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\begin{document}

\noindent UGA \hfill MAT307 \hfill 2024-2025
\begin{center}
{\Large{\textbf{DM à rendre au plus tard le 4 octobre}}}
\end{center}

\noindent {\large{\textbf{Exercice 1}}}\\
Étude de la courbe donnée par :
$$(x(t),y(t))=\left(2t+\frac{8}{t},5t+3+\frac{5}{t-1}\right)$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition conjoint de $x(t)$ et $y(t)$.
\item Déterminer les asymptotes (horizontales, verticales, obliques) éventuelles de la courbe ainsi que leurs positions par rapport à la courbe.
\item Calculer, sur leurs domaines de définitions, $x'$ et $y'$. Dresser le double tableau de variations et indiquer les éventuelles tangentes horizontales et verticales.
\item Déterminer le (ou les) point(s) singulier(s), leur nature
et calculer la tangente en ce(s) point(s).
\item Discuter la convexité de la courbe et déterminer les points d'inflexion éventuels. (On pourra effectuer les calculs à la calculatrice \textbf{en indiquant les commandes utilisées sur votre copie})
\item Tracer la courbe en indiquant le sens de parcours lorsque $t$ augmente.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent {\large{\textbf{Exercice 2}}}\\
On considère la courbe  $C$ dont l'équation polaire est
$$ r(\theta)=\frac{1}{1+2\sin(\theta)}, \quad \theta \in
\left]-\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right[ $$
\begin{enumerate}
\item Déterminer $r(\pi-\theta)$ en fonction de $r(\theta)$, en déduire qu'on peut réduire l'intervalle d'étude à $ ]-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$ et donner la symétrie correspondante.
\item Faire l'étude de la courbe: domaine de définition, étude des asymptotes, tableau de variations.
\item Tracer la courbe. Y-a-t'il des points d'inflexion?
\end{enumerate}

\end{document}
