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\begin{document}

Mat307 \hfill {\bf Feuille d'exercices 2: \'equations diff\'erentielles} \hfill UGA

\bigskip

N.B.~:Les exercices marqu\'es
par $\heartsuit$  sont \`a faire en priorit\'e, ceux marqu\'es d'un
$\spadesuit$  sont plus difficiles.

\textbf{Exercice 1}$\heartsuit$. 
Résoudre les équations différentielles à variables séparées~: 
$$ (2t+3)x'+tx=0, \quad x(0)=1 $$
$$ (e^t+1)x'+e^tx^2=0, \quad x(0)=2 $$
$$ y' (\tan(y)^2+1)=\tan(y), \quad y(0)=5\pi/4$$

\textbf{Exercice 2}$\heartsuit$.
\begin{enumerate}

\item  Résoudre l'équation différentielle $x'=x^{2}-10x+9$ sur
  ${\mathbb{R}}$ avec la condition initiale $x(0)=3$.
Discuter le comportement des solutions lorsque $t\rightarrow +\infty$.
  %(\emph{réponse}: $x(t)={\displaystyle \frac{3\,(-e^{8t}-3)}{-3\,e^{8t}-1}}$)

\item Résoudre l'équation différentielle $x'=(x-a)(x-b)$ sur
  ${\mathbb{R}}$ où $a > b$ sont des constantes.
%en utilisant la méthode de séparation des variables.
Discuter le comportement des solutions lorsque $t\rightarrow +\infty$.
\item  Résoudre l'équation différentielle $x'=x^{2}+a^2$ sur
  ${\mathbb{R}}$.


\end{enumerate}

\textbf{Exercice 3}. On considère les deux équations différentielles
dépendant de deux paramètres réels $a$ et $b$ \[
\begin{array}{ll}
(E_{1}) & x'=ax+b\\
(E_{2}) & x'=ax+bx^{2}.\end{array}\]
 Pour chacune d'elles 
\enlargethispage*{1cm}
\begin{enumerate}
% \item Montrer que la donnée d'une condition initiale $x(0)$ détermine une
% solution $x(t)$ de façon unique. 
\item Déterminer les solutions stationnaires. 
\item Résoudre l'équation analytiquement et donner l'allure des solutions. 
\item Discuter le comportement des solutions lorsque $t\rightarrow +\infty$.
\end{enumerate}


\textbf{Exercice 4}.$\heartsuit$
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle suivante
  \[
  x'=x+\cos(t) \,\,;\,\, x(0)=1.\]


\item  Tracer la solution et étudier son comportement en
  $-\infty$ et en $+\infty$.

%\item  Trouver le point où la solution atteint son minimum sur
%  ${\mathbb{R}}$ et donner la valeur de ce minimum.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 5} $\heartsuit$.
Résoudre sur $]0,+\infty[$ l'équation différentielle
$$(E)\qquad x-tx'=\frac{2t}{t+2}.$$


    \textbf{Exercice 6}$\heartsuit$.
    Résoudre les équations différentielles suivantes
et discuter le comportement asymtotique des solutions pour
$t\rightarrow +\infty$ ($\lambda\in\mathbb{R}$,
$n\in\mathbb{N}$, $a\in\mathbb{R}$)\[
a) \quad x'=\lambda x,\quad
b) \quad x'=\lambda x+\cos(t),\quad 
c) \quad x'=at^{n}x,\quad \]
 

\textbf{Exercice 7}$\spadesuit$ . Soit $n\in\mathbb{N}$. On considère l'espace
vectoriel des polynômes $V=\mathbb{R}_{n}[t]$ de degré $\leq n$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application $L:V\rightarrow V$, $P\mapsto P'-P$
  définit une bijection de $V$ dans $V$. Déterminer l'application
  réciproque $L^{-1}$.
\item Soit $P$ un polynôme. Déterminer une primitive de
  $f(t)=P(t)e^{-t}.$
\end{enumerate}




\textbf{Exercice 8}. 
\begin{enumerate}\item 
  La désintégration de 50 \% de matière radioactive s'est
  produite en 30 jours. Dans combien de temps restera-t-il 1 \% de
  toute la quantité initiale?
\item  Selon les expériences, la désintégration annuelle du radium
  est de l'ordre de 0.44 mg par gramme. En combien d'années la moitié
  de toute la réserve de radium se désintègrera-t-elle? 
\end{enumerate}




\textbf{Exercice 9}$\heartsuit$.
R\'esoudre les équations différentielles 
$$a) \; x''+3x'+2x=0 \quad b) \; x''+2x'+2x=0 \quad c) \; x''+2x'+x=0$$
Discuter le comportement des solutions lorsque $t\rightarrow +\infty$.
Mêmes questions en ajoutant au second membre $\cos(t)$. 

