\NeedsTeXFormat{LaTeX2e} \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym} \usepackage{a4,mathptmx,helvet,courier} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{graphicx} \newcounter{exonum}[section] \newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}% \renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}% \renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \textheight 20cm \input{giacfr.tex} \giacmathjax \begin{document} \begin{giacjshere} \pagestyle{empty} \thispagestyle{empty} {\footnotesize\noindent Universit\'e Grenoble Alpes \hfill $\bullet$ \hfill Licence2, mat307 \hfill $\bullet$ \hfill Ann\'ee 2023/2024 \\[-2mm]\hrule} \bigskip \begin{center} Examen du jeudi 11 janvier 2024, de 8h30 \`a 10h30. \\ %Ce sujet comporte 2 exercices sur {\bf 1 page}.\\ {\it Calculatrices et r\'esum\'e de cours manuscrit format A4 recto-verso autoris\'e. Autres documents et portables interdits. \\ Ce sujet comporte {\bf deux pages}. Le bar\^eme est indicatif.} \end{center} \vspace{0.3cm} \section{Courbe param\'etr\'ee, forme diff\'erentielle (9 points)} On consid\`ere la courbe param\'etr\'ee $C$ $$ \left\{ \begin{array}{ccc} x(t)&=&t^3 \\ y(t)&=&\sin(t)^2 \end{array} \right. \quad t\in[-\pi,\pi] $$ et les points $A(-\pi^3,0)$ pour $t=-\pi$, et $B(\pi^3,0)$ pour $(t=\pi)$. \begin{enumerate} \item {\em D\'eterminer les sym\'etries \'eventuelles et le domaine d'\'etude de $(C)$}.\\ $x$ et $y$ sont d\'efinies et r\'eguli\`eres ($C^\infty$) sur $[-\pi,\pi]$. $x$ est impaire et $y$ paire, donc sym\'etrie par rapport \`a l'axe $Oy$ et restriction du domaine d'\'etude \`a $[0,\pi]$. \item {\em La courbe admet-elle des branches infinies pour $t\in[-\pi,\pi]$? Si oui, les d\'ecrire (asymptotes, branches paraboliques...)}\\ Il n'y a pas de branches infinies, puisque $x$ et $y$ sont d\'efinies partout et qu'on se limite au domaine $[0,\pi]$. Il faudrait que $t$ puisse tendre vers $\pm \infty$ pour faire une \'etude de branche infinie, qui ne donnerait rien puisque $x$ tend vers l'infini mais $y$ n'a pas de limite. \item {\em La courbe admet-elle des points singuliers~? Si oui, les d\'ecrire (tangente, position par rapport \`a la tangente).}\\ On a $x'=3t^2$ qui s'annule en $t=0$, et en ce point $y'=2\sin(t)\cos(t)$ s'annule \'egalement, on a donc un unique point singulier en $t=0$, le D.L. de $y$ en $t=0$ \`a l'ordre 3 est $t^2+o(t^3)$, donc on a un point de rebroussement de premi\`ere esp\`ece avec une tangente selon l'axe $Oy$, et on traverse la tangente. On pouvait aussi calculer l'acc\'el\'eration qui vaut $(0,2)$ en $t=0$ donc tangente verticale et conclure sur la travers\'ee de la tangente par un argument de sym\'etrie d\^u \`a la parit\'e. \item {\em Dresser le double tableau de variations sur le domaine d'\'etude, puis faire le trac\'e de la courbe en indiquant le sens de parcours.}\\ $x' \geq 0$ et $y'$ s'annule et change de signe en $t=\pi/2$. \giacinputmath{X:=t^3; Y:=sin(t)^2; tabvar([X,Y],t=0..pi)} \giacinputmath{gl_x=-35..35;plotparam([X,Y],t=-pi..pi);G:=point(0,0.358);A:=point(-pi^3,0); B:=point(pi^3,0);} \item {\em Soit $Z$ la zone d\'elimit\'ee par la courbe (pour $t\in[-\pi,\pi]$) et l'axe $Ox$. Hachurer $Z$ et d\'eterminer son aire (on pourra utiliser Green-Riemann pour se ramener \`a une int\'egrale curviligne, puis \`a une int\'egrale classique que l'on pourra d\'eterminer \`a la calculatrice en donnant la commande utilis\'ee).