% decoupage en 2 feuilles de TD
% pdftk m307td1.pdf cat 1-2 output m307td1_1.pdf ; pdftk m307td1.pdf cat 3-6 output m307td1_2.pdf
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,amscd,graphicx}
\pagestyle{empty}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\def\ds{\displaystyle}
\newcommand{\mathframe}[1]{\fbox{$#1$}}
\def\ima{\mathrm{Im}}

\topmargin-2.8cm
\oddsidemargin-2.4mm
\textwidth17.5cm
\textheight26.7cm
\parskip=3pt
\parindent=0pt

\begin{document}

\pagestyle{empty}

UGA  \hfill {\bf Feuille d'exercices 1: courbes} \hfill mat307

\bigskip
N.B.~: Les exercices marqu\'es
par $\heartsuit$  sont \`a faire en priorit\'e, ceux marqu\'es d'un
$\spadesuit$  sont plus difficiles.

{\bf Exercice 0, rappels de g\'eom\'etrie analytique, complexes et
  trigonom\'etrie} $\heartsuit$
\begin{enumerate}
\item $\heartsuit$  D\'eterminer la pente, le vecteur directeur et
l'\'equation cart\'esienne de la tangente au graphe
de $f(x)=x^2-1$ au point d'abscisse $x=3$. Faire une repr\'esentation
graphique.
\item $\heartsuit$  Donner le vecteur directeur de la tangente au cercle de centre 
$C(-1,-2)$ et de rayon 5 passant par le point $(2,2)$, puis
une \'equation param\'etrique de cette tangente, puis une \'equation
cart\'esienne. Faire une figure.
\item $\heartsuit$  Soit deux droites $D$ et $D'$ de pentes $m$ et $m'$. Montrer que
$D$ et $D'$ sont orthogonales si et seulement si $mm'=-1$.
\item $\heartsuit$  Soit $A(-1,0)$ et $B(1,0)$. 
D\'eterminer l'ensemble des points $M(x,y)$ du plan tels que
$MA^2+MB^2=4$. Faire une figure.
\item $\heartsuit$  Tracer le cercle $C$ d'\'equation cart\'esienne $x^2+2x+y^2-4y=4$.
Donner une \'equation $y=f(x)$ du demi-cercle tel que
$y>2$. V\'erifier
que la tangente calcul\'ee en voyant le demi-cercle comme un graphe
de fonction est bien orthogonale au rayon.
\item  D\'eterminer les images par la sym\'etrie axiale d'axe
  d'\'equation $y=2x$  de $A$, la droite $AB$ et le cercle $C$
  d\'efinis ci-dessus.
\item On consid\`ere les graphes $F$ de $e^x$ et $G$ de $e^{-x}$, soient $M$
et $N$ les points de $F$ et $G$ d'abscisses $a \in \R$, et $D$ et $D'$
les tangentes en $M$ et $N$. Que peut-on dire de ces 2 droites~?
Soient $P$ et $Q$ les intersections avec l'axe des abscisses,
d\'eterminer la longueur $PQ$.
\item $\heartsuit$  Donner le module et l'argument de $1+i, 3-4i, -1+\sqrt{3}i$.
Repr\'esenter les points du plan d'affixe $2e^{i\pi/4},
\sqrt{3}e^{i\pi/6}$
et donner leurs coordonn\'ees.
\item R\'esoudre dans $\C$ les \'equations suivantes 
$$z^2+2=0 \quad z^2=1+i \quad z^2+iz=2 \quad z^2+rz-\omega^2=0$$
\item Suite g\'eom\'etrique dans $\C$\\
Soit $u_n$ la suite d\'efinie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=qu_n$.
Repr\'esentez les 10 premiers termes de la suite lorsque
$q=1+i,i,(1-i)/3$. Donner la repr\'esentation
polaire de $u_n$ en fonction de $n$ et expliquez le graphique.
\item Calculer $\int_0^\pi \sqrt{\cos(2x)+1}$
\item $\heartsuit$  Lin\'eariser $\sin(x)^4$ en utilisant
  $\sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)$ puis
en d\'eterminer une primitive.
\item R\'esoudre l'\'equation $\cos(3x)+3\cos(x)=\sqrt{2}$ en utilisant
  $\cos(3x)=\Re((e^{ix})^3)$
\item $\heartsuit$  Repr\'esenter dans le plan complexe les points $A$ et $B$ d'affixe $1+i$ et
$2-i$. D\'eterminer le lieu des points $M$ \'equidistants de $A$ et
$B$. D\'eterminer le cercle de diam\`etre $AB$ (affixe du centre et
rayon).
\item Soit $r$ la rotation de centre l'origine, et d'angle
  $\pi/6$. Calculer les images des vecteurs de base d'affixe $1$ et $i$
en utilisant les nombres complexes. En d\'eduire la matrice
de $r$ dans la base canonique. Faire le m\^eme calcul pour la rotation
inverse et v\'erifier que les deux matrices sont inverses.\\
Soit $M(x,y)$ dans la base
canonique, d\'eterminer les coordonn\'ees $(X,Y)$ de $M$ dans la base
image de la base canonique par $r$.
\end{enumerate}

