\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[10pt,a4paper,twoside]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,latexsym}
\usepackage{a4,mathptmx,helvet,courier}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\textheight 20cm

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Grenoble Alpes   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence2, mat307                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2024/2025           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
 Examen du 27 juin 2025, de 8h à 10h. \\
%Ce sujet comporte 2 exercices sur {\bf 1 page}.\\
  {\it Calculatrices et 
r\'esum\'e de cours manuscrit format A4 recto-verso autorisé. 
Autres documents et portables interdits. \\
{\bf Attention, ce sujet comporte deux pages}. 
Le barème est indicatif.}
  
\end{center}

\vspace{0.3cm}

\section{Courbe (10 points)}
On pose
$$ x(t)=2\cos(t)-\cos(2t), \quad y(t)=2\sin(t)-\sin(2t)$$
et on \'etudie dans cet exercice la courbe param\'etr\'ee
$(x(t),y(t)), \ t \in \mathbb{R}$ (appel\'ee cardioïde) 
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer les symétries et la périodicité permettant
de r\'eduire le domaine d'\'etude \`a $[0,\pi]$.
\item La courbe admet-elle des branches infinies~?
\item Montrer que les valeurs de $t$ pour lesquelles on a un point singulier
v\'erifient $t=2t [2\pi]$. En d\'eduire la ou les valeurs de $t\in [0,\pi]$
correspondantes,
donner la direction de la tangente en ce(s) point(s).
\item Faire le double tableau de variations sur l'intervalle d'\'etude.
\item Tracer la courbe en indiquant le sens de parcours.
\item D\'eterminer la longueur de la courbe sur une p\'eriode.
\item D\'eterminer le repère de Frénet en $t=\pi/2$, 
ainsi que la courbure et le cercle osculateur, les repr\'esenter sur
la courbe.
\item D\'eterminer l'aire contenue \`a l'int\'erieur de la courbe 
\`a l'aide d'une intégrale curviligne.
\end{enumerate}

\vspace{0.7cm}


\section{\'Equation différentielle, courbe (10 points)}
On considère $a$ un réel et l'équation différentielle d'ordre 2,
d'inconnue la  fonction $x(t)$~:
$$  x'{'} - (2a+5) x' +(a^2+5a+6) x =0 $$
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de cette équation~?
Déterminer sa solution générale $x(t)$ en fonction de la variable
$t$ et du paramètre $a$.
\item Déterminer en fonction de $a$ 
la solution particulière ayant comme conditions
initiales $x(0)=0, x'(0)=1$.
\item Discuter en fonction de la valeur de $a$ si
$x(t)$ reste borné au voisinage de $t \rightarrow +\infty$. %positif.
\item On suppose dorénavant que $a=-5$, vérifier que la solution particulière
de la question (2) est
$$ x(t)=e^{-2t}-e^{-3t}$$ 
On pose
$$Y(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ x'(t)\end{array}\right)$$
Faire l'étude de la courbe paramétrée $(x(t),y(t)=x'(t))$ (sym\'etries
\'eventuelles, double tableau de variations).
\item D\'eterminer la direction de la branche parabolique 
en $t=-\infty$.
\item D\'eterminer la tangente au point limite en $t=+\infty$.
\item Tracer la courbe en indiquant le sens de parcours.
%% \item Déterminer la valeur de $\int_\gamma x dy$ où
%% $\gamma$ est l'arc de courbe précédent entre les points
%% de paramètres $t=0$ et $t=1$.
\end{enumerate}

\vfill

%\pagebreak

\end{document}