}\\ On applique Green-Riemann au contour $\gamma$ qui est la réunion du segment $[-\pi^3,\pi^3]$ sur l'axe des $x$ avec la courbe $C$ parcourue en sens inverse, en posant par exemple $\omega=x\ dy$. La contribution du segment est nulle ($dy=0$), donc l'aire vaut $$ a=\int_{\pi}^{-\pi} t^3 2\sin(t)\cos(t) \ dt$$ \giacinputmath{a:=integrate(t^3*2*sin(t)*cos(t),t,pi,-pi); simplify(a); evalf(a)} \item {\em (Bonus) D\'eterminer l'ordonn\'ee du centre de gravit\'e $G$ de la zone $Z$ $$ y_G = \frac{\iint_Z y dx\ dy }{\iint_Z dx\ dy}$$ repr\'esenter $G$ sur la figure (on pourra proc\'eder comme \`a la question pr\'ec\'edente).}\\ Même méthode pour calculer le numérateur, on peut prendre $\omega=xy \ dy$ donc $$ \frac{1}{a}\int_{\pi}^{-\pi} t^3 2\sin(t)^3\cos(t) \ dt $$ \giacinputmath{yG:=1/a*integrate(t^3*2*sin(t)^3*cos(t),t,pi,-pi); simplify(yG); evalf(yG)}\\ L'abscisse de $G$ est nulle en raison de la symétrie de la courbe par rapport à l'axe $Oy$. \item On consid\`ere la forme diff\'erentielle $$ \omega= e^{xy}(y\cos(x)-\sin(x)) dx + x \cos(x) e^{xy}dy$$ \begin{enumerate} \item {\em Cette forme est-elle ferm\'ee~? Exacte~? Si oui, en donner un potentiel.}\\ On calcule les dérivées croisées $$ \frac{\partial (e^{xy}(y\cos(x)-\sin(x))) }{\partial y}=xe^{xy} (y\cos(x)-\sin(x))+e^{xy}\cos(x) $$ et $$ \frac{\partial (x \cos(x) e^{xy} )}{\partial x} =e^{xy}(\cos(x)-x\sin(x)+xy\cos(x)) $$ elles sont égales donc la forme est fermée, donc exacte car définie et régulière ($C^\infty$) sur $\mathbb{R}^2$. Pour en trouver un potentiel $V$ on peut commencer par résoudre $$ \frac{\partial V}{\partial y}=x \cos(x) e^{xy}$$ qui donne $V=\cos(x) e^{xy} + v(x)$ (la constante d'intégration est constante en $y$ donc fonction de $x$), on remplace dans $$ \frac{\partial V}{\partial x}=e^{xy}(y\cos(x)-\sin(x))$$ et on trouve $v'(x)=0$ donc on peut prendre $v=0$ et $$ V(x,y)=\cos(x) e^{xy}$$ \item {\em Calculer $\int_{C} \omega$ }\\ Comme $\omega$ est exacte, il suffit de faire la différence de potentiel aux extrêmités~: $$ V(\pi^3,0)-V(-\pi^3,0)=0$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.7cm} \section{Calcul variationnel (2 points)} {\em Donner les \'equations d'Euler-Lagrange correspondant au lagrangien $$ L(x,\dot{x},t)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -mgx$$ o\`u $x(t) \in \mathbb{R}$, et $m>0$ et $g>0$ sont des constantes. D\'eterminer le hamiltonien associ\'e.}\\ On a $$ \frac{\partial L}{\partial x}=-mg, \ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} =m\dot{x}$$ on remplace dans les équations d'Euler-Lagrange (en dimension 1)~: $$ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) =\frac{\partial L}{\partial x}$$ on obtient $$ m \ddot{x}=-mg$$ Le hamiltonien associé est $$ H = \dot{x} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} -L $$ donc $$ H= \dot{x}(m \dot{x}) - (\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -mgx) =\frac{1}{2}m\dot{x}^2 +mgx$$ Il est conservé puisque $L$ ne dépend pas explicitement du temps. \vspace{0.7cm} \section{\'Equation diff\'erentielle (9 points)} \subsection{Pr\'eliminaire} {\em Donner la solution g\'en\'erale de l'\'equation diff\'erentielle d'inconnue la fonction $z$ o\`u $z(x) \in \mathbb{R}$~:} $$ z'=4xz \quad (*) $$ \'Equation linéaire homogène du 1er ordre, la solution générale est $$ z(x)=Ce^{2x^2}$$ \subsection{\'Equation diff\'erentielle avec param\`etre} Pour $E$ un r\'eel fix\'e, on consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle d'inconnue $y$ avec $y(x) \in \mathbb{R}$ $$ -y'{'}+4x^2y=Ey \quad (**) $$ \begin{enumerate} \item {\em Quel est l'ordre de cette \'equation diff\'erentielle~? Est-elle lin\'eaire~? \`A coefficients constants~? Quelle est la nature de l'ensemble des solutions~?