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 \fi

\newtheorem{rem}{Remarque}
\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\faux}{$\square\;$}
\newcommand{\vrai}{$\square\;$}
%\newcommand{\vrai}{$\boxtimes\;$}
%\newcommand{\item}{\item \faux}
%\newcommand{\item}{\item \faux}

\newtheorem{exo}{Exercice}[section]

\title{TP de math\'ematiques.}

\author{Licence 2-Mat 237}
\date{2013/4}

\makeindex

\begin{document}
\topmargin -1 cm
\textheight 23cm
\textwidth 16.5cm \columnsep 10pt \columnseprule 0pt

%\maketitle
\noindent Mat307 \hfill {\bf TP} \hfill UGA

\vspace{1cm}
%\tableofcontents

%\section{Introduction}
Il y a 4 s\'eances de TP en mat307. L'\'evaluation se fait
pendant la derni\`ere s\'eance, avec
un ou deux exercices tir\'es au sort. Pendant l'\'evaluation, 
les \'etudiants peuvent poser des questions 
comme dans un TP normal pendant
la premi\`ere partie de la s\'eance, 
\`a la fin de la s\'eance, l'enseignant regarde
la session r\'ealis\'ee par le bin\^ome (graphes, scripts)
et pose \'eventuellement
des questions, le bin\^ome rend une copie r\'edig\'ee
en r\'eponse aux questions math\'ematiques,
comme pour un autre controle, mais
au lieu de donner le d\'etail des calculs \`a la main, 
on donne l'instruction utilis\'ee sur le logiciel
et directement le r\'esultat.
Au vu du d\'eroulement de la s\'eance et de la copie, une note
est attribu\'ee pour int\'egration dans la note CC2,
cette note peut \^etre diff\'erente entre les
deux \'etudiants d'un bin\^ome d\'es\'equilibr\'e.


\section{TP 1}
Nous utiliserons Xcas qui est un logiciel libre de calcul formel
utilisable aussi bien sur calculatrices compatibles
(prêt possible de Casio Graph 90 pour le semestre), 
tablettes, smartphones que PC
en utilisant les mêmes commandes, ce qui facilite la transition et
permet l'utilisation en examen. D'autres logiciels de calcul formel
fonctionnent sur le m\^eme principe et ont des noms de commande
identiques ou proches pour les m\^emes fonctionnalit\'es.
Pour utiliser Xcas sur smartphone/tablette (ou PC/Mac), vous pouvez aussi
ouvrir un navigateur compatible sur la version calculatrice ou web~:\\
\verb|www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~parisse/kcasfr.html|\\
\verb|www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~parisse/xcasfr.html|
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{m307qr1}
\includegraphics[width=5cm]{m307qr0}
\end{center}
Vous pouvez aussi l'installer si vous avez votre PC/Mac 
en suivant les instructions ici~:\\
\verb|www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~parisse/install_fr.html|\\
Pour lancer Xcas au DLST~: allumez le PC et l'\'ecran si n\'ecessaire.
Connectez-vous %sur Windows, session E (choix par défaut) puis entrez
%votre {\tt nom\_d\_utilisateur\_ujf} suivi de votre {\tt mot\_de\_passe}
puis cliquez sur l'icone \verb|Xcas| du bureau.\\
Lors de la
premi\`ere utilisation, choisissez {\tt Xcas} lorsqu'on vous demande
de choisir une syntaxe.
Vous pouvez ensuite cliquer sur Oui pour faire 
apparaitre le tutoriel dans le navigateur, ou le retrouver
depuis le menu Aide, Debuter en calcul formel. La figure qui suit est un exemple
de session de calcul, avec en haut la barre de menu principal, à gauche le
clavier scientifique 
(cliquer sur 123+ pour le faire apparaitre ou disparaitre),
à droite un graphe de courbe en paramétriques et quelques calculs 
relatifs \`a son étude analytique~:
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{demarrxcas.png}
\end{center}
% {\bf Remarque}: certaines commandes peuvent provoquer un bug dans la 
% version install\'ee au DLST, on peut le contourner par la commande
% \verb|autosimplify(nop)|
% \begin{itemize}
% \item Sous Windows (en installation locale), 
% on clique sur l'icone \verb|xcasfr| du bureau.
% \item Sous Linux, on clique sur Xcas du menu
% Education (ou sur l'icone de Xcas si elle apparait). 
% Sinon, ouvrir un terminal et taper \verb|xcas &|.
% \item sur Mac, cliquez sur Xcas dans le menu Applications puis
%   \verb|/usr/bin| du Finder.
% \end{itemize}