\pagebreak

\textbf{Exercice 10 $\spadesuit$ (janvier 2015)}.
\begin{enumerate}
\item Donner la solution générale de l'équation différentielle
$$ x'{'}+4x=\cos(2t)$$
Les solutions sont-elles bornées lorsque $t\rightarrow +\infty$~?
\item Soit $a \in ]0,4[$. Donner la solution générale 
de l'équation différentielle
$$ x'{'}+ax'+4x=\cos(2t) \quad (E) $$
\item Déterminer la solution de $(E)$
pour les conditions initiales $x(0)=0, x'(0)=1/a$.
\item
Déterminer le maximum $M_a$ de cette solution pour $t\geq 0$
en fonction de $a$.
\item Quelle est la limite de $M_a$ lorsque $a$ tend vers 0~?\\
Ce résultat est-il encore valide lorsqu'on fixe des
conditions initiales ind\'ependantes de $a$ (on pourra discuter
le comportement des solutions de $x'{'}+ax'+4x=0$
lorsque $t \rightarrow +\infty$)~?
\end{enumerate}


\textbf{Exercice 11 (juin 2016, circuit RLC)}.
On s'int\'eresse \`a l'\'equation diff\'erentielle
\begin{equation} \label{eq:rlc} \frac{q}{C} + R q' + L q'{'} = U\cos(\omega t) \end{equation}
o\`u $R \geq 0, L>0, C>0, U \geq 0, \omega>0$ sont des constantes, $t$
le temps, $q(t)$ la fonction inconnue 
(la charge du condensateur du circuit RLC), $q'=\frac{dq}{dt}, q'{'}=\frac{d^2q}{dt^2}$
\begin{enumerate}
\item Quel est l'ordre de cette \'equation~? Est-elle lin\'eaire~? \`A variables s\'eparables~?
\item On suppose dans cette question que $R=0$ et $U=0$, 
on pose $\omega_0=1/\sqrt{LC}$.
Donner la solution g\'en\'erale de l'\'equation (\ref{eq:rlc}).
La solution est-elle born\'ee lorsque $t \rightarrow +\infty$~?
\item On suppose dans cette question que $R=0$ et $U=1$.
Donner la solution g\'en\'erale de l'\'equation (\ref{eq:rlc}) et
indiquer si la solution est born\'ee lorsque $t \rightarrow
+\infty$. On distinguera
les cas $\omega_0 \neq \omega$ et $\omega_0=\omega$.
\item On suppose dans la suite que $R>0$.
Montrer que les racines de l'\'equation $\frac1C+Rx+Lx^2=0$
d'inconnue $x$ sont deux r\'eels strictement n\'egatifs ou deux complexes
conjugu\'es de partie r\'eelle strictement n\'egative.
En d\'eduire la solution g\'en\'erale de l'\'equation (\ref{eq:rlc}) lorsque $U=0$
et d\'eterminer sa limite lorsque $t \rightarrow +\infty$.
\item On suppose toujours que $R>0$ mais maintenant $U \neq 0$. 
D\'eterminer une solution particuli\`ere de 
la forme $q(t)=Qe^{i\omega t}, (Q \in \C, i^2=-1)$ pour l'\'equation
$$
\frac{q}{C} + R q' + L q'{'} = Ue^{i\omega t} \qquad (*)
$$
Calculer $q'=Ie^{i\omega t}, I \in \C$ et en d\'eduire une relation entre $I$ et $U$ 
(loi d'Ohm complexe).
%%$$( \frac{1}{C\omega i}+R+L\omega i)I=U$$ 
\item 
En d\'eduire une solution particuli\`ere de  (\ref{eq:rlc}) en prenant
la partie r\'eelle de la solution trouv\'ee pour (*).
Comparer les solutions de (\ref{eq:rlc}) avec cette solution
particuli\`ere lorsque $t \rightarrow +\infty$. Peut-on
n\'egliger la condition initiale $q(t_0),q'(t_0)$ lorsque $t \rightarrow +\infty$~?
\item Quel serait le comportement asymptotique des solutions
si $R$ \'etait strictement n\'egatif~?
\end{enumerate} 

\textbf{Exercice 12}$\heartsuit$.
\begin{enumerate}
\item
 Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de
$A = \begin{pmatrix} \ -2&  -1\\
\ -1 & -2 
 \end{pmatrix}.
$

\item
Résoudre le problème de Cauchy
$
\begin{cases}
x' = -2x - y\\
y' = -x - 2y
\end{cases};\ 
x(0) = a, \ y(0) = b.
$

\item Tracer la courbe paramétrée $t \to (x(t), y(t))$ pour $a=1$ et
  $b=0$.
\item Discuter le comportement des solutions du 2. lorsque $t
  \rightarrow +\infty$
\item Trouver une solution particulière de
$
\begin{cases}
x' = -2x - y + \cos(t)\\
y' = -x - 2y + \sin(t)
\end{cases};\ 
$
\item Discuter le comportement des solutions du 5.
lorsque $t \rightarrow +\infty$
\end{enumerate}



\textbf{Exercice 13}$\heartsuit$.
\begin{enumerate}
\item
 Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de
$A = \begin{pmatrix} \ 1& \phantom{-} 3\\
\ 4 & -3 
 \end{pmatrix}.
$

\item
Résoudre le problème de Cauchy
$
\begin{cases}
x' = x + 3y\\
y' = 4x- 3y
\end{cases};\ 
x(0) = a, \ y(0) = b.
$

\item Tracer la courbe paramétrée $t \to (x(t), y(t))$ pour $a=4$ et $b=0$.