{\bf Exercice 1}. D\'eterminer
une \'equation cartésienne de la droite passant par $(1,2)$ et perpendiculaire
\`a la droite paramétrée $x(t)=x_{0}+at$, $y(t)=y_{0}+bt$. En donner
une repr\'esentation paramétrique.\\
Soit $D$ une droite de $\R^2$ donn\'ee par l'\'equation
cart\'esienne $ax+by+c=0$, $(a,b)\neq(0,0)$. 
Donner une infinit\'e de param\'etrages diff\'erents de $D$.


{\bf Exercice 2} $\heartsuit$
Soit $f(x)=\frac{x^2-3x+1}{x-2}$. D\'eterminer le domaine de
d\'efinition de $f$, des \'eventuelles sym\'etries de la courbe, les
asymptotes \'eventuelles, faire le tableau de variations de $f$,
tracer la courbe et ses \'el\'ements remarquables.



{\bf Exercice 3}. Montrer que le cercle d\'efini comme la courbe
param\'etr\'ee $t \in \mathbb{R} \mapsto (\cos t,\sin t)$ n'est pas le graphe d'une
fonction $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ o\`u $I$ est un intervalle de
r\'eels. Donner un intervalle en $t$ de taille maximal o\`u elle l'est
et tracer l'arc de courbe correspondant.\\
D\'eterminer une \'equation param\'etrique de l'image du cercle 
trigonom\'etrique par l'affinit\'e de base $Ox$, de direction $Oy$ et
rapport $r$ (\'ecrasement vertical du cercle), on obtient une ellipse.
Pour avoir une branche d'hyperbole changer les fonctions trigonom\'etriques
en fonctions trigonom\'etriques hyperboliques.
Tracer ces courbes pour $r=0.5$.
Donner une \'equation param\'etrique de la parabole d'\'equation 
$x=y^2$ dans $\R^{2}$, la tracer.




{\bf Exercice 4}. $\heartsuit$ 
Etudier les branches infinies de la courbe plane
d\'efinie par :
$$\ds t \mapsto (\frac{t^2}{t-1},\frac{t}{t^2-1})$$


{\bf Exercice 5} $\heartsuit$ Soit la courbe plane $\Gamma$ donnée par 
$\ds f(t)=(x(t),y(t))= (\frac{t^2}{1+t},\frac{t^3}{1+t})$ où le paramètre $t$ décrit 
$\R\setminus \{ -1\}$.

a) Calculer $x'(t)$ et $y'(t)$. Déterminer les points singuliers de
$\Gamma$ et la tangente en ces points (bonus~: d\'eterminer la nature
de ces points singuliers).

b) Etudier les branches infinies de $\Gamma$ (il y a une asymptote).

c) Etudier la convexité de $\Gamma$ (conseil~: considérer les variations de $g(t)=y'(t)/x'(t)$).

d) Dresser un tableau de variation commun de $x(t)$ et $y(t)$. 

e) Tracer la courbe $\Gamma$.