}\\ \'Equation differentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients variables, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2. \item {\em Pour quelle valeur de $E$ la fonction $s(x)=\exp(-x^2)$ est-elle solution~? On suppose dans les questions 3 et 4 que $E$ a cette valeur.}\\ On a $$s'=-2xe^{-x^2}, \quad s'{'}= -2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}$$ on remplace $s$ dans $(**)$ $$ 2e^{-x^2}-4x^2e^{-x^2} +4x^2e^{-x^2}=Ee^{-x^2}$$ donc $E=2$ convient. \item {\em On pose comme dans la m\'ethode de variation de la constante $$y(x)=K(x)s(x)=K(x)\exp(-x^2)$$ Montrer que $y$ est solution de $(**)$ si et seulement si $z=K'$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle $(*)$.} On a $$ y'=K's+Ks', \quad y'{'}=K'{'}s+2K's'+Ks'{'}$$ on remplace dans $(**)$ $$ -(K'{'}s+2K's'+Ks'{'})+4x^2Ks=EKs$$ Or $-Ks'{'}+4x^2Ks=2Ks$ (car $s$ est solution de $(**)$ pour $E=2$ et on multiplie par $K$), donc $$ -(K'{'}s+2K's')=0 $$ donc $z=K'$ est solution de $$ -2zs'=z's$$ On remplace $s$ par sa valeur $\exp(-x^2)$ et on trouve que $z$ est solution de $(*)$, donc $$ K'=z=Ce^{2x^2}, \quad C \in \mathbb{R}$$ \item {\em On pose $$ F(x)=\int_0^x \exp(2t^2) \ dt $$ Exprimer $K$ en fonction de $F$ (N.B.~: il n'est pas possible d'exprimer $F$ \`a l'aide des fonctions \'elementaires). En d\'eduire la solution g\'en\'erale de $(**)$}\\ On intègre le résultat précédent, on obtient $$ K=CF+\tilde{C}, \quad \tilde{C} \in \mathbb{R}$$ puis $$ z=Ks=(CF+\tilde{C})e^{-x^2} , \quad C, \tilde{C} \in \mathbb{R}$$ on retrouve bien un espace de dimension 2 engendré par $s$ et $Fs$ avec $s=\exp(-x^2)$. %% \item Parmi ces solutions on consid\`ere celles qui tendent vers 0 lorsque %% $x$ tend vers l'infini. Montrer qu'il s'agit d'un espace vectoriel %% dont on d\'eterminera la dimension. \item {\em Pour quelle valeur de $E$ la fonction $\tilde{s}(x)=x \exp(-x^2)$ est-elle solution de $(**)$~? D\'ecrire en quelques lignes les \'etapes permettant de d\'eterminer la solution g\'en\'erale de $(**)$ pour cette valeur de $E$.}\\ En remplaçant, on trouve $E=6$. On utilise la méthode de variation de la constante, en remplaçant $s$ par $\tilde{s}$, la solution générale de $(**)$ est combinaison linéaire de $\tilde{s}$ et de $K\tilde{s}$ où $z=K'$ vérifie $$ -2z\tilde{s}'=z'\tilde{s}$$ On intègre cette équation du 1er ordre (pour $x\neq 0$) $$ -2\ln(|\tilde{s}|)=\ln(|z|)$$ donc $$ z=\frac{C}{\tilde{s}^2}=\frac{C}{x^2}e^{2x^2}, \quad C \in \mathbb{R}$$ puis $$ K=C \int \frac{1}{x^2}e^{2x^2} + \tilde{C}, \quad \tilde{C} \in \mathbb{R}$$ et $$ y= K\tilde{s}=xe^{-x^2} (C \int \frac{1}{x^2}e^{2x^2}+\tilde{C}) $$ On peut encore intégrer par parties pour simplifier $y$ en $$ y= C(-e^{x^2}+4Fxe^{-x^2})+\tilde{C}xe^{-x^2} $$ \item {\em (Bonus) On suppose qu'il existe une solution de $(**)$ sous la forme $$\hat{s}(x)=P_n(x) \exp(-x^2)$$ o\`u $P_n$ est un polynôme de degr\'e $n$. Pour quelle valeur de $E$ (en fonction de $n$) est-ce possible~? (indication~: remplacer $\hat{s}$ dans $(**)$ et regarder le terme de plus haut degr\'e en facteur de $\exp(-x^2)$).}\\ On utilise la question 3 $$ -(K'{'}s+2K's'+Ks'{'})+4x^2Ks=EKs$$ comme $s$ est solution pour $E=2$, on a $-Ks'{'}+4x^2Ks=2Ks$, donc en posant $K=P_n$, $$ -(P_n'{'}s+2P_n's')=(E-2)P_ns $$ comme $s=\exp(-x^2)$, on a~: $$ -P_n'{'}+4xP_n'=(E-2)P_n$$ Si on pose $P_n=a_nx^n+...+a_0$, on obtient pour le terme de plus haut degré $n$ et les termes de degré $k, 0\leq k