\end{enumerate}



\textbf{Exercice 14}.
\begin{enumerate}
\item
 Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de
$A = \begin{pmatrix} \ 1& - 1\\
\ 2 & -1 
 \end{pmatrix}.
$
\item
Résoudre le problème de Cauchy
$
\begin{cases}
x' = x - y\\
y' = 2x- y
\end{cases};\ 
x(0) = a, \ y(0) = b.
$
\item Tracer la courbe paramétrée $t \to (x(t), y(t))$ pour $a=1$ et $b=1$.
\end{enumerate}



\textbf{Exercice 15 (juin 2015)}.
\begin{enumerate}
\item On cherche \`a d\'eterminer la solution générale du syst\`eme différentiel
$$ Y'=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-4 & 0
\end{array}\right)Y,
\quad Y(t)=(x(t),y(t))$$ % $$ x'{'}+4x=\cos(2t)$$
D\'eterminer une \'equation diff\'erentielle
d'ordre 2 dont la premi\`ere composante $x(t)$ de $Y(t)$ est solution
\\
En d\'eduire la solution g\'en\'erale du syst\`eme.
Tracer le graphe de la courbe param\'etrique $(x(t),y(t))=Y(t)$ de la solution
telle que $Y(0)=\left(\begin{array}{c}
1 \\
 0
\end{array}\right)$.\\
Les solutions sont-elles born\'ees lorsque $t\rightarrow +\infty$~?
\item V\'erifier que
$Y(t)=e^{2i t} (\frac{-it}{4}+\frac{1}{8},
\frac{t}{2})$ est solution particuli\`ere du syst\`eme~:
$$ Y'=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-4 & 0
\end{array}\right)Y+
\left(\begin{array}{c} 0 \\ e^{2it} \end{array}\right) 
$$ 
D\'eterminer la solution générale du syst\`eme différentiel
$$ Y'=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-4 & 0
\end{array}\right)Y+
\left(\begin{array}{c} 0 \\ \cos(2t) \end{array}\right) $$
Les solutions sont-elles bornées lorsque $t\rightarrow +\infty$~?
\item Soit $a \in ]0,4[$. On consid\`ere le syst\`eme différentiel
$$ Y'=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-4 & -a
\end{array}\right)Y$$ % $$ x'{'}+4x=\cos(2t)$$
D\'eterminer le signe de la partie r\'eelle des valeurs propres de la
matrice du syst\`eme et en d\'eduire
la limite des solutions lorsque $t \rightarrow +\infty$
\item Pour $a \in ]0,4[$, on consid\`ere le syst\`eme différentiel
$$ Y'=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-4 & -a
\end{array}\right)Y+
\left(\begin{array}{c} 0 \\ \cos(2t) \end{array}\right) 
$$ % $$ x'{'}+4x=\cos(2t)$$
Les solutions sont-elles bornées lorsque $t\rightarrow +\infty$~?
(on ne demande pas de calculer explicitement les solutions).
\end{enumerate}



\textbf{Exercice 16$\spadesuit$ }.
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
 suivante sur l'intervalle $\ds I=]0,\frac{\pi}{2}[$\,:
$$
(E)\;\;x''(t)+3 \tan(t) x'(t)-2x(t)=0.
$$
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de l'espace des solutions?
\item V\'erifier que la fonction $x_0(t)=\sin(t)$ est solution de
  $(E)$.
\item Soit $x$ une solution, on pose $x=x_0 y$ pour $\sin(t) \neq 0$.
D\'eterminer une \'equation d'ordre 1 v\'erifi\'ee
par $y$.
\item 
R\'esoudre $(E)$.
\end{enumerate}