{\bf Exercice 6} $\heartsuit$ 
Etude de $L$ la courbe de Lissajous paramétrée par $x(t)=\sin t$ et $y(t)=\cos 3t$.
\begin{enumerate}
\item Donner les symétries qui permettent de réduire l'intervalle d'étude à $[0,\pi/2]$.
\item Dresser sur $[0,\pi/2]$ un tableau de variation commun de $x(t)$ et $y(t)$.
\item Déterminer la tangente en $L$ en $t=\pi/4$.
\item A l'aide de tout ceci, tracer la courbe $L$.
\item Pr\'eciser le trac\'e en \'etudiant sur $[0,\pi/2]$ la convexité
  de $L$ 
\end{enumerate}


{\bf Exercice 7}. Soit la courbe plane param\'etr\'ee par 
$x(t)=t+\frac{1}{t}$, $y(t)=t-\frac{1}{t}$ pour $t>0$. Montrer que, par
changement de param\`etre, cette courbe se transforme en 
$x(t)=2{\rm cosh}(s)$, $y(t)=2{\rm sinh} (s)$.




{\bf Exercice 8$\spadesuit$ }: Soit la parabole $P$ d'\'equation $y=\frac{x^2}{2}+\frac12$.
D\'eterminer le point d'intersection de la r\'eflexion sur la parabole 
de rayons incidents verticaux dirig\'es vers le bas.


{\bf Exercice 9}$\heartsuit$. Soit la courbe plane d\'efinie sur $\R$ par 
$\ds t \mapsto (3t^2-2t^3,5t^4-4t^5)$.
D\'eterminer les points singuliers de cette courbe et la tangente
en ces points.
Bonus~: d\'eterminer la nature de ces points singuliers.



{\bf Exercice 10}. Soit l'astro\"{\i}de $A$ paramétrée par 
$\ds x(t)=\frac{1}{4}(3\cos t+\cos 3t$), 
$\ds y(t)=\frac{1}{4}(3\sin t-\sin 3t$)

a) D\'eterminer les points singuliers de $A$
et la tangente \`a l'astro\"{\i}de en ces points. 

b) V\'erifier que la distance entre les points d'intersection de la tangente en un point r\'egulier $M(t) \in A$ avec les axes est constante. En d\'eduire une construction g\'eom\'etrique alternative de l'astro\"{\i}de.


\textbf{Exercice 11}$\heartsuit$ \'Etude et trac\'e de la courbe plane d'équation polaire
$r(\theta)=\cos3\theta$.




{\bf Exercice 12}. Etudier et tracer les courbes planes d\'efinies
par :
\smallskip

1) $\ds t \mapsto (\frac{t}{1+t^2},\frac{2+t^3}{1+t^2})$,
\smallskip

2) $\heartsuit$ $\ds r(\theta) = 1 + \frac{1}{\theta-\pi/4}$

\smallskip

3) (Rosace \`a trois boucles) $r(\theta) = \sin(3\theta)$.


{\bf Exercice 13}. Soit $C$ un cercle de centre $(1, 0)$ et de rayon 1.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer une \'equation polaire de $C$.
\item Soit $D$ une droite passant par l'origine qui coupe $C$ en un point $P$. 
On construit sur $D$ deux points $M$ et $N$ distincts tels que $d(P;M) = d(P;N) = a$,
o\`u $a$ est un r\'eel strictement positif fix\'e. 
D\'eterminer une \'equation polaire de
l'ensemble $\Gamma_a$ d\'ecrit par les points $M$ et $N$ si l'on varie 
$D$ %({\it lima\c{c}ons de Pascal}).
\item \'Etudier et tracer $\Gamma_1$.
\item D\'eterminer, lorsque $a$ d\'ecrit $]0;\infty[$,
l'ensemble des points des courbes $\Gamma_a$ dont la tangente est verticale.
\end{enumerate}


