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\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

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\textheight 20cm

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Grenoble Alpes   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence2, mat307                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2022/2023           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
 Examen du 11 janvier 2023, de 14h à 16h. \\
%Ce sujet comporte 2 exercices sur {\bf 1 page}.\\
  {\it Calculatrices et 
r\'esum\'e de cours manuscrit format A4 recto-verso autorisé. 
Autres documents et portables interdits. \\
Ce sujet comporte {\bf deux pages}. Le barême est indicatif.}
  
\end{center}

\vspace{0.3cm}

\section{Courbe paramétrée (7 points)}
Soit $C$ l'arc de courbe paramétrée
$$ \left\{
\begin{array}{rcl}
  x&=&t^2+t^4 \\
  y&=&2t+t^3
\end{array} \right., \quad t \in [-1,1]$$
% X,Y:=t^2+t^4,2t+t^3;plotparam([X,Y],t=-1..1)

Soient $A$ et $B$ les points de paramètres $t=-1$ et $t=1$.
\begin{enumerate}
\item Faire une étude de la courbe sur l'intervalle $[-1,1]$ (domaine
  de définition, symétries éventuelles, branches infinies éventuelles,
  points singuliers éventuels, double tableau de variation)
\item Tracer l'arc de courbe et le segment $AB$ et hachurer le domaine
  $D$ délimité par l'arc de courbe et le segment $AB$.
\item En ramenant le calcul à une intégrale curviligne,
  déterminer l'aire de $D$~:
  $$ A=\iint_D dx\ dy $$
  % A:=integrate(Y*diff(X,t),t,-1,1); evalf(A); =164/21 7.81
\item En ramenant le calcul d'int\'egrale double non \'evidente
à une intégrale curviligne,
déterminer les coordonnées $x_G,y_G$ du centre d'inertie $G$ du domaine
 (supposé homogène)~:
  $$ x_G=\frac{\iint_D x\ dx \ dy }{A} \quad
  y_G=\frac{\iint_D y\ dx \ dy }{A}$$
  % y_G=0 symétrie, xG:=integrate(Y*X*diff(X,t),t,-1,1)/A, 8176/6765
\end{enumerate}

\vspace{0.7cm}

\section{Système différentiel (6 points)}
\begin{enumerate}
\item
Résoudre le système différentiel
$$ Y'=AY, 
\quad A=\left(\begin{array}{cc}
-3 & 1 \\
1 & -3
\end{array}\right), \quad Y(0)= \left(\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}\right) $$
On pourra au choix diagonaliser la matrice $A$ ou se ramener à une équation
différentielle d'ordre 2.
\item
On s'int\'eresse \`a la solution de
$$ Y'=AY + \left(\begin{array}{c}
\cos(t) \\
2\sin(t)
\end{array}\right), \quad  Y(0)= \left(\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}\right)$$ 
{\bf N.B.: on peut r\'epondre \`a la suite en donnant la forme
que prend cette solution, on n'en demande pas le calcul complet}.\\
 Cette solution tend-elle vers 0 lorsque $t$ tend vers $+\infty$~?
Est-elle born\'ee~?
Le comportement asymptotique lorsque $t$ tend vers
$+\infty$ de la solution de ce syst\`eme dépend-il de la condition initiale~?
% desolve(y'=a*y+[cos(t),2sin(t)] and y(0)=[0,0],t,y)
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\section{\'Equation diff\'erentielle, modélisation (8 points)}
Pour $\alpha > 0$ et $T_0 >0$,
on consid\`ere l'équation diff\'erentielle d'inconnue la
fonction $T(t)$~:
$$ \frac{dT}{dt} = \alpha(T_0^4-T^4) \quad (E_0) $$
$T(t)$ modélise la température absolue de la Terre
au cours du temps, $T_0 \approx 288, \alpha \approx 1.4e-10$
(température en Kelvin, temps en années).
\begin{enumerate}
\item $(E_0)$ est-elle une équation différentielle linéaire~? \`A variables
  séparables~?
\item Déterminer les solutions stationnaires de $(E_0)$. 
\item On suppose qu'à l'instant $0$, $T(0) \in [-T_0,T_0]$.
  Montrer sans chercher à résoudre l'équation différentielle
  que $T(t) \in [-T_0,T_0]$ pour tout temps $t>0$, en déduire
  le sens de variations de $T$ puis le comportement de $T$ lorsque
  $t$ tend vers $+\infty$.
\item  Que se passe-t-il si $T(0)>T_0$~?
  Peut-on dire que la température $T_0$ est un équilibre stable~?
\item Pour modéliser l'effet sur la température des émissions de CO2
  au cours du temps, on ajoute un second membre
  $g(t)$ 
  \`a l'équation
  $$ \frac{dT}{dt} = \alpha(T_0^4-T^4) +g(t) \quad (E) $$
$(E)$ est-elle une équation différentielle linéaire~? A variables
  séparables~? 
\item On suppose maintenant que $T$ est proche
  de $T_0$. Pour pouvoir faire des calculs on linéarise le modèle,
  on remplace $T_0^4-T^4$ par son développement
  de Taylor à l'ordre 1 en $T=T_0$. Déterminer
  ce développement. Montrer qu'on obtient
  une équation de la forme
  $$ \frac{dT}{dt} = \beta(T_0-T) +g(t) \quad (L) $$
  donner la valeur de $\beta>0$  en fonction de $\alpha$ et $T_0$.
\item Résoudre l'équation $(L)$ lorsque $g(t)=c$ est constant (par exemple
  $c=0.03$).
  Montrer que la température se stabilise à une nouvelle valeur
  que l'on déterminera.
\item
On suppose dans cette question que $g(t)$ modélise
  une concentration de CO2 qui croit linéairement
  pendant $t_0$ années puis devient constante~:
  $$
  g(t)=\left\{
  \begin{array}{ll}
  c\frac{t}{t_1} & \mbox{si } t \in [0,t_1] \\
  c & \mbox{si } t>t_1
  \end{array} \right.
  $$ 
  Résoudre l'équation $(L)$ pour $T(0)=T_0$ sur l'intervalle $t \in [0,t_1]$
  en déduire la valeur de $T_1=T(t_1)$.
  Puis résoudre $(L)$ pour $T(t_1)=T_1$ sur
  l'intervalle $t \in [t_1,+\infty[$.
 Discuter l'évolution
  de la température dans ce modèle.
\end{enumerate}


\vfill

%\pagebreak

\end{document}