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\def\un{\mathbf{1}}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\ima{\mathrm{Im}}
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\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\def\card{\mathrm{card}\,}
\def\ch{\mathrm{cosh}\,}
\def\sh{\mathrm{sinh}\,}
\def\argch{\mathrm{argch}\,}
\def\argsh{\mathrm{argsh}\,}
\def\dd{\mathrm{d}}
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\begin{document}
\begin{large}
\begin{bf}
UGA \hfill DM, \`a rendre avant le 3 octobre \hfill mat307
\end{bf}
\end{large}

\medskip

{\bf Exercice 1} 
\'Etude de la courbe param\'etr\'ee donn\'ee par
$$ (x(t),y(t))=(\frac{t^2}{t-2},\frac{t^2}{t+2})$$
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer le domaine de d\'efinition conjoint de $x(t)$ et
  $y(t)$
\item D\'eterminer les asymptotes \'eventuelles \`a la courbe
\item Calculer $x',y'$, dresser le double tableau de variations
et indiquer les \'eventuelles tangentes horizontales et verticales.
\item D\'eterminer les points singuliers \'eventuels, et la tangente
\`a la courbe en ce(s) point(s).
\item Discuter la convexit\'e de la courbe et
d\'eterminer les points d'inflexion \'eventuels 
\item Tracer la courbe en indiquant le sens de parcours lorsque $t$
augmente.
\end{enumerate}

{\bf Exercice 2}
\'Etude de la courbe d'\'equation polaire
$$ r(\theta)=-\frac{\cos(2\theta)}{\cos(\theta)}$$
\begin{enumerate}
\item Comparer la position du point de param\`etre $\theta$ et
  $\theta+\pi$
\item \'Etudier la parit\'e de $r$, montrer qu'on peut restreindre
l'\'etude \`a l'intervalle $[0,\pi/2[$
\item Calculer $r'$, d\'eterminer son signe (indication~: on pourra d\'evelopper
$\cos(2\theta)$ et $\sin(2\theta)$). Former le tableau de variations de $r$.
\item Donner la tangente \`a la courbe au point de param\`etre $\theta=0$
\item M\^eme question au point origine (on commencera par r\'esoudre
$r(\theta)=0$).
\item D\'eterminer les asymptotes \'eventuelles
\item Tracer l'arc de courbe en indiquant le sens de parcours lorsque
  $\theta$ augmente, tracer le reste de la courbe en tenant compte
des sym\'etries avec une autre couleur.
\end{enumerate}


\end{document}
{\bf Exercice 1 (tir\'e du CC1 2012)} 

On consid\`ere la  courbe $\Gamma$ paramétrée sur $I =]-1,1[$ par   
$\ds x(t) =   \frac {t^2}{1-t}, \quad  y(t) = \frac {t^4}{1-t^2}\cdot$  
\begin{enumerate} 
 \item Vérifier que la courbe $\Gamma$ poss\`ede un seul point singulier $S$. Pr\'eciser la tangente en $S$.
 %\hfill\break

\item Montrer que $\Gamma$ admet deux droites asymptotes que l'on déterminera.

\item Etudier la convexité de $\Gamma$ 
%[on pourra admettre que  $\ds\delta  =x'y''-x''y'= -2\,{ \frac {(t^3 - 6t - 8)t^3}{( 1- t^2)^3}} $]. 

\item Dresser un tableau de variation de $x(t)$ et $y(t)$ sur $]-1,1[$. 

\item Tracer la courbe $\Gamma$. 
\end{enumerate}

{\bf Exercice 2~: Miroir elliptique}
Soit $E$ l'ellipse de foyers $F(1,0)$ et $F'(-1,0)$ et passant par le point $A(2,0)$. 
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'excentricit\'e $e$ de l'ellipse et 
son demi-grand axe $a$. Donner l'\'equation cart\'esienne de $E$ 
puis une repr\'esentation param\'etrique $M(t)$ d'un point de $E$.
\item D\'eterminer la tangente $T$ \`a l'ellipse au point $M(t)$.
Donner un vecteur unitaire $\overrightarrow{T}$ vecteur directeur de $T$.
\item Donner un vecteur unitaire
$\overrightarrow{N}$ orthogonal \`a $\overrightarrow{T}$.
D\'eterminer les coordonn\'ees de $\overrightarrow{FM(t)}$ 
dans la base orthonorm\'ee $\{ \overrightarrow{T},\overrightarrow{N}\}$
(on pourra utiliser
le produit scalaire de $\overrightarrow{FM(t)}$ avec
$\overrightarrow{T}$ et $\overrightarrow{N}$).
\item On place une source lumineuse en $F$ qui \'emet dans 
toutes les directions et on suppose que 
l'int\'erieur de l'ellipse $E$ est un miroir. 
D\'eterminer le rayon r\'efl\'echi du rayon
$\overrightarrow{FM(t)}$
(sym\'etrique du rayon $\overrightarrow{FM(t)}$ 
par rapport \`a la tangente $T$ en $M(t)$ \`a l'ellipse).
\item Montrer que le rayon r\'efl\'echi passe par un point ind\'ependant
de $t$ que l'on d\'eterminera.
\end{enumerate}