{\bf Exercice 14}. Une conique $C$ d'excentricité $e>0$ de foyer
l'origine $O$ du plan et 
de directrice $D$ la droite d'équation $x=d>0$ est l'ensemble des points $M$ vérifiant 
$d(O,M)=ed(M,D)$  où $d(M,D)$ est la distance du point $M$ à la droite $D$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation polaire de $C$ est 
$\ds r(\theta)=\frac{ed}{1+e\cos(\theta)}$
\item En déduire que $C$ est une ellipse si $ e<1$. 
\item Dans quel cas $C$ est-t-elle une parabole ?
\item Tracer la courbe pour $d=1$ et $e=1/2$, $e=1$ et $e=2$.
\end{enumerate}

{\bf Exercice 15}: Param\'etrer et faire l'\'etude des coniques
d'\'equation cart\'esienne:
$$x^2+4y^2+2xy=4, \quad x^2-3y^2+2xy=4$$




{\bf Exercice 16}.  (Strophoïde droite) Soit $\Gamma$ la courbe d'\'equation
cart\'esienne: $$x(x^2+y^2)=x^2-y^2$$ 

1) Soit $\Delta_t$ la droite d'\'equation $y=tx$. Déterminer pour $t\ne 0$, le point d'intersection $M(t)=(x(t),y(t))$ de $\Gamma$ et $\Delta_t$. En déduire une paramétrisation de  $\Gamma$.

2) D\'eterminer l'équation polaire de $\Gamma$.

3) Tracer la courbe $\Gamma$.


{\bf Exercice 17$\spadesuit$ }. Soit $n\ge 2$ un entier naturel et $\gamma $ un cercle de
rayon $1/n$ qui roule sans glisser \`a l'int\'erieur du cercle unit\'e $C$. 
On fixe un point $M$ du cercle mobile $\gamma $, il d\'ecrit dans le
mouvement une courbe. On prend comme param\`etre l'angle polaire 
$\theta\in\R$ du point de contact $H(\theta )=(\cos \theta ,\sin \theta
)$ du cercle mobile $\gamma $ avec le cercle fixe $C$. On suppose que 
$M(0)=H(0)=(1,0)$.

a) Calculer les coordonn\'ees du centre $I(\theta )$ de $\gamma $ au temps
$\theta $.

b) Montrer que l'angle $\widehat{M(\theta )H(\theta )}$ est $n\theta $.

c) Trouver les coordonn\'ees de $M(\theta )=(x(\theta ),y(\theta ))$.

[R\'esultat : $x(\theta )=\frac{1}{n}((n-1)\cos\theta+\cos(n-1)\theta$), 
$y(\theta )=\frac{1}{n}((n-1)\sin\theta-\sin(n-1)\theta$)] 
  


{\bf Exercice 18} $\heartsuit$ 
D\'eterminer la longueur d'un arc de cyclo\"ide:
$$ x(t)=R(t-\sin(t)), y(t)=R(1-\cos(t))$$



{\bf Exercice 19}. Calculer la longueur de la {\it n\'ephro\"{\i}de},
d'\'equations param\'etriques 
$$x(t)=3\cos(t) -\cos(3t)\qquad y(t) =
3\sin(t) -\sin(3t).$$ 

%puis de la courbe 
%d'�quation polaire
%$\rho(\theta) = \cos^2(\theta)$.



{\bf Exercice 20}$\heartsuit$. Soit la courbe plane $\Gamma$ d\'efinie sur
$\mathbb{R}$ par 
$$x(t) = e^{-t}\cos(t)\qquad y(t) = e^{-t}\sin(t).$$
Calculer la longueur de $\Gamma$ entre les points de paramètre $0$ et $1$.






\textbf{Exercice 21} $\heartsuit$
Soit $a>b>0$ deux r\'eels positifs. On param\`etre une ellipse par:
$$ x(t)=a\cos(t), \quad y(t)=b \sin(t)$$
Calculer la vitesse $v$ et l'acc\'el\'eration, puis l'acc\'el\'eration
normale $a_n$ et tangentielle $a_t$. En d\'eduire le rayon de
courbure $R$ en un point de l'ellipse. Tracer le cercle
osculateur aux points $(\pm a,0)$, $(0,\pm b)$.