Pour commencer rapidement les exercices, vous pouvez consulter le menu Outils
(commandes les plus courantes), Graphe (trac\'e de graphes), Cmds
(commandes class\'ees par th\`eme), ou chercher
dans Aide, index par ordre alphab\'etique de commande. Vous pouvez
demander de l'aide sur une commande \`a votre assistant AI
pr\'ef\'er\'e.

Si vous pr\'ef\'erez en savoir un peu plus avant de r\'esoudre les
exercices, vous pouvez consulter le tutoriel, s'il n'est pas charg\'e dans le navigateur, 
cliquez sur le menu Aide, Debuter en calcul formel.
Suivez les instructions donn\'ees dans la section Pour commencer
et la section Les objets du calcul formel.
Ensuite vous pouvez continuer la lecture du tutoriel ou passer 
aux exercices du TP, en revenant au tutoriel ou en consultant
le menu Outils, le menu Cmds, ou l'aide
de Xcas pour trouver les bonnes commandes. 

Si vous devez
r\'e-utiliser un r\'esultat, donnez-lui un nom de variable
(par exemple \verb|a:=...|).
Pour lib\'erer une variable de son contenu, utiliser \verb|purge()|.
{\bf N'oubliez pas le signe \verb|*| pour les multiplications}
(\verb|xy|$\neq$\verb|x*y|, cela d\'esigne une variable dont le nom a
deux lettres).

\begin{enumerate}
\item D\'evelopper le polyn\^ome $(x+3)^7 \times (x-5)^6$

\item Simplifier les expressions suivantes:
\[ \quad \sqrt{3+2\sqrt{2}},
\quad \frac{1+\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}, \quad
e^{i\pi/6}, \quad 4\mbox{atan}(\frac{1}{5})-\mbox{atan}(\frac{1}{239}) \]

\item Factoriser~:
\[ x^{4}+x^{3}-2x^{2}-3 x-3, \quad x^6-2x^3+1, \quad (-y+x)z^2-xy^2+x^2y \]

\item Calculez les int\'egrales~:
\[ \int \frac{1}{e^x-1} \ dx, \quad
\int  \frac{1}{x\ln(x)} \ln(\ln(x)) dx, \quad \int e^{x^2} \ dx,
\quad \int x\sin(x)e^{x} \ dx \]
V\'erifiez en d\'erivant les expressions obtenues.

\item D\'eterminer la valeur (si possible exacte, en tout cas approch\'ee) de~:
\[\int _1^2\frac{1}{(1+x^2)^3}, \quad  \int _1^2 \frac{1}{x^3+1} \ dx,
\quad \int_0^1 \sqrt{1+x^4} \ dx \]

%\item Calculer les sommes suivantes
%\[\sum_{k=1}^N k,\quad \sum_{k=1}^N k^2,\quad \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\]

\item D\'evelopper $\sin(3x)$, lin\'eariser l'expression obtenue
et v\'erifier qu'on retrouve l'expression initiale.

\item \'Ecrire $\sin(t)$ et $\cos(t)$ en fonction de $\tan(t/2)$ puis
faire l'op\'eration inverse.

\item Calculer le d\'eveloppement de Taylor en $x=0$ \`a l'ordre 4
de:
\[ \ln(1+x+x^2),\quad
\frac{\exp(\sin(x))-1}{x+x^2} , \quad \sqrt{1+e^{x}}, \quad
\frac{\ln(1+x)}{\exp(x)-\sin(x)} \]
\item Calculez le d\'eveloppement asymptotique en $+\infty$ et en $-\infty$
de
\[ f(x)=\sqrt{x^2+x+1} \]
En d\'eduire les asymptotes de $f$ et la position de la courbe par
rapport aux asymptotes.

