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\title{Corrigés détaillés avec figures — Sujet M307 (janvier 2025)}
\date{}
\author{}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Remarque}
Version détaillée — tracés en radians. Les coordonnées numériques utilisées dans les figures sont évaluées avec \texttt{\\pgfmathsetmacro} pour garantir la compatibilité avec \texttt{pgfplots}.

\section{Exercice 1 -- Courbe paramétrée}
On considère la courbe paramétrée
\[\mathbf r(t)=(x(t),y(t))=(\cos t+\sin t,\;2\cos t),\qquad t\in\mathbb R.\]

\subsection*{1. Symétries}
Calcul :
\begin{align*}
\mathbf r(t+\pi)&=(\cos(t+\pi)+\sin(t+\pi),\,2\cos(t+\pi))\\
&=(-\cos t-\sin t,\,-2\cos t)=-\mathbf r(t).
\end{align*}
Donc la courbe est centrée en l'origine (symétrie centrale). Il suffit d'étudier un intervalle de longueur $\pi$.

\subsection*{2. Bornitude et absence d'asymptote}
Les fonctions trigonométriques étant bornées, la courbe est contenue dans un rectangle borné : pas de branche infinie ni d'asymptote.

\subsection*{3. Régularité (points singuliers)}
\[
\mathbf r'(t)=(-\sin t+\cos t,\,-2\sin t).
\]
L'annulation simultanée des deux composantes demanderait $\sin t=0$ et $\cos t=0$, impossible. Donc la courbe est régulière (pas de cusp).

\subsection*{4. Variations et sens de parcours}
\[
x'(t)=\sqrt2\cos\!\Big(t+\frac{\pi}{4}\Big),\quad y'(t)=-2\sin t.
\]
Zéros significatifs sur un intervalle $\pi$: $x'(t)=0$ en $t=\pi/4$ (extrémum local de $x$), $y'(t)=0$ en $t=0$ (extrémum local de $y$). Le sens de parcours est donné par $t$ croissant.

\subsection*{5. Convexité}
Dérivées secondes :
\[
x''(t)=-\cos t-\sin t,\quad y''(t)=-2\cos t.
\]
Calcul du numérateur de la courbure (paramétrée) :
\begin{align*}
\Delta(t)&=x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\\
&=(-\sin t+\cos t)(-2\cos t)-(-2\sin t)(-\cos t-\sin t)\\
&=-2(\cos^2 t+\sin^2 t)=-2.
\end{align*}
Ainsi $\kappa(t)=\dfrac{\Delta(t)}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}<0$ pour tout $t$: la courbure est de signe constant (courbe convexe, pas d'inflexion).

\subsection*{6. Aire de la zone $Z$ (avec $y\ge0$)}
On prend l'arc supérieur $t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ et le segment sur l'axe $y=0$ entre $x=-1$ et $x=1$. Par Green :
\begin{align*}
A&=\int_{\text{arc}} x\,dy=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\cos t+\sin t)(-2\sin t)\,dt\\
&=-2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\cos t\sin t+\sin^2 t)\,dt=\pi.
\end{align*}

\subsection*{7. Centre de gravité $G$ de $Z$}
Formules :
\[
x_G=\frac{1}{2A}\oint_{\partial Z} x^2\,dy,\qquad y_G=-\frac{1}{2A}\oint_{\partial Z} y^2\,dx.
\]
Calcul détaillé (intégration sur l'arc ; contributions du segment nul) donne :
\[
\oint x^2\,dy=\frac{8}{3},\qquad \oint y^2\,dx=-\frac{16}{3},
\]
d'où avec $A=\pi$ :
\[
x_G=\frac{4}{3\pi},\quad y_G=\frac{8}{3\pi}.
\]

\subsection*{Figure (radians)}
\pgfmathsetmacro{\xG}{4/(3*pi)}
\pgfmathsetmacro{\yG}{8/(3*pi)}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[width=11cm,height=8cm,axis equal,clip=false,
  xlabel={$x$},ylabel={$y$},axis lines=middle,
  xmin=-1.5,xmax=1.5,ymin=-2.5,ymax=2.5]
% Arc supérieur filled (radians -> use deg conversion inside cos/sin)
\addplot[domain=-pi/2:pi/2,samples=300,variable=\t,fill=blue!12,draw=none] 
    ({cos(deg(\t))+sin(deg(\t))},{2*cos(deg(\t))}) \closedcycle;
% full curve
\addplot[domain=-pi:pi,samples=600,variable=\t,thick] 
    ({cos(deg(\t))+sin(deg(\t))},{2*cos(deg(\t))});
% tangents at key points
\addplot[domain=-1.2:1.2, samples=2, dashed] ({-1},{0}); % just to force axes scale
% center of gravity
\addplot+[only marks,mark=*,mark options={fill=red}] coordinates {(\xG,\yG)};
\node[below right] at (axis cs:\xG,\yG) {${G\bigl(\tfrac{4}{3\pi},\tfrac{8}{3\pi}\bigr)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Courbe paramétrée et zone $Z$ (hachurée).}
\end{figure}

\newpage
\section{Exercice 2 -- Calcul variationnel (détaillé)}
Lagrangien :
\[
L(x,\dot x,t)=\tfrac12 m\dot x^{2}+qE x,\qquad m>0,\ q,E\in\mathbb R.
\]

\subsection*{1. Équation d'Euler--Lagrange}
\[
\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot x}\Big)-\frac{\partial L}{\partial x}=0.
\]
Calcul :
\[
\frac{\partial L}{\partial\dot x}=m\dot x,\qquad \frac{\partial L}{\partial x}=qE.
\]
D'où :
\[
m\ddot x-qE=0\quad\Longrightarrow\quad m\ddot x=qE.
\]

\subsection*{2. Solutions et conditions initiales}
Intégration :
\[
\dot x(t)=\frac{qE}{m}t+C_1,\quad x(t)=\frac{qE}{2m}t^2+C_1t+C_2.
\]
Avec conditions initiales $x(0)=x_0$, $\dot x(0)=v_0$ on obtient $C_2=x_0$, $C_1=v_0$.