\textbf{Exercice 22} $\heartsuit$
Déterminer le repère de Frenet au point de paramètre $f(t)$ pour les courbes paramétrées planes suivantes :
\begin{enumerate}
\item $f(t)=(4t+1,3t)\;$ (droite),
\item  $f(t)=(2\cos t,2\sin t+1)\;$ (cercle),
\item   $f(t)=(t,\sin t)\;$ (graphe du sinus).
\end{enumerate}



\textbf{Exercice 23} $\heartsuit$
Soit $C$ la spirale logarithmique d'équation polaire 
$r(\theta)=e^{-\theta}$. On notera $M(\theta)$ le point de $C$ d'angle polaire $\theta$.

1) Calculer la longueur de l'arc entre les points de paramètre $0$ et $\alpha$. En déduire un paramétrage de $C$ par longueur d'arc.

2) Déterminer le repère de Frenet de $C$ au point $M(\theta)$.

3) Calculer la courbure signée $\kappa(\theta)$  et le centre de courbure  $O(\theta)$ en $M(\theta)$. 

4) Tracer le cercle osculateur $\Gamma$ en $\theta=0$ et sa position relative par rapport à la courbe $C$.



\textbf{Exercice 24.} Soit la parabole $P$ paramétrée par $x(t)=t,\, y(t)=t^{2}$. 

Calculer la longueur de l'arc entre $t=0$ et $t=\alpha$. 
En déduire un paramétrage par longueur d'arc de $P$.



\textbf{Exercice 25.} Calculer la courbure de la branche de l'hyperbole
${\displaystyle y={\frac{1}{x}}}$ et $x>0$. En quel(s) point(s)
est-elle maximale ?



\textbf{Exercice 26.} Montrer que le rayon de courbure de la parabole
$\ds y={\frac{1}{2}}x^{2}$ est ${\displaystyle {\frac{1}{\cos^{3}\theta(x)}}}$
où $\theta(x)$ désigne l'angle de la tangente pour le paramètre $x$.
Trouver l'équation du cercle osculateur de plus petit rayon.




\textbf{Exercice 27.} Trouver le(s) sommet(s) de la courbe plane (i.e.
les points de courbure maximale ou minimale) $y=e^{x}$.


\textbf{Exercice 28.} Soit la courbe $\Gamma$ paramétrée par $x(t)=(\mathrm{cos}^{2}t+3)\mathrm{sin}t$,
$y(t)=(\mathrm{sin}^{2}t-2)\mathrm{cos}t$.

a) Calculer la longueur d'arc $s(t)$ entre les points de paramètre
$0$ et $t$.

b) Calculer la courbure $\kappa(t)$ au point de paramètre $t$.

c) En déduire les sommets de la courbe $\Gamma$ et les valeurs
de la courbure $\kappa(t)$ en ces points.

d) En déduire bien que ressemblant grossièrement à une ellipse (faire
un tracé rapide), $\Gamma$ n'est pas une ellipse !

e) En déduire une paramétrisation $t\mapsto O(t)$ de la développée
$D$ de $\Gamma$. %Que reconnait-on ? Conclusion ?



{\bf Exercice 29$\spadesuit$ }
On s'int\'eresse \`a la courbe param\'etr\'ee (clotho\"ide)
$$ x(t)+iy(t)=\int_0^t e^{i u^2} \ du $$
\begin{enumerate}
\item Faire une repr\'esentation graphique avec un logiciel ou une
calculatrice. Justifier la forme en spirale de la courbe
en faisant une \'etude sur $[\sqrt{2n\pi},\sqrt{2(n+1)\pi}], \ n \in \N$.
Montrer que $O$ est centre de sym\'etrie de la courbe.
\item Calculer le vecteur tangent, d\'eterminer la longueur d'arc
  entre deux points de param\`etre $t_1$ et $t_2$
\item D\'eterminer la courbure, montrer que l'acc\'el\'eration normale
est proportionnelle \`a l'abscisse curviligne.\\
Cette derni\`ere propri\'et\'e est utilis\'ee pour faire des raccords
entre arcs de cercle et portions rectilignes de route ou 
de lignes de chemin de fer, sur la partie rectiligne,
l'acc\'el\'eration normale est nulle, sur le raccord clotho\"ide
elle augmente lin\'eairement de 0 jusqu'\`a atteindre la valeur
constante qu'elle conserve ensuite le long de l'arc de cercle.
\end{enumerate}