\item R\'esoudre le syst\`eme lin\'eaire:
\[ \left\{ \begin{array}{lllllll}
 x &+& y &+& az&=&1\\
 x & +& a y&+& z&=&2 \\
 ax & +&y &+& z&=&3 
\end{array}\right. \]
Discuter selon les valeurs de $a$.
D\'eterminer l'inverse de la matrice de ce syst\`eme.
%Diagonaliser la matrice $A$.
\end{enumerate}

\section{TP2: courbes}
Dans les TP2 et 3, les exercices marqu\'es
par $\heartsuit$  sont \`a faire en priorit\'e avant la fin de la 2i\`eme
(respectivement 3i\`eme) s\'eance de TP, ceux marqu\'es d'un
$\spadesuit$  sont optionnels (pour les \'etudiants curieux ou en avance), 
ceux marqu\'es d'un $\clubsuit$ 
(ou des exercices tr\`es ressemblants)
peuvent \^etre pos\'es lors du TP d'\'evaluation.\\

Pour vous aider \`a saisir les commandes de trac\'e et g\'eom\'etrie, 
vous pouvez utiliser les
assistants du menu Graphe, et les commandes du menu
Geometrie de Xcas, ainsi que les commandes \verb|courbure|, 
\verb|cercle_osculateur|, \verb|developpee|. 
\begin{enumerate}
\item $\heartsuit$  Il s'agit de comparer deux repr\'esentations param\'etriques 
du cercle unit\'e~:
\[ x(t)=\cos(t), y(t)=\sin(t) \quad x(T)+i y(T)=\frac{1+iT}{1-iT}\]
Faire les deux graphes, on pourra utiliser
 les options \verb|t=a..b,tstep=valeur| de
\verb|plotparam| pour d\'efinir la discr\'etisation.\\ 
Observez
que pour la 2\`ieme repr\'esentation, il manque un morceau
du cercle, expliquez en faisant tendre $T$ vers l'infini. 
Observez la densit\'e
des points de la discr\'etisation utilis\'ee dans les deux
cas.  \\
Retrouver la première
repr\'esentation \`a partir de la deuxième et du changement de
variable $T=\tan(t/2)$ (commande \verb|halftan|).
Si vous deviez faire les calculs de points du cercle sans machine, quelle
param\'etrisation choisiriez-vous~?
\item $\heartsuit$  $\clubsuit$  \'Etude/trac\'e de courbes en param\'etriques\\
Choisir quelques exemples de courbes (au moins le premier)
parmi ceux qui suivent ou issus de la feuille de TD ou des
annales d'examen, en utilisant
Xcas ou la calculatrice pour effectuer/v\'erifier
les calculs analytiques parmi ceux que vous avez déjà vus
en TD~:
domaine de d\'efinition, symétries éventuelles,
branches infinies (asymptotes \'eventuelles),
calcul des d\'eriv\'ees premi\`eres et secondes, points singuliers
\'eventuels, double tableau de variations. repère de Frénet.
Choisir une fen\^etre graphique qui permet de bien visualiser les
points int\'eressants de chaque courbe (en s'aidant du double
tableau de variations).
$$
\begin{array}{lll}
x(t)=t+1/t , & y(t)=t^2+2/t \\
x(t)=3t^2-2t^3 , & y(t)=5t^4-4t^5 \\
x(t)=2t^3 , & y(t)=-4t^5 \\
x(t)=3\cos(t) , & y(t)=4\sin(t) \\
x(t)=3\cosh(t) , & y(t)=4\sinh(t) \\
x(t)=\cos(3t) , & y(t)=\sin(t) \\
 x(t)=\cos(t)+t\sin(t) , & y(t)=\sin(t)-t\cos(t) , & t \in [-\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]
\end{array}
$$
\item $\heartsuit$  $\clubsuit$  \'Etude/trac\'e de courbe en polaire (\verb|plotpolar|) \\
M\^emes questions pour
$$
\begin{array}{ll}
r(\theta)=1/(1+2\sin(\theta)) & \theta \in ]-\pi/6,7\pi/6[ \\
r(\theta) = e^{-\theta} \\
 r(\theta)=\sqrt{\cos(2\theta)} \\
 r(\theta)=3/(2+\cos(\theta) \\
r(\theta)=\cos(2\theta)/\sin(\theta) 
\end{array}
$$
\item $\spadesuit$  Soit $E$ la courbe d'\'equation cart\'esienne
$x^2+y^2+xy-4=0$. V\'erifiez que le point $A(2,0)$ appartient \`a $E$.
D\'eterminez l'autre point d'intersection de $E$ et de la droite
passant par $A$ de pente $m$. En d\'eduire la nature
et une repr\'esentation 
param\'etrique de $E$ en faisant varier $m$.\\
Indication, on pourra utiliser le menu Edit, Ajouter param\`etre 
pour cr\'eer un param\`etre symbolique de nom $m$ avec une valeur
ajustable \`a la souris pour le dessin,
\verb|D:=droite(point(2,0),pente=m)| pour g\'enerer une droite
