$
$$ -(K'{'}s+2K's'+Ks'{'})+4x^2Ks=EKs$$
Or $-Ks'{'}+4x^2Ks=2Ks$ (car $s$ est solution de $(**)$ 
pour $E=2$ et on multiplie par $K$), donc
$$ -(K'{'}s+2K's')=0 $$
donc $z=K'$ est solution de 
$$ -2zs'=z's$$
On remplace $s$ par sa valeur $\exp(-x^2)$ et on trouve que $z$ est
solution de $(*)$, donc 
$$ K'=z=Ce^{2x^2}, \quad C \in \mathbb{R}$$
\item {\em On pose
$$ F(x)=\int_0^x \exp(2t^2) \ dt $$
Exprimer $K$ en fonction de $F$ 
(N.B.~: il n'est pas possible d'exprimer
$F$ \`a l'aide des fonctions \'elementaires).
En d\'eduire la solution  g\'en\'erale de $(**)$}\\
On intègre le résultat précédent, on obtient
$$ K=CF+\tilde{C}, \quad \tilde{C} \in \mathbb{R}$$
puis
$$ z=Ks=(CF+\tilde{C})e^{-x^2} , \quad C, \tilde{C} \in \mathbb{R}$$
on retrouve bien un espace de dimension 2 engendré par $s$ et $Fs$
avec $s=\exp(-x^2)$.
%% \item Parmi ces solutions on consid\`ere celles qui tendent vers 0 lorsque
%%   $x$ tend vers l'infini. Montrer qu'il s'agit d'un espace vectoriel
%%   dont on d\'eterminera la dimension.
\item {\em Pour quelle valeur de $E$ la fonction
  $\tilde{s}(x)=x \exp(-x^2)$ est-elle solution de $(**)$~?
  D\'ecrire en quelques lignes les \'etapes
permettant de d\'eterminer la solution g\'en\'erale
de $(**)$ pour cette valeur de $E$.}\\
En remplaçant, on trouve $E=6$. On utilise la méthode de variation
de la constante, en remplaçant $s$ par $\tilde{s}$, la solution
générale de $(**)$ est combinaison linéaire de $\tilde{s}$ et
de $K\tilde{s}$ où $z=K'$ vérifie 
$$ -2z\tilde{s}'=z'\tilde{s}$$
On intègre cette équation du 1er ordre (pour $x\neq 0$)
$$ -2\ln(|\tilde{s}|)=\ln(|z|)$$
donc
$$ z=\frac{C}{\tilde{s}^2}=\frac{C}{x^2}e^{2x^2}, \quad C \in \mathbb{R}$$
puis
$$ K=C \int \frac{1}{x^2}e^{2x^2} + \tilde{C}, \quad \tilde{C} \in \mathbb{R}$$
et
$$ y= K\tilde{s}=xe^{-x^2} (C \int \frac{1}{x^2}e^{2x^2}+\tilde{C}) $$
On peut encore intégrer par parties pour simplifier $y$ en
$$ y= C(-e^{x^2}+4Fxe^{-x^2})+\tilde{C}xe^{-x^2} $$
\item {\em (Bonus) 
On suppose qu'il existe une solution de $(**)$  sous la
forme 
$$\hat{s}(x)=P_n(x) \exp(-x^2)$$ 
o\`u $P_n$ est un polynôme de degr\'e $n$. 
Pour quelle valeur de $E$ (en fonction de $n$) est-ce possible~?
(indication~: remplacer $\hat{s}$ dans $(**)$ et regarder le terme 
de plus haut degr\'e en facteur de $\exp(-x^2)$).}\\
On utilise la question 3 
$$ -(K'{'}s+2K's'+Ks'{'})+4x^2Ks=EKs$$
comme $s$  est solution pour $E=2$, on a $-Ks'{'}+4x^2Ks=2Ks$, donc
en posant $K=P_n$,
$$ -(P_n'{'}s+2P_n's')=(E-2)P_ns $$
comme $s=\exp(-x^2)$, on a~:
$$ -P_n'{'}+4xP_n'=(E-2)P_n$$
Si on pose $P_n=a_nx^n+...+a_0$, on obtient pour le terme de plus haut
degré $n$ et les termes de degré $k, 0\leq k<n$ (en posant $a_{n+1}=0$)~: 
$$ 4na_n= (E-2)a_n, \quad -(k+2)(k+1)a_{k+2}+4ka_k=(E-2)a_k$$
Donc $E=E_n=4n+2$, $a_n$ est arbitraire, $a_{n-1}=0$
et on peut déduire par une récurrence descendante
les coefficients du polynôme pour $k<n$~:
$$ a_k=\frac{-(k+2)(k+1)a_{k+2}}{E-(4k+2)}=\frac{-(k+2)(k+1)a_{k+2}}{4(n-k)}$$
Seuls les termes
d'indice de même parité que $n$ sont non nuls.

Par exemple pour $n=2$ et $a_2=1$, on a $a_1=0$ et $a_0=-2a_2/8=-1/4$,
d'où la solution 
$$y=(x^2-\frac{1}{4})\exp(-x^2), \quad E=10$$
Pour $n=3$ et $a_3=1$,
on a $a_2=a_0=0$ et $a_1=-6a_3/8=-3/4$ d'où la solution
$$y=(x^3-\frac{3}{4}x)\exp(-x^2), \quad E=14$$

Remarque~: cette équation différentielle $(**)$
provient d'une équation de Schrödinger 
en dimension un avec un potentiel quadratique
(``oscillateur harmonique quantique''), les valeurs
$E=E_n$ obtenues ci-dessus sont les seules valeurs 
de $E$ pour lesquelles il existe une solution $y(x)$ 
de $(**)$ tendant vers 0 à l'infini
(plus précisément $y(x)$ doit être de carré intégrable sur $\mathbb{R}$,
pour pouvoir normaliser à 1 l'intégrale de la
densité de probabilité de présence en $x$).
Les polynômes $P_n(x/\sqrt{2})$ sont proportionnels aux polynômes appelés
polynômes de Hermite
\giacinputmath{hermite(2); hermite(3)}

\end{enumerate}


\vfill

%\pagebreak
\end{giacjshere}

\end{document}


