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\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

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\textheight 20cm

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Grenoble Alpes   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence2, mat307                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2025/2026           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

% constantes pour le modèle du CO2
% a0=0.2, tau0=10^5 ans processus géologiques
% a1=0.26 tau1=20 ans océan superficiel et biosphère active
% a2=0.34 tau2=100 ans océan intermédiaire
% a3=0.2 tau3=400 ans océan profond

\begin{center}
 Examen du jeudi 8 janvier 2026, de 8h30 à 10h30. \\
%Ce sujet comporte 2 exercices sur {\bf 1 page}.\\
  {\it Calculatrices et 
r\'esum\'e de cours manuscrit format A4 recto-verso autorisé. 
Autres documents et portables interdits. \\
Ce sujet comporte {\bf deux pages}. Le barême est indicatif.}
  
\end{center}

\vspace{0.3cm}

\section{Courbe paramétrée (9 points)}
On considère la courbe paramétrée $C$ définie pour $t\in \mathbb{R}$ par~:
$$ \left\{ \begin{array}{rcl}
  x(t)&=& e^{t}+e^{-2t} \\
  y(t)&=& -2e^{t}+e^{-2t}
\end{array} \right.
$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les symétries éventuelles et le domaine d'étude de
  $(C)$. 
\item La courbe admet-elle des branches infinies~?
  Si oui, les décrire (asymptotes, branches paraboliques...).
\item  La courbe admet-elle des points singuliers~? Si oui, les décrire
  (tangente, position par rapport à la tangente).
\item Dresser le double tableau de variations sur le domaine
  d'étude.
\item Faire le tracé de la courbe en indiquant le sens de
  parcours et les éléments importants déterminés aux questions précédentes.
\item La courbe est-elle convexe~? Justifier.
\item Déterminer la longueur de l'arc de courbe entre les points
de paramètre $t=0$ et $t=\ln((\sqrt{5}+1)/2)$ sous forme d'une intégrale,
puis en donner une valeur approchée à l'aide de la calculatrice.
\item Soit $Z$ la zone délimitée par la courbe et la droite $x=2$.
Hachurer $Z$. Déterminer l'aire $A$ de $Z$~:
$$ A=\iint_Z dx \ dy $$
\item (Bonus) $x$ et $y$ sont solutions d'un système différentiel linéaire
homogène à coefficients constants
$$ \frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)
=M \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) $$
Quelles sont les valeurs propres de la
matrice $M$ du système~? Justifier.
\end{enumerate}

% \item On considère la forme différentielle
% $$ \omega= e^{xy}(y\cos(x)-\sin(x)) dx +
% x \cos(x) e^{xy}dy$$
% \begin{enumerate}
% \item Cette forme est-elle fermée~? Exacte~? Si oui,
%   en donner un potentiel.
% \item Calculer $\int_{C} \omega$ 
% \end{enumerate}
% \end{enumerate}

\vspace{0.7cm}

\section{Calcul variationnel (3 points)}
\begin{enumerate}
\item Donner l'équation d'Euler-Lagrange correspondant au lagrangien
$$ L(x,\dot{x},t)=\frac12 m \dot{x}^2 - \frac{C}{x}$$
où $x(t) \in \mathbb{R}$, et $m>0, C$ sont des constantes.
\item Déterminer le hamiltonien associé et justifier qu'il est conservé.
Quel est le type de l'équation différentielle que l'on 
peut en déduire~? 
\end{enumerate}

\vspace{0.7cm}


\section{Syst\`emes diff\'erentiels (8 points)}
%Soient $a>0, b>0$ deux paramètres réels.
On consid\`ere le syst\`eme diff\'erentiel
d'inconnues les fonctions $x$ et $y$ où $x(t),y(t) \in \mathbb{R}$~:
%% $$ (*) \quad \left\{ \begin{array}{ccc}
%% \frac{dx}{dt} & = & -ax+by \\
%% \frac{dy}{dt} & = & ax-by \\
%% \end{array}\right. $$
$$ (*) \quad \left\{ \begin{array}{ccc}
\frac{dx}{dt} & = & -x+4y \\
\frac{dy}{dt} & = & x-4y \\
\end{array}\right. $$
\begin{enumerate}
\item Donner la matrice du syst\`eme, d\'eterminer ses valeurs propres
et des vecteurs propres associ\'es.
\item D\'eterminer la solution générale de (*).
\item Vérifier que $x+y$ est une intégrale première du système
(i.e. est indépendant du temps). 
\item Donner la solution du système ayant comme condition initiale
$x(0)=1, y(0)=0$. Quel est son comportement lorsque $t \rightarrow +\infty$~?
\item On suppose $x$ et $y$
sont positifs ou nuls à l'instant initial $t=0$,
i.e. $x(0) \geq 0, y(0) \geq 0$.
Quelle(s) condition(s) initiale(s) permet(tent) d'assurer 
que $x$ tend vers 0 lorsque $t \rightarrow +\infty$~?
\item On consid\`ere dans cette question le syst\`eme 
$$  \left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} & = & -ax+by + c\\
\frac{dy}{dt} & = & ax-by \\
\end{array}\right. $$
où $a,b, c$ sont des paramètres réels strictement positifs. 
$x$ est-il borné lorsque $t$ tend vers $+\infty$~?
\item On modélise l'excès de CO2 atmosphérique à l'instant $t$
(par rapport à la concentration préindustrielle,
en unité de temps arbitraire)
par $x(t)$ et l'excès de CO2 dans l'océan et la biosphère 
par $y(t)$ avec $a=4$ et $b=1$ 
[N.B. l'énoncé initial indiquait $a=1$ et $b=4$]. \\
Discuter l'évolution de l'excès du CO2 modélisé dans l'atmosphère en supposant
les hypothèses de la question 4 (i.e. arrêt des émissions humaines 
à l'instant $t=0$), puis celles de la question 6 (i.e. émissions humaines
constantes).
\item (Bonus) Un modèle plus réaliste de système
différentiel linéaire à coefficients constants
en dimension 4 donne pour l'excès de concentration
atmosphérique $x(t)$ ($t$ en années) dans les hypothèses 
de la question 3 (arrêt des émissions à l'instant $t=0$)~:
$$ x(t) \ = \ a_0 + a_1 e^{-t/\tau_1} + a_2 e^{-t/\tau_2} + a_3 e^{-t/\tau_3} $$
où $a_0=0.2, \quad a_1=0.26, \tau_1=20, \quad a_2=0.34, \tau_2=100, 
\quad a_3=0.2, \tau_3=400$
($a_1,\tau_1$ modélisent l'océan superficiel et la biosphère, 
$a_2,\tau_2$ l'océan intermédiaire et $a_3, \tau_3$ l'océan profond.)\\
Que peut-on dire des valeurs propres de la matrice du système~?
\end{enumerate}


\vfill

%\pagebreak

\end{document}