\textbf{Exercice 17$\spadesuit$ }. ({\it Int\'egrales premi\`eres.})\\
On consid\`ere un syst\`eme diff\'erentiel du type
$$(S) \left \{
\begin{matrix}
& x_1'=f_1(x_1,\ldots,x_n)\\
&\ldots\\
&x_n'=f_n(x_1,\ldots,x_n).
\end{matrix}
\right .
$$
Ici chaque fonction $f_i$ est d\'efinie sur $\R^n$ \`a valeurs dans $\R$. On appelle int\'egrale premi\`ere du systeme une fonction $F:\R^n\rightarrow\R$ de classe $C^1$, constante sur chaque solution.
\begin{enumerate}
\item En d\'erivant $F(x_1,...,x_n)$ le long d'une courbe int\'egrale,
 montrer que~:
$$
\sum_{i=1}^n f_i\frac{\partial F}{\partial x_i}=0
$$
\item
Soit $A$ est une matrice antisym\'etrique fix\'ee de taille $n$, 
que vaut $Ax.x$~?
En d\'eduire une int\'egrale premi\`ere du syst\`eme $x'=Ax$.
Interpr\'etation~?
\item
Soit $\lambda\in\Z$. Montrer que le syst\`eme
$$\left\{
\begin{matrix}
&x'_1=x_1\\
&x_2'=\lambda x_2
\end{matrix} \right.
$$
admet une int\'egrale premi\`ere non constante si et seulement si
$\lambda\leq 0$. Indication~: r\'esoudre le syst\`eme.
\item
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle $x''=g(x).$ En posant
$x_1=x$ et $x_2=x'$, \`a quel syst\`eme diff\'erentiel est-on
ramen\'e? \\
Soit $P$ telle que $P'=-g$. On pose $E_P(x_1,x_2)=P(x_1)$
(\'energie potentielle) et $E_C(x_1,x_2)=\frac{1}{2}x_2^2$ (\'energie
cin\'etique). 
Montrer que l'\'energie totale $E=E_P+E_C$ est une int\'egrale 
premi\`ere du syst\`eme. \\
Exprimer $E$ dans le cas où $g(x) = \sin (2x)$.
\end{enumerate}




\textbf{Exercice 18}$\heartsuit$.
R\'esoudre les syst\`emes et donner l'allure des solutions 
$t \to  (x(t), y(t))$ (en particulier le comportement
pour $t \rightarrow +\infty$)~:\\
\begin{tabular}{ll}		
{
(a)\quad 
$%\left \{
\begin{cases}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%&x_1'=x_1+8x_2+e^t\\
%&x_2'=2x_1+x_2+e^{-3t}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
&x'(t) = -2x(t)  + e^t\\
&y'(t)= - y(t) + \cos(3t)\\& x(0)=1, y(0)=2
\end{cases}

$}&
{
(b) $\quad 
%\left \{
\begin{cases} 
&x'(t)= -y(t) \\
&y'(t)= x(t) \\ &x(0)=1, y(0)=2 
\end{cases} $}
\end{tabular}\\
(pour (b), on pourra aussi utiliser la fonction complexe $z(t)=x(t)+iy(t)$)\\

\begin{tabular}{ll}		
{
(c) $\quad 
%\left \{
\begin{cases}
&x'(t) = -y(t)  +\cos(t)\\
&y'(t)= x(t) +t , x(0)=1, y(0)=2
\end{cases}$}&
{
(d)$ \quad
%\left \{
\begin{cases}
&x'(t) = -5x(t) + 2y(t) \\
&y'(t)= 2x(t) -2 y(t)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{cases}
$}
\end{tabular}\\


\begin{tabular}{ll}	
{
(e)$ \quad
%\left \{
\begin{cases} 
&x'(t) = -5x(t) + 2y(t) + \cos(t)\\
&y'(t)= 2x(t) -2y(t) + \sin(t) \\ &x(0)=1, y(0)=2 
\end{cases} $}&
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	
{
(f)$ \quad
%\left \{
\begin{cases} 
&x'(t)= -2x(t) \\
&y'(t)= y(t) \\ &x(0)=1, y(0)=2 
\end{cases} $}\end{tabular}


% \textbf{Exercice 8}.
% 1) Trouver l'exponentielle $\exp(A)$ et $\exp(tA)$ pour (a)  $A=  \mat 0,-2,1,3,$, (b)~$\mat -3, -4, 2, 3,$, 
% (c) $A=\mat 0, -1, 1, 2,$, (d) $A=\mat -2, -1, 1, 0,$.
% 2) Resoudre les systèmes ${x'\choose y'}=A{x\choose y}+b$ pour $b={\sin(t)\choose t^2}$, ${x(0)\choose y(0)}=
% {1\choose 2}$.
% 

\textbf{Exercice 19}.
R\'esoudre $x'''+x=0$.


\textbf{Exercice 20$\spadesuit$ }.
Soit $k>0$ un param\`etre.
En effectuant un changement de variable $s=g(t)$ conduisant 
\`a une \'equation diff\'erentielle \`a coefficients constants, r\'esoudre
$$
(1+t^2)x''+tx'+k^2x=0.
$$


\textbf{Exercice 21}.
On consid\`ere l'\'equation $x'=\sin(x)$. Trouver les solutions constantes.
Montrer que toutes les solutions sont born\'ees.