\textbf{Exercice 30} $\heartsuit$ 
Calculer l'intégrale curviligne $\int_{\gamma}\omega$
pour les données suivantes :
\begin{enumerate}
\item $\ds \omega=\frac{(x-y)dx+(x+y)dy}{x^{2}+y^{2}}$ et $\gamma$ est le carré de centre $O$ et de coté $2a$ orienté dans le sens direct.

\item $\omega=(e^{x}\mathrm{cos}y+xy^{2})dx+(x^{2}y-e^{x}\mathrm{sin}y)dy$
et $\gamma$ est l'arc de lemniscate $r=\sqrt{\mathrm{cos}2\theta}$, $\theta\in[0,\pi/4]$.

\item $\omega=y^{2}dx+x^{2}dy$ et $\gamma$ est le cercle unité paramétré dans le sens direct.
\end{enumerate}



{\bf Exercice 31} Cet exercice est consacr\'e \`a l'\'etude de la courbe 
$$ x(t)=\cos(t)^3-\cos(t), \quad y(t)=\sin(t)^3+\sin(t)$$
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de d\'efinition commun de $x$ et $y$. Montrer qu'on
peut restreindre le domaine d'\'etude \`a $[0,\pi/2]$ gr\^ace aux sym\'etries de la
courbe que l'on justifiera. %2
\item Calculer $dx/dt$ et $dy/dt$. La courbe admet-elle des points
singuliers~? Si oui, d\'eterminer la tangente \`a la courbe en ces
points. %1
\item D\'eterminer le signe de $dx/dt$ et $dy/dt$ sur $[0,\pi/2]$. %1
Dresser le double tableau de variations et repr\'esenter l'allure de
la courbe en indiquant les points de param\`etres $0, \pi/2, \pi$ et
le sens de parcours. %2
\item D\'eterminer la longueur de l'arc de courbe entre les points de
  param\`etre $t=0$ et $t=\pi/2$ sous la forme d'une int\'egrale dont
on ne cherchera pas \`a d\'eterminer la valeur exacte.
D\'eterminer \`a la calculatrice une valeur approch\'ee de cette
longueur, v\'erifier la vraissemblance du r\'esultat sur votre
repr\'esentation graphique.  %(2.24...)
En d\'eduire la longueur totale de la courbe. %2
\item D\'eterminer le rep\`ere de Frenet, la courbure et le cercle
  osculateur au point de param\`etre  $t=\pi/4$, tracer le
  cercle sur votre repr\'esentation graphique. %2, centre (-1/2,0) rayon 1/2 
\item Exprimer l'aire situ\'ee \`a l'int\'erieur de l'arc de courbe 
entre les points de param\`etre 0 et $\pi$ \`a l'aide d'une
int\'egrale curviligne puis d'une int\'egrale. 
D\'eterminer la valeur de cette int\'egrale 
\`a la calculatrice en indiquant la commande utilis\'ee. V\'erifier
la vraissemblance du r\'esultat sur votre repr\'esentation graphique. %2
\end{enumerate}

{\bf Exercice 32}$\heartsuit$
Calculer l'aire situ\'ee \`a l'int\'erieur de la courbe de Lissajoux
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(3t)$$