\subsection*{3. Hamiltonien et conservation}
Impulsion canonique : $p=m\dot x$. Transformée de Legendre :
\[
H(x,p)=p\dot x-L=\frac{p^2}{2m}-qEx.
\]
Comme $H$ ne dépend pas explicitement de $t$, il est conservé le long des trajectoires. Vérification :
\[
\dot H=\frac{\partial H}{\partial x}\dot x+\frac{\partial H}{\partial p}\dot p= -qE\dot x + \frac{p}{m}\dot p =0,
\]
en utilisant $\dot p=qE$.

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[width=11cm,height=6cm,axis lines=middle, xlabel={$t$}, ylabel={$x(t)$},
xmin=-1, xmax=5, ymin=-1, ymax=6]
\addplot[domain=0:4,samples=200] {0.5*x^2 + 0.5*x + 0.2}; % exemple qE/2m=0.5, C1=0.5, C2=0.2
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple de trajectoire quadratique (choix de paramètres illustratif).}
\end{figure}

\newpage
\section{Exercice 3 -- Systèmes linéaires (détaillé)}

On étudie le système linéaire homogène :
\[
\dot X = A X,\qquad A=\begin{pmatrix}-1&1\\-2&1\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.
\]

\subsection*{1. Valeurs propres et vecteurs propres}
Polynôme caractéristique :
\[
\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)(1-\lambda)+2=\lambda^2+1.
\]
Donc $\lambda_{1,2}=\pm i$ (pures imaginaires). Pour $\lambda=i$ on résout $(A-iI)v=0$ et on obtient, par exemple,
\[
v=\begin{pmatrix}\tfrac{1+i}{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
\]

\subsection*{2. Solution générale réelle}
En combinant parties réelles et imaginaires :
\[
X(t)=C_1\Re(e^{it}v)+C_2\Im(e^{it}v),
\]
soit, de manière équivalente,
\[
\boxed{X(t)=a\begin{pmatrix}\cos t\\ -\sin t\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}\sin t\\ \cos t\end{pmatrix},\quad a,b\in\mathbb R.}
\]

\subsection*{3. Conditions initiales}
Avec $X(0)=(x_0,y_0)^\top$ on a $a=x_0,\ b=y_0$.

\subsection*{4. Vérification (courbe de l'ex.~1)}
La courbe $\mathbf r(t)=(\cos t+\sin t,2\cos t)$ satisfait le système :
\[
\dot x=-\sin t+\cos t,\quad -x+y=\cos t-\sin t,
\]
\[
\dot y=-2\sin t,\quad -2x+y=-2\sin t,
\]
les deux égalités se vérifient donc : la courbe de l'ex.~1 est une solution (avec $X(0)=(1,2)$).

\subsection*{5. Bornitude et périodicité}
Les valeurs propres pures-imaginaires entraînent des solutions périodiques et bornées (composantes en $\cos t,\sin t$).

\subsection*{6. Forcing $\cos(2t)$ (non résonant)}
Considérons $\dot X = AX + F(t)$ avec $F(t)=(\cos 2t,0)^\top$. L'opérateur $(A-i2I)$ est inversible (puisque $2i$ n'est pas valeur propre), donc il existe une solution particulière périodique en $\cos 2t,\sin 2t$. Par superposition les solutions sont bornées.

\subsection*{7. Forcing $\cos t$ (résonance)}
Pour $F(t)=(\cos t,0)^\top$ on a résonance car $i$ est valeur propre de $A$. L'équation pour la solution particulière entraîne des facteurs multiplicatifs en $t$ (ansatz $t e^{it}$) et on obtient des termes en $t\cos t,t\sin t$: certaines solutions croissent linéairement en $t$ (non bornées).

\subsection*{Figure : portrait de phase (trajectoires)}
% On trace quelques trajectoires paramétrées en utilisant la forme explicite
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[width=11cm,height=9cm,axis equal, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, axis lines=middle,
xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3]
\addplot[domain=0:6.28,samples=200,variable=\t] ({1*cos(deg(\t))+0*sin(deg(\t))},{0*cos(deg(\t))+1*sin(deg(\t))});
\addplot[domain=0:6.28,samples=200,variable=\t] ({2*cos(deg(\t))+0.5*sin(deg(\t))},{0.5*cos(deg(\t))+2*sin(deg(\t))});
\addplot[domain=0:6.28,samples=200,variable=\t] ({-1.5*cos(deg(\t))+0.2*sin(deg(\t))},{0.2*cos(deg(\t))+ -1.5*sin(deg(\t))});
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Trajectoires pour différentes conditions initiales (combinaisons de cos et sin).}
\end{figure}

\bigskip
\noindent\textbf{Fin du corrigé détaillé.} \\
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\end{document}