\textbf{Exercice 22$\spadesuit$ }. 
On consid\`ere dans $\R^2$ la forme diff\'erentielle
$$
   \omega \,=\, (1-x^2 y^2)dx -2x^3 y dy~.
$$
(a) La forme $\omega$ est-elle ferm\'ee ? exacte ?

(b) Pour tout $a \in \R$, calculer l'int\'egrale de 
la forme $\omega$ du point $P_0 = (0,0)$ au point $P_1 = 
(1,1)$ le long de la courbe $y = ax + (1-a)x^2$. Le r\'esultat
d\'epend-il du param\`etre $a$ ?

(c) Soit $\mu : \R^2 \to \R_+$ la fonction d\'efinie par
$$
   \mu(x,y) = {1 \over (1+x^2y^2)^2}~, \quad (x,y) \in \R^2~.
$$
V\'erifier que $\mu$ est un facteur int\'egrant pour la forme $\omega$, 
c'est-\`a-dire que la nouvelle forme $\Omega = \mu \omega$ est 
exacte. Trouver une fonction $V : \R^2 \to \R$ telle 
que $\Omega =dV$. 

(d) Dessiner dans le plan $\R^2$ les lignes de niveau 
de la fonction $V$.

(e) Trouver la solution de l'\'equation diff\'erentielle 
$$
   y'(x) \,=\, {1 - x^2 y(x)^2 \over 2 x^3 y(x)}
$$
v\'erifiant la condition initiale $y(2) = 1/2$.


\textbf{Exercice 23}.
Soit le système
\quad (S)$
\begin{cases}
x'(t)& = y^2(t) -1
\\
y'(t)& = x^2(t)-1             
\end{cases}
$


a) Déterminer les solutions stationnaires du système. 

b) Montrer que $f(x,y)=(x^3-y^3)-3(x-y)$ est une intégrale première du mouvement.

c) Tracer les courbes solutions de condition initiale $x(0)=y(0)=0$ et 
$x(0)=\sqrt{3},y(0)=0$.


{\bf Exercice 24} 
Déterminer les valeurs propres et une base de vecteur propre de 
$$ A=\left(\begin{array}{ccc}-1&1&-6\\0&-1&2\\0&-1&1\end{array}\right) $$
Les solutions du système différentiel $\frac{dY}{dt}-AY=0$ 
sont-elles bornées lorsque $t \rightarrow + \infty$~?
Même question si on ajoute au second membre 
des termes en $e^{-2t}$~? en $e^{-t}$? en $\cos(t)$.

{\bf Exercice 25}$\heartsuit$ Donner le lagrangien pour un pendule
et les \'equations d'Euler-Lagrange.

{\bf Exercice 26} On consid\`ere dans $\R^2$ un potentiel $V(r)$ ne
d\'ependant que de $r$ la distance au centre. \'Ecrire les
\'equations d'Euler-Lagrange pour le lagrangien de la
m\'ecanique classique $L(r,\theta,\dot{r},\dot{\theta})$,
appliquer au cas d'un potentiel $V(r)=\mu/r$.
M\^eme question dans $\R^3$ en coordonn\'ees sph\'eriques.

{\bf Exercice 27} 
Calculer le hamiltonien $H$ de la m\'ecanique classique
et de la relativit\'e en coordonn\'ees cart\'esienne.
M\^eme question en coordonn\'ees polaires.

\textbf{Exercice 28$\spadesuit$ }. 
Soit une courbe $\gamma(x)=(x,y(x))$ définie sur $[a,b]$ et vérifiant $y(x)>0$. On note 
$$\ds L_h(\gamma)=\int_a^b \frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}dx$$ 
la longueur hyperbolique de $\gamma$. Soit les points $A=(a,1)$ et 
$B=(b,1)$. On cherche parmi les courbes $\gamma$ allant de $A$ à $B$ ($\gamma(a)=A$ et $\gamma(b)=B$) celle de longueur hyperbolique minimum.
\begin{enumerate}
\item En appliquant l'équation d'Euler-Lagrange, montrer qu'une telle 
courbe satisfait l'équation différentielle 
$$(E_c)\; y^2(1+y'^2)=c^2$$ où $c$ est une constante non nulle.
\item
Résoudre $(E_c)$. Quelle est  la nature géométrique de la courbe
minimisante ?
\end{enumerate}

%\pagebreak


\section*{Pendule sur une cycloïde (extrait de l'examen de janvier 2015)}
 On s'intéresse à la cycloïde $C$ d'équations paramétriques
\[ x(\tau)=R(\tau+\sin(\tau)), \quad y(\tau)=R(1-\cos(\tau)) \]
On utilise $\tau$ comme paramètre pour ne pas confondre avec
le temps $t$ qui servira dans la partie 2.
La partie 1 porte sur l'étude de la courbe paramétrique,
la partie 2 porte sur l'étude du mouvement d'une masse sur cette courbe,

