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\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

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\textheight 20cm

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Grenoble Alpes   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence2, mat307                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2017/2018           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
 Examen du 12 janvier 2018, de 8h à 10h. \\
%Ce sujet comporte 2 exercices sur {\bf 1 page}.\\
  {\it Calculatrices et 
r\'esum\'e de cours manuscrit format A4 recto-verso autorisé. 
Autres documents et portables interdits. \\
Ce sujet comporte deux pages. Le barême est indicatif.}
  
\end{center}

\section{Aire (6 points)}
Soit $C$ l'arc de courbe param\'etr\'ee~:
$$ x(t)=1-\cos(t), \quad y(t)=\sin(t)-t, \quad t\in[0,2\pi]$$
On veut d\'eterminer l'aire $A$ de la
zone $Z$ d\'elimit\'ee par l'axe $Oy$ et $C$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $x'$ et $y'$, donner le double tableau
de variations de $x$ et $y$.
\item V\'erifier que 0 est un point singulier
et d\'eterminer la tangente en ce point.  Y-a-t-il
d'autres points singuliers sur $C$~?
\item Tracer $C$ et hachurer $Z$.
\item En utilisant le th\'eor\`eme de Green-Riemann (ou de Stokes), 
exprimer l'aire $$A=\iint_Z dx \ dy $$ 
% 3pi
\`a l'aide d'une int\'egrale curviligne sur $C$, puis calculer $A$.
\end{enumerate}

\section{\'Equation diff\'erentielle (7 points)}
Soit $a>0$ et $\omega>0$. 
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle d'inconnue
la fonction $y(t)$~:
$$ ay'+y=\cos(\omega t)$$
\begin{enumerate}
\item Quel est le type de cette \'equation~?
\item Donner la solution g\'en\'erale de l'\'equation $ay'+y=0$. 
\item D\'eterminer une solution particuli\`ere p\'eriodique $y_p$ de
l'\'equation $ay'+y=e^{i\omega t}$, 
l'\'ecrire sous la forme $y_p=A e^{i(\omega t - \phi)}$ avec $A>0$.
\item Soit $\overline{y_p}$  le conjugu\'e de $y_p$,
d\'eterminer sans faire de calcul
$a\overline{y_p}'+\overline{y_p}$\\
En d\'eduire une solution p\'eriodique de 
$ay'+y=\cos(\omega t)$.
\item En d\'eduire la solution g\'en\'erale de $ay'+y=\cos(\omega t)$
et comparer les solutions
avec la solution p\'eriodique $y_p$ lorsque $t$ tend vers l'infini. 
\item On mod\'elise la temp\'erature moyenne d'un lieu donn\'e 
en fonction de la saison par l'\'equation $ay'+y=\cos(\omega t)$ 
o\`u $2\pi/\omega$ vaut une ann\'ee (loin de l'\'equateur) et
o\`u $a$ est d'autant plus grand que l'inertie thermique du lieu est grande.\\
On observe que la temp\'erature moyenne la plus \'elev\'ee a lieu
avec un d\'ephasage d'environ 3 semaines apr\`es le solstice d'\'et\'e pour les continents, 
environ 8 semaines pour les oc\'eans 
et environ 11 semaines pour la banquise.\\
D\'eterminer le d\'ephasage $\phi_C,\phi_O,\phi_B$ correspondant aux trois situations
(respectivement continents, oc\'eans, banquise)
et en d\'eduire les valeurs de $a_C\omega , a_O\omega, a_B\omega$ correspondantes.
\item D\'eterminer les valeurs de $A_C$ et $A_O$, puis
le rapport $A_C/A_O$ des
amplitudes thermiques au cours d'une ann\'ee 
sur les continents et sur les  oc\'eans. Est-ce vraissemblable~?
\end{enumerate}


\section{Syst\`eme diff\'erentiel (9 points)}
On consid\`ere le syst\`eme diff\'erentiel d'ordre 2
d'inconnues les fonctions $x(t)$ et $y(t)$ \`a valeurs r\'eelles~:
$$ \left\{ \begin{array}{ccccc} \ddot{x}&=&\omega \dot{y} &+&R\omega^2\\
\ddot{y}&=& -\omega\dot{x}
\end{array} \right.$$
o\`u $R>0$ et $\omega>0$ sont des constantes
et o\`u $\dot{f}$ d\'esigne la d\'eriv\'ee de $f$ par rapport \`a $t$.
Ce syst\`eme mod\'elise la trajectoire d'une particule de charge $q$
et de masse $m$
dans un champ magn\'etique $B$ et un champ \'electrique $E$ constants
et perpendiculaires avec
$$ \omega=\frac{qB}{m}, \quad R=\frac{E}{B\omega} $$
On va r\'esoudre ce syst\`eme de deux mani\`eres puis repr\'esenter
la courbe parcourue.
\begin{enumerate}
\item Premi\`ere m\'ethode~:  
soit $z(t)=x(t)+iy(t)$, d\'eterminer
$  \ddot{z}+i\omega \dot{z}$%=R \omega^2 \qquad (*) $$
\item R\'esoudre l'\'equation homog\`ene $  \ddot{z}+i\omega \dot{z}=0$
(attention, les coefficients ne sont pas tous r\'eels).
En d\'eduire la solution g\'en\'erale $z(t)$ avec second membre. 
\item On suppose uniquement dans cette question 
que $x(0)=y(0)=0, \dot{x}(0)=\dot{y}(0)=0$, d\'eterminer $z(t)$
puis $x(t)$ et $y(t)$ 
\item Deuxi\`eme m\'ethode~:
montrer que $(\dot{x},\dot{y})$ v\'erifie un syst\`eme lin\'eaire d'ordre
1 \`a coefficients constants dont on d\'eterminera la matrice $A$.\\
Diagonaliser $A$, en d\'eduire la solution g\'en\'erale {\bf complexe}
$(\dot{x},\dot{y})$ puis $(x,y)$.
\item On suppose dans la suite que
$x(0)=y(0)=0, \dot{x}(0)=\dot{y}(0)=0$. 
D\'eterminer $x(t)$ et $y(t)$ (on pourra v\'erifier que l'on retrouve le r\'esultat pr\'ec\'edent).
\item Expliquer pourquoi la courbe d\'ecrite par la particule 
a un point singulier en $t=0$. D\'eterminer la tangente
en ce point en utilisant le syst\`eme diff\'erentiel.
\item Repr\'esenter l'allure de la courbe d\'ecrite par la particule.
On pourra faire le lien avec le 1er exercice.
\item Appliquer
les \'equations d'Euler-Lagrange au lagrangien
$$ L(x,y,\dot{x},\dot{y},t)=\frac12 m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+qEx+qBx\dot{y}$$
D\'eterminer une constante du mouvement (indication~: 
observer que $L$ ne d\'epend pas explicitement du temps {\bf ou}
observer que $L$ ne d\'epend pas explicitement de $y$).
\end{enumerate}

\vfill

%\pagebreak

\end{document}

\section{Système différentiel (6 points)}
Résoudre le système différentiel
$$ Y'=AY + \left(\begin{array}{c}
\cos(t) \\
\sin(t)
\end{array}\right), 
\quad A=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-2 & -1
\end{array}\right), Y(0)= \left(\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}\right) $$
Le comportement asymptotique de la solution dépend-il 
de la condition initiale~?


\section{Forme diff\'erentielle}
\begin{enumerate}
\item ellipse ou Lissajoux, figure
\item Repere de Frenet
\item Forme differentielle vecteur sortant scalaire un champ Ex,Ey
\item integrale curviligne = integrale double divergence du champ
\item generalisable?
\end{enumerate}