{\bf Exercice 33.}
On consid\`ere la forme différentielle $\omega=x dy -y dx$ sur $\R^2$.
\begin{enumerate}
\item Cette forme est-elle fermée? exacte?
\item Pour quelles valeurs de $\alpha \in \R$
la forme diff\'erentielle $(x^2+y^2)^\alpha \omega$ 
est-elle fermée sur $\R^2-\{(0,0)\}$?
\item Soit l'ellipse d'équations paramétriques 
\[ x(t)=a\cos(t), \ y(t)=b\sin(t) \]
Calculer l'intégrale curviligne de $\omega$ sur une période
($t\in[0,2\pi]$)
\item En appliquant le théorème de Stokes, en déduire l'aire
de l'ellipse.
\item Donner un paramétrage du cercle $C$ 
de centre l'origine et de rayon 1.
Calculer  $ \int_C (x^2+y^2)^{-1} \omega $.
La forme $\omega_1=(x^2+y^2)^{-1} \omega$ est-elle exacte sur
$\R^2-\{(0,0)\}$?
\item La forme $\omega_1=(x^2+y^2)^{-1} \omega$ est-elle exacte sur
$(\R^{+*})^2$? Si oui, en d\'eterminer un potentiel.
\item Calculer $\int_\gamma \omega_1$ o\`u $\gamma$ est un chemin
ferm\'e inclus dans $(\R^{+*})^2$.
\end{enumerate}



{\bf Exercice 34}$\heartsuit$
D\'eterminer le centre d'inertie d'un quart d'ellipse.

{\bf Exercice 35 (session 2, juin 2015)}\\
{\bf Partie 1: Courbe param\'etr\'ee}\\
On consid\`ere la courbe param\'etr\'ee $C$
$$ x(t)=\cosh(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}, \quad y(t)=\sinh(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$$
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le domaine de d\'efinition et les sym\'etries de la
  courbe.
\item \'Etudier les \'eventuelles branches asymptotiques.
\item Calculer le rep\`ere de Frenet (form\'e par le vecteur tangent
  et le vecteur normal) au point $M(t)=(x(t),y(t))$
\item Donner le double tableau de variations et repr\'esenter la
  courbe.
\item D\'eterminer la valeur de $x^2-y^2$ et en d\'eduire la nature
de la courbe.
\end{enumerate}

{\bf Partie 2: Int\'egrale curviligne}
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'intersection de la courbe avec la droite
  d'\'equation $x=2$ est constitu\'ee de deux points $A$ et $B$
dont on calculera la valeur du param\`etre $t$ et les coordonn\'ees
$x$ et $y$.
\item Exprimer la longueur de l'arc de courbe $AB$ sous forme
d'une int\'egrale puis en donner une valeur approch\'ee \`a l'aide
de la calculatrice.
\item On consid\`ere dans la suite la zone $Z$ d\'elimit\'ee par l'arc de courbe
situ\'e entre $A$ et $B$ et le segment $AB$. Hachurer $Z$ sur votre
figure et calculer l'aire de la zone $Z$.
\item Exprimer sous forme d'une int\'egrale simple 
le moment d'inertie de la zone $Z$ par rapport
\`a l'axe $Ox$:
$$ \iint_Z y^2 \ dx \ dy$$
On pourra ramener ce calcul \`a celui d'une int\'egrale
curviligne sur le bord de $Z$ en d\'eterminant une forme diff\'erentielle
$Mdx+Ndy$ telle que $\partial_x N-\partial_yM=y^2$ 
et en appliquant Green-Riemann.
Donner une valeur approch\'ee de ce moment d'inertie \`a la calculatrice.
\end{enumerate}