\subsection*{Partie 1: Courbe paramétrique}
\begin{enumerate}
\item Préciser les symétries de la courbe,
montrer qu'on peut se ramener à une étude sur $[0,\pi]$.
\item Représenter l'arche de la cycloïde $C$ pour
$\tau \in [-\pi,\pi]$ lorsque $R=1$, en indiquant
sur la figure les points de param\`etre $\tau=-\pi, 0,\pi$ et les 
directions des tangentes en ces
points (on justifiera).
\item Calculer l'élément de longueur $ds$ 
en fonction de $\tau \in [-\pi,\pi]$ ($R>0$ quelconque)
et le repère de Frénet.
\item On fixe l'origine de l'abscisse curviligne au
point (0,0). Montrer que $s^2(\tau)=k\*y(\tau)$ sur l'arche de cyclo\"ide
$\tau \in ]-\pi,\pi[$, $k$ étant une constante à déterminer
en fonction de $R$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie 2: Equations différentielles $\spadesuit$.}  
On lache à l'instant $t=0$ 
une masse $m$ en un point de l'arche de cycloïde
sans vitesse initiale, on néglige les frottements.
On repère la masse par son abscisse curviligne $s$,
sa vitesse est $v=ds/dt$ ($t$ est le temps, différent de $\tau$).
Les questions 1 à 5 proposent trois méthodes diff\'erentes
pour résoudre l'équation différentielle correspondante, une des
m\'ethodes suffit pour aborder les questions 6 et 7.
\begin{enumerate}
\item En utilisant que l'énergie totale
$E=\frac12mv^2+mgy $ est une intégrale
première du mouvement, montrer que l'abscisse curviligne
$s$ vérifie~:
\[ 
(*) \quad \left( \frac{ds}{dt} \right)^2+ \frac{g}{4R} s^2=C 
\]
\item Dériver (*). En admettant que $s$ n'est pas constant
sauf si $y$ est identiquement nul, en déduire une 
équation différentielle d'ordre 2
vérifiée par $s$ et résoudre cette équation.
\item Bonus: montrer que $s$ n'est pas constant
sauf si $y$ est identiquement nul en
appliquant le principe fondamental
de la dynamique (somme des forces=masse $\times$ acc\'el\'eration)
et en observant que la force de réaction 
de la courbe est portée par la normale à la courbe.
\item Quel est le signe de $C$~?
Résoudre directement (*) comme une
équation différentielle à variables séparables (on pourra
utiliser $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(x)$)
et retrouver le résultat précédent.
\item \'Etablir que le lagrangien du système vaut 
$$L(s,\dot{s},t)=\frac12m\dot{s}^2-mg\frac{s^2}{8R}$$
Donner l'équation d'Euler-Lagrange correspondante et retrouver le
résultat précédent.
\item Montrer que le mouvement est périodique, calculer la période 
du mouvement.
\item Si on lache simultanément 
deux masses en deux points de l'arche d'ordonnées $y_1$ et $y_2$ telles que
$0<y_1<y_2<2R$, laquelle des deux masses arrivera au point 
$(0,0)$ en premier~? (on supposera que les abscisses
initiales v\'erifient $x_1<0<x_2$ 
pour éviter une éventuelle collision)
\end{enumerate}


\end{document}
%\vfill\eject
\begin{large}
\begin{bf}
\centerline{Contr\^ole continu du 8 décembre 2011 de 15h15 \`a 16h45}
\end{bf}
\end{large}


{\bf Exercice 1} (les parties A et B peuvent être abordées indépendamment) 

{\bf A (6pts)} Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} \ 3&  4\\
\ 4 & -3 
 \end{pmatrix}
$ et 
$~ (S) ~ \begin{cases}
x' = 3x + 4y\\
y' = 4x -3y
\end{cases}$ le système différentiel associé.

1) Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$.

2) Déterminer la solution générale du système $(S)$.

3) Tracer la courbe paramétrée solution $t \to (x(t), y(t))$ de $(S)$  de condition initiale $x(0)=5$ et $y(0)=0$.
 

{\bf B (6pts)} Soit la forme différentielle $\omega=(4x-3y)dx-(3x+4y)dy$.

1) Trouver une fonction $U(x,y)$ telle que $\omega=dU$ ($U$ est un potentiel pour $\omega$).

2)  Montrer que $U(x,y)$ est constante sur les solutions de $(S)$ ($U$ une intégrale première du système $(S)$).

3) En déduire la nature géométrique des courbes solutions de $(S)$ et l'allure de leur tracé. 



\bigskip

{\bf Exercice 2 (12pts)} 
On considère l'équation différentielle $(E)$ d'ordre 2 de fonction inconnue $x(t)$ et le système différentiel équivalent $(\Sigma )$ d'ordre 1 de fonctions inconnues $x(t)$ et $y(t)$ :
$$(E)\;\; 2xx''+x'^{2}+1=0 \; \iff\;
(\Sigma) \; \begin{cases}
x' = y\\
2xy'+y^2+1=0
\end{cases}$$

1) Soit une $x(t)$ solution de $(E)$ définie sur un intervalle $I$. 