de pente $m$, \verb|G:=implicitplot(eq)| pour obtenir le graphe
d'une \'equation cart\'esienne, \verb|L:=inter(D,G)| pour d\'eterminer 
la liste des points d'intersections
de deux courbes et \verb|coordonnees| pour avoir les coordonn\'ees
d'un point.\\
Cette m\'ethode s'applique \`a toutes les coniques, c'est-\`a-dire
les courbes dont l'\'equation cart\'esienne est de degr\'e 2 (Xcas reconnait
d'ailleurs automatiquement les coniques). Mais elle ne s'applique
malheureusement pas en g\'en\'eral, et l'\'etude et le trac\'e de courbes en
implicite (ou ligne de niveau 0) est nettement plus compliqu\'ee 
(vous pouvez essayer avec
des \'equations de degr\'e plus grand que 2 ou non polynomiales, avec
les instructions \verb|implicitplot|, \verb|contourplot| et
\verb|densityplot|).
\item $\spadesuit$  On param\`etre le cercle de rayon $R$ par
$$ x(t)=R\frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad y(t)=R\frac{2t}{1+t^2}$$
Calculer la vitesse $v$ et l'acc\'el\'eration, puis l'acc\'el\'eration
normale $a_n$ et tangentielle $a_t$. V\'erifier que $a_n=v^2/R$ et
$a_t=\frac{d}{dt}\|v\|$.
\item $\spadesuit$  Courbe param\'etrique d\'ependant d'un param\`etre~:
on consid\`ere la courbe $C_m$ d\'ependant du r\'eel $m$~:
$$ x(t)=\frac{t+m}{t^2+1+m^2}, \quad y(t)=\frac{t^2}{t-m}$$
Repr\'esenter la courbe pour quelques valeurs de $m$ (on pourra
utiliser dans un niveau de g\'eom\'etrie, le menu Edit, Ajouter un
param\`etre pour cr\'eer un curseur repr\'esentant $m$, puis 
\verb|plotparam|). D\'eterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles
la courbe admet un point singulier, repr\'esenter le graphe dans ce(s)
cas et faire l'\'etude de la courbe.
\item $\clubsuit$  Calculer la longueur d'un arc d'une des courbes pr\'ec\'edentes
(essayez de mani\`ere exacte et approch\'ee).
D\'eterminez le rayon de courbure du cercle tangent \`a l'une
des courbes pr\'ec\'edentes en un des points de la courbe et
repr\'esentez le cercle osculateur correspondant (instruction \verb|cercle|) 
sur le m\^eme graphe. La courbe admet-elle un sommet~?
Calculer et repr\'esenter sa d\'evelopp\'ee.
\item $\clubsuit$  Int\'egrale curviligne~: faire l'étude de la courbe puis d\'eterminer le centre de gravit\'e d'une boucle non centrale d'une des courbes de Lissajoux
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(3t)$$
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(5t)$$
\item $\clubsuit$  Int\'egrale curviligne~: 
faire l'étude la courbe puis d\'eterminer l'aire et le centre de gravit\'e du
domaine du plan d\'elimit\'e par l'arc de courbe et le segment reliant
les deux extr\'emit\'es~:
$r=3+\sin(2\theta), \theta \in [0,\pi/2]$
\item $\spadesuit$ 
Soit $E$ l'ellipse d'excentricit\'e $e=1/2$ et demi grand axe $a=2/3$
donn\'ee par \'equation polaire 
$$ r(\theta)=\frac{1}{2+\cos(\theta)}$$
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer le rep\`ere de Frenet en un point $M(\theta)$.
\item On place une source lumineuse en $F(0,0)$ qui \'emet dans 
toutes les directions et on suppose que 
l'int\'erieur de l'ellipse $E$ est un miroir. 
D\'eterminer le rayon r\'efl\'echi du rayon
$\overrightarrow{FM(t)}$
(sym\'etrique du rayon $\overrightarrow{FM(t)}$ 
par rapport \`a la tangente $T$ en $M(\theta)$ \`a l'ellipse).
\item Montrer que le rayon r\'efl\'echi passe par un point ind\'ependant
de $\theta$ que l'on d\'eterminera (on commencera par d\'eterminer sur quel axe de
sym\'etrie de l'ellipse ce point peut se situer).
\end{enumerate}
 % \item Compl\'ements~: voir dans l'aide de Xcas, menu Manuel Exercices les sections 14 et 15
% consacr\'ees aux courbes en param\'etriques et polaires. Et la session
% \verb|astroide.xws| du menu Exemples, geometrie.
\end{enumerate}