{\bf Exercice 36 (session 2, juin 2016)}\\
Soit $L$ la courbe de Lissajous paramétrée par $x(t)=\cos(2 t)$ et $y(t)=\sin(3t)$.
\begin{enumerate}
\item Donner les symétries qui permettent de réduire l'intervalle
  d'étude à $[0,\pi/2]$ (on pourra \'etudier les transformations
correspondant \`a  $t\rightarrow t+\pi$ et $t \rightarrow -t$).
\item Dresser sur $[0,\pi/2]$ un tableau de variation commun de $x(t)$
  et $y(t)$ en faisant apparaitre $t=\pi/3$
\item Déterminer la tangente en $L$ en $t=0$
\item D\'eterminer les points singuliers de $L$. 
\item D\'eterminer la tangente \`a la courbe en $t=\pi/2$.
\item D\'eterminer le param\`etre $t_0 \in [0,\pi/2]$ 
correspondant \`a un point o\`u
$L$ admet une tangente horizontale.
\item A l'aide de tout ceci, tracer la courbe $L$. On repr\'esentera
sur le trac\'e les points de param\`etres $t=-\pi/2,0,\pi/2$ et le
sens de parcours de la courbe pour $t\in [-\pi/2,\pi/2]$.
\item Comment parcourt-on la courbe pour $t \in [\pi/2,3\pi/2]$~?
\item On s'int\'eresse dans la suite \`a l'arc de courbe $A$ correspondant
\`a $t \in [-\pi/3,\pi/3]$ et au domaine $D$ situ\'e \`a l'int\'erieur
de $A$. Donner sous forme d'une int\'egrale la longueur de $A$.
D\'eterminer une valeur approch\'ee
de la longueur de $A$ (indiquez la commande utilis\'ee \`a la calculatrice).
\item D\'eterminer l'aire du domaine $D$ \`a l'int\'erieur de $A$ (on pourra d\'eterminer
l'int\'egrale curviligne de la forme $x dy$ ou $y dx$ sans donner le
d\'etail du calcul de primitive, \`a condition d'indiquer
la commande utilis\'ee \`a la calculatrice).
\item En appliquant la formule de Green-Riemann, montrer que
$\iint_D x \ dx dy$ se ram\`ene au calcul d'une int\'egrale curviligne
le long de $A$ d'une forme $\omega$ que l'on d\'eterminera.\\
Calculer cette int\'egrale curviligne (on pourra indiquer la commande
utilis\'ee \`a la calculatrice sans donner le d\'etail du calcul de primitive).\\
En d\'eduire les coordonn\'ees du centre de gravit\'e de $D$
(suppos\'e homog\`ene).
\end{enumerate}


{\bf Exercice 37 (session 1, janvier 2016)}\\
{\em Dans cet exercice, vous pouvez donner directement
les valeurs des int\'egrales obtenues \`a la calculatrice
\`a condition de pr\'eciser la commande utilis\'ee.}\\
Soit $C$ l'arche de cyclo\"ide d'équations paramétriques
\[ x(t)=t-\sin(t), \quad y(t)=1-\cos(t), \quad t\in[0,2\pi] \]
On veut d\'eterminer l'aire $A$ et le centre de gravit\'e $G$ de la
zone $Z$ d\'elimit\'ee par l'axe $Ox$ et l'arche $C$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $x'$ et $y'$, donner le double tableau
de variations de $x$ et $y$ puis tracer $C$ et hachurer
$Z$.
\item En utilisant le th\'eor\`eme de Green-Riemann (ou de Stokes), 
exprimer l'aire $$A=\iint_Z dx \ dy $$ 
% 3pi
\`a l'aide d'une int\'egrale curviligne sur $C$, puis calculer $A$.
\item Montrer que $C$ admet une sym\'etrie par rapport
\`a une droite verticale. En d\'eduire l'abscisse de $G$.
\item D\'eterminer l'ordonn\'ee de $G$~:
$$ y_G=\frac1A \iint_Z y dx \ dy$$
On pourra choisir des fonctions $M$ et $N$ telles que
$\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=y$.
% 5/6
\end{enumerate}

\end{document}
\pagebreak

{\bf DM (adapt\'e du partiel 2015)}
\begin{enumerate}
\item On consid\`ere la courbe param\'etr\'ee~:
$$ x(t)=\frac{t^2-2t+3}{t^2-2t}, \quad y(t)=\frac{t^2-3}{t}$$
a) Faire le double tableau de variations et l'\'etude des branches
infinies. \\
b) Tracer la courbe et ses asymptotes, et 
indiquer par une fl\`eche le sens de parcours sur la courbe.
\item
On consid\`ere la courbe en polaires~:
$$ \rho=4\sin(\theta)\cos(\theta)^2$$
a) \'Etudier les sym\'etries de la courbe. \\
b) Faire le tableau de variations. \\
c) Donner une \'equation
de la tangente au point de param\`etre $\theta=\pi/3$. \\
d) D\'eterminer
les valeurs de $\theta$ pour lesquels la courbe a un point singulier.\\
e) Tracer la courbe.
\end{enumerate}

\end{document}