\hskip .6cm a) Vérifier que $x(t)$ et $x''(t)$ ne s'annulent pas sur $I$. En déduire que $x'(t)$ s'annule en au plus un $t\in I$.

\hskip .6cm b) Montrer que $x(t)(x'^{2}(t)+1)$ est une fonction constante
{[}calculer $(xx'^{2}+x)'${]}

2) Est-ce que $(\Sigma)$ vérifie le théorème de Cauchy-Lipschitz ?
 
3) Déduire de 1)b) une fonction $V(x,y)$ constante sur chaque  solution de $(\Sigma)$ ($V$ est une intégrale première du système).

4) Soit $(x(t),y(t))$ une solution de $(\Sigma)$ définie sur un intervalle $I$. Déduire de 3) que $y(t)$ vérifie, pour une certaine constante $c$ non nulle, l'équation 
$$(E_c)\quad \frac{2cy'}{(y^2+1)^2}=1$$

5) Pour $c\ne 0$ fixé, résoudre l'équation à variables séparées $(E_c)$. 

[Faire le changement de fonction inconnue $y=\tan \theta $
et exprimer $t$ et $x(t)$ comme des fonctions de $\theta$]

6) Déterminer la nature d'une 
courbe paramétrée $\theta\in]-\pi/2,\pi/2[ \mapsto(t(\theta),x(t(\theta)))$ et l'allure de son tracé.

\end{document}
\[
\heartsuitsuit\]
\vfill\eject
\parindent 0ex 
{\bf UJF 2011-2012 UE MAT237 
\quad Corrigé du contr\^ole continu du 8 décembre 2011}
\bigskip

{\bf Exercice 1} Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} \ 3&  4\\
\ 4 & -3 
 \end{pmatrix}
$ et 
$~ (S) ~ \begin{cases}
x' = 3x + 4y\\
y' = 4x -3y
\end{cases}$ le système différentiel associé.

\bigskip

{\bf A} 1) Les valeurs propres sont données par $\left| 
{\begin{array}{rr}3-\lambda&  4\quad\\
 4 \quad& -3-\lambda 
\end{array}}
 \right|=\lambda^2-25=(\lambda-5)(\lambda+5)=0$ ce sont donc $5$ et $-5$. Les coordonnées $(x,y)$ sont celles d'un vecteur propre de valeur propre $\lambda$ si elles vérifient 
$\begin{pmatrix}  3-\lambda&  4\\
 4 & -3-\lambda 
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\  y
 \end{pmatrix}=0$.

Pour la valeur propre $5$ on trouve ainsi $(2,1)$ comme vecteur  propre de base et pour la valeur propre $-5$ le vecteur propre $(1,-2)$.

2) La solution générale du système $(S)$ est une combinaison linéaire des solutions de base de la forme $e^{\lambda t}v$ où $\lambda$ est une valeur propre et $v$ un vecteur propre non nul associé. Ici la solution générale s'écrit donc 
$$(x(t),y(t))=ae^{5 t}(2,1)+be^{-5 t}(1,-2)=
(2ae^{5 t}+be^{-5 t},ae^{5 t}-2be^{-5 t}),\quad a,b\in\R.$$

3) La solution vérifiant la condition initiale $x(0)=5$ et $y(0)=0$ est celle pour laquelle 

$(5,0)=(x(0),y(0))=(2a+b,a-2b)\iff a=2b$ et $b=1$ soit $a=2$ et $b=1$. 

Pour tracer la courbe paramétrée correspondante, on se place dans le repère propre $(\varepsilon,\eta)$ où $\varepsilon=(2,1)$ et $\eta=(1,-2)$. Dans les coordonnées $z,w$ de ce repère, la courbe est paramétrée par $z=2e^{5 t}$ et $w=e^{-5 t}$ qui est une branche de l'hyperbole d'équation implicite $zw=2$ ayant pour asymptotes les axes du repère.

\bigskip
 Soit la forme différentielle $\omega=(4x-3y)dx-(3x+4y)dy$.
\bigskip

{\bf B} 1) Cherchons $U$ telle que $dU=\omega\iff
\ds\frac{\partial U}{\partial x}=4x-3y~~ (1)$ et $\ds\frac{\partial U}{\partial y}=-3x-4y ~~ (2)$

$U=2x^2-3xy+f(y)$ vérifie $(1)$ pour toute $f$ de classe $C^1$. En reportant dans $(2)$, la fonction $f$ doit satisfaire :
$\ds\frac{\partial U}{\partial y}=-3x+f'(y)=-3x-4y\iff f'(y)=-4y\iff f(y)=-2y^2+{\rm Cte}.$

Finalement, $U(x,y)=2x^2-3xy-2y^2+{\rm Cte}$ est bien un potentiel pour $\omega$, c'est-à-dire qu'on a $dU=\omega$.