\pagebreak

\section{TP3: \'equations diff\'erentielles, syst\`emes.}
\begin{enumerate}
\item $\heartsuit$  R\'esolution exacte d'une \'equation et repr\'esentation
des solutions.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la solution g\'en\'erale de $2t\dot{x}+x-3t^2=0 $
en utilisant \verb|desolve|. 
\item Puis les solutions $x_1$ et $x_2$
passant respectivement par le point $(t,x)=(1,1),
(1,2)$ en utilisant l'argument optionnel \verb|and x(1)=1|
ou \verb|and x(1)=2| de \verb|desolve|. Stockez les
dans deux variables \verb|X1| et \verb|X2| (attention, ne pas
utiliser \verb|x1| et \verb|x2| qui sont cr\'e\'ees automatiquement
par Xcas quand on ex\'ecute une commande \verb|plot|).
\item
Tracer sur un m\^eme graphe les courbes de $x_1,x_2$ et
le champ des tangentes 
pour $t=1..5$ et $x=0..14$ (utiliser la commande \verb|plotfield|
et deux commandes \verb|plot| s\'epar\'ees par des \verb|;|). 
\end{enumerate}
\item $\heartsuit$  Unicit\'e de la solution avec condition initiale
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer les solutions de $\dot{x}=t^3 x$, tracez
le champ des tangentes et quelques courbes repr\'esentatives de solutions dans
l'intervalle $[-1,1]$. 
\item Faire de m\^eme pour $t^3 \dot{x}=x$. 
\item Qu'observe-t-on en $t=0$~? 
Expliquer en testant les hypoth\`eses du th\'eor\`eme de
Cauchy-Lipschitz.
\end{enumerate}
\item $\heartsuit$  R\'esolution approch\'ee: champ des tangentes et
  \verb|odeplot|.\\
Que se passe-t-il si on essaie de r\'esoudre exactement l'\'equation
$\dot{x}=\sin(tx) $~?
Il n'y a en g\'en\'eral pas de solution explicite \`a une \'equation
diff\'erentielle. Comme pour l'int\'egration, il existe des m\'ethode
pour trouver la valeur approch\'ee d'une solution, dont la plus simple
utilise \verb|plotfield|. \\
Tracez quelques solutions approch\'ees
avec \verb|plotode| sur la m\^eme figure que \verb|plotfield|
(indication~: dans Xcas PC/Mac, on peut ouvrir une figure 2d 
depuis le menu Geo, puis choisir dans ce menu Geo,
champ des tangentes et cliquer sur un point de la figure pour tracer
la solution passant par ce point).
\item $\clubsuit$ 
\'Equation autonome, point d'\'equilibre, comportement pr\`es d'un point
d'\'equilibre.\\
On consid\'ere l'\'equation logistique $y'=f(y)=y(1-y)$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la solution exacte avec \verb|desolve|, les points
d'\'equilibre (i.e. les solutions de $f(y)=0$)
\item Pour quelques conditions initiales $y(0)$ proches de chaque point d'\'equilibre,
tracez les solutions de l'\'equation.
