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\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

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\textheight 20cm

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Grenoble Alpes   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence2, mat307                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2023/2024           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
 Examen du 28 juin 2024, de 8h à 10h. \\
%Ce sujet comporte 2 exercices sur {\bf 1 page}.\\
  {\it Calculatrices et 
r\'esum\'e de cours manuscrit format A4 recto-verso autorisé. 
Autres documents et portables interdits. 
%Ce sujet comporte {\bf deux pages}. 
Le barême est indicatif.}
  
\end{center}

\vspace{0.3cm}

\section{Courbe polaire (10 points)}
On considère la courbe  $C$ dont l'équation polaire est 
$$ r(\theta)=\frac{1}{1+2\sin(\theta)}, \quad \theta \in ]-\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}[ $$
\begin{enumerate}
\item Déterminer $r(\pi-\theta)$ en fonction de $r(\theta)$,
en déduire qu'on peut réduire l'intervalle d'étude 
à $ ]-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$ et donner la symétrie correspondante.
\item Faire l'étude de la courbe: 
domaine de définition, étude des asymptotes, tableau de variation.
\item Tracer la courbe. Y-a-t'il des points d'inflexion~?
\item Déterminer la longueur de l'arc de courbe situé entre les
points de paramètres $\theta=0$ et $\theta=\pi/2$ sous
forme d'une intégrale dont on ne cherchera pas à
déterminer une valeur exacte. Donner une valeur approchée
de cette longueur à l'aide de la calculatrice.
\item Déterminer les points de la courbe situés sur l'axe $Ox$ 
(tels que $y=0$).
\item Déterminer l'aire délimitée par la courbe et l'axe $Ox$.
\item Déterminer le repère de Frénet au point de paramètre
$\theta$, tracer le repère au point
de paramètre $\theta=0$.
\item {\em Bonus} Déterminer la courbure en $\theta=0$, et tracer le cercle
osculateur en ce point.
\end{enumerate}

\vspace{0.7cm}


\section{Système diff\'erentiel, etc. (10 points)}
On considère $a$ un réel, la matrice identité $I_2$ de taille 2, et
la matrice~:
$$ A=
\left(\begin{array}{cc}2&-2\\4&8\end{array}\right)
$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs propres et des vecteurs propres de $A$.
Vérifier qu'ils sont encore vecteurs propres de $A+aI_2$, quelles sont
les valeurs propres correspondantes~?
\item Résoudre le système linéaire
$$ \frac{dY}{dt}=(A+aI_2)Y, \quad 
Y(0)=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)
$$ 
\item Discuter en fonction de la valeur de $a$ si
$Y(t)$ reste borné au voisinage de 
$t \rightarrow +\infty$. %positif.
\item On suppose dorénavant que $a=-5$, on pose
$Y(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$
Faire l'étude la courbe paramétrée $(x(t),y(t))$ et tracer
la courbe solution.
\item Déterminer la valeur de $\int_\gamma x dy$ où
$\gamma$ est l'arc de courbe précédent entre les points
de paramètres $t=0$ et $t=1$.
\end{enumerate}

\vfill

%\pagebreak

\end{document}