2)  Les courbes intégrales de $\omega$ sont donc des courbes de niveau de $U(x,y)$. Et si $\gamma(t)= (x(t),y(t))$ est une solution de $(S)$ alors $(4x-3y)x'-(3x+4y)y'=(4x-3y)(3x+4y)-(3x+4y)(4x-3y)=0$ donc $\gamma$ est une courbe intégrale de $\omega$ donc une courbe de niveau de $U$.

3) Les courbes solutions de $(S)$ sont donc les courbes d'équation implicite $2x^2-3xy-2y^2={\rm Cte}$. C'est la famille d'hyperboles 
d'équations $(x-2y)(2x+y)={\rm Cte}$ qui ont pour asymptotes les axes propres d'équations respectives $x-2y=0$ et $2x+y=0$. On a  retrouvé autrement le résultat de la partie A.

\bigskip
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm,height=8cm]{fig1cc2}
\end{center}

\vfill\eject

{\bf Exercice 2} 
\bigskip

$$(E)\;\; 2xx''+x'^{2}+1=0 \; \iff\;
(\Sigma) \; \begin{cases}
x' = y\\
2xy'+y^2+1=0
\end{cases}$$
\bigskip

Soit $x(t)$ une solution de $(E)$ définie sur un intervalle $I$. 
\bigskip

1)a) On a  $2xx''=-x'^{2}-1<0$ donc $x(t)$ et $x''(t)$ ne s'annulent pas sur $I$. Si on avait $x'(a)=x'(b)=0$ pour $a\ne b$ dans $I$, le théorème de Rolle impliquerait l'existence de $c\in [a,b]$ avec $x''(c)=0$, ce qui n'est pas possible.

1)b) On a $(xx'^{2}+x)'=2xx'x''+x'^3+x'=x'(2xx''+x'^{2}+1)=0$ donc $xx'^{2}+x=x(x'^{2}+1)$ est une fonction constante.

2) Le système $(\Sigma)$ ne vérifie pas le théorème de Cauchy-Lipschitz car il n'y a aucune solution de condition initiale $x(0)=0$ par exemple.

3) D'après 1)b), la fonction $V(x,y)=x(y^2+1)$ est constante sur chaque solution $t\in I\mapsto (x(t),y(t))$ de $(\Sigma)$.

4) Soit $(x(t),y(t))$ un solution de $(\Sigma)$ définie sur un intervalle $I$. D'après 3), il existe une constante $c$, non nulle car $x(t)$ ne s'annule pas, telle que $x(t)(y^2(t)+1)=c$. D'où 
$$x'(t)=\Bigr(\frac{c}{y^2+1}\Bigl)'= \frac{2cyy'}{(y^2+1)^2}=y$$
donc comme d'après 1)a) $y=x'$ s'annule en au plus un point,  l'équation 
$$(E_c)\quad \frac{2cy'}{(y^2+1)^2}=1$$
est vérifiée par $y(t)$ sauf éventuellement en un point de $I$ donc sur 
$I$ entier, par continuité.

5) Pour $c\ne 0$ fixé, en posant $y=\tan \theta $, l'équation$(E_c)$ devient $$ \frac{2c \theta' (\tan^2\theta+1)}{(\tan^2\theta+1)^2}=
\frac{2c \theta' }{\tan^2\theta+1}=2c\theta'\cos^2 \theta=
c\theta'(\cos 2\theta +1)=1.$$ 
que l'on intègre en $t$ pour donner 
$\ds t(\theta)=\frac{c}{2}(\sin 2\theta+2\theta)+b$ où $b\in\R$ et $\ds x(t(\theta))=\frac{c}{2}(\cos 2\theta+1)$.


6) Les courbes paramétrées $\theta\in]-\pi/2,\pi/2[ \mapsto(t(\theta),x(t(\theta)))$ sont des arcs de cycloïdes. Traçons par exemple celle pour $b=0$ et $c=2$ :

\bigskip
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm,height=6cm]{fig2cc2}
\end{center}




\end{document}



{\bf Exercice 26$\spadesuit$ }
\'Ecrire les \'equations d'Euler-Lagrange pour
$L=\sqrt{\dot{\theta}^2+\sin(\theta)^2 \dot{\phi}^2}$ 
pour minimiser la longueur d'un arc sur la sph\`ere unit\'e
en sph\'erique. \\
Montrer qu'un m\'eridien ($\dot{\phi}(t)=0$)
v\'erifie les \'equations d'Euler-Lagrange.\\
Montrer que les g\'eod\'esiques de la sph\`ere sont
des arcs de grands cercles (on pourra choisir le rep\`ere de sorte 
que $\dot{\phi}=0$ \`a l'origine du chemin).




