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\begin{document}

\pagestyle{empty}
\ 
\vspace{1cm}

UGA  \hfill {\bf Devoir à la maison } (à rendre en TD la semaine du 7 Octobre) \hfill mat307

\vspace{1cm}


{\bf Exercice 1}.On considère la courbe paramétrée par
\[\left\{
\begin{array}{rcl}
  x(t) &=&  \displaystyle{ \frac{t^2}{1-t}}\\ \ \\
  y (t)&=& \displaystyle{ \frac{t^4}{1-t^2}} 
\end{array}
 \right.\]


\begin{enumerate}
\item Donner les domaines de définition et d'étude, puis \'etudier les branches infinies.

\item Déterminer si la courbe possède un point de rebroussement. Si oui,
  donner un vecteur directeur de la tangente en ce point
  et déterminer sa nature.

\item  Donner le tableau de variation, puis tracer la courbe (avec le sens de parcours).

\item En utilisant la calculatrice, montrer que la courbe change
  de convexité quand la fonction $f(t)=t^3-6t-8$ change de signe
  (indiquer les commandes utilisées).
  En étudiant $f$, montrer qu'il n'y a qu'un seul changement de
  convexité (en dehors des points remarquables) pour un $t_0>2$.
  Donner une valeur approchée de $t_0$, du point d'inflexion
  et de la pente de la tangente au point d'inflexion.

 \end{enumerate}


{\bf Exercice 2}. \' Etudier et tracer la courbe polaire suivante :
$$\rho (\theta) = 4\sin(\theta) \cos^2 (\theta) .$$

%\vspace{5cm}
%
%UGA 2019/20 \hfill {\bf Devoir à la maison } (à rendre en TD la semaine du 7 Octobre) \hfill mat307
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%{\bf Exercice 1}.On considère la courbe paramétrée par
%\[\left\{
%\begin{array}{rcl}
%  x(t) &=&  \displaystyle{ \frac{t^2}{1-t}}\\ 
%  y (t)&=& \displaystyle{ \frac{t^4}{1-t^2}} 
%\end{array}
% \right.\]
%
%
%\begin{enumerate}
%\item Donner les domaines de définition et d'étude, puis \'etudier les branches infinies.
%
%\item Déterminer si la courbe possède un point de rebroussement. Si oui, donner la nature du point de rebroussement.
%
%\item  Donner le tableau de variation, puis tracer la courbe (avec le sens de parcours).
%
%\item En utilisant la calculatrice, montrer que la courbe change de convexité quand la fonction $f(t)=t^3-6t-8$ change de signe. En étudiant $f$, montrer qu'il n'y a qu'un seul changement de convexité (en dehors des points remarquables) pour un $t_0>2$ (que l'on ne déterminera pas).
%
% \end{enumerate}
%
%
%{\bf Exercice 2}. \' Etudier et tracer la courbe polaire suivante :
%$$\rho (\theta) = 4\sin\theta \cos^2 \theta .$$

\end{document}