\item Comparez le comportement de la solution \`a celui de l'\'equation
lin\'earis\'ee $y'=f'(0)y$ et $(y-1)'=f'(1)(y-1)$ en les points
d'\'equilibre.
\end{enumerate}
%\\Forcage.
\item $\clubsuit$  \'Equation du second ordre $x'{'}+ax'+4x=\cos(2t)$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la solution g\'en\'erale de l'\'equation pour $a \in
]0,4[$. Dans Xcas, on utilise la commande \verb|assume(0<a<4)| avant
\verb|desolve| pour faire cette hypoth\`ese sur $a$.  Attention, il faut
pr\'eciser les variables utilis\'ees \verb|t,x| dans \verb|desolve| 
car Xcas ne peut pas
les deviner \`a cause de la pr\'esence du param\`etre $a$.
\item
Les solutions sont-elles born\'ees lorsque $t \rightarrow
+\infty$~?
\item
 Observez la valeur du maximum de la solution telle que
$x(0)=0,x'(0)=1$ lorsque $a$ tend vers 0. Comparer avec la solution
de l'\'equation pour $a=0$ ayant ces conditions initiales.
\end{enumerate}
\item  $\heartsuit$ 
Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres des applications
linéaires dont la matrice $A$ est donn\'ee dans la base canonique. 
Pour entrer des matrices, on peut les saisir en ligne de commande
sous forme de listes de listes, 
ou pour des matrices de taille plus grande, utiliser le menu Tableur,
nouveau tableur, puis indiquer un nom de variable (à la place de 0) et
préciser le nombre de lignes/colonnes.
$$
\left[\begin{array}{cc}3&-3\\1&-3\end{array}\right],
\left[\begin{array}{cc}3&-4\\1&6\end{array}\right],
\left[\begin{array}{ccc}-2&-2&1\\-2&1&-2\\1&-2&-2\end{array}\right],
\left[\begin{array}{cccc}1&1&3&1\\1&0&4&2\\2&2&4&4\\0&0&4&1\end{array}\right],
$$
$$
\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&-6\\1&0&0&0\\0&1&0&5\\0&0&1&0\end{array}\right],
\left[\begin{array}{ccccc}1&1&-1&2&-1\\2&0&1&-4&-1\\0&1&1&1&1\\0&1&2&0&1\\0&0&-3&3&-1\end{array}\right]
$$
On pourra observer des valeurs propres réelles ou imaginaires conjuguées,
des valeurs propres multiples, des valeurs propres non exactes, une matrice
non diagonalisable. Un des exemples met en évidence 
le cas générique où aucune manipulation ``\'evidente'' de ligne/colonne ne permet 
de factoriser un $\lambda-$valeur propre dans le déterminant de
$A-\lambda I$.
\item $\clubsuit$ 
Pour r\'esoudre des
syst\`emes lin\'eaires homog\`enes \`a coefficients constants $\dot{Y}=AY$ avec Xcas, 
on peut utiliser l'exponentielle de matrice, en effet
\verb|exp(A*t)*Y(0)| est la solution du syst\`eme au temps $t$.
\begin{enumerate}
\item Exemple du cours~: $A=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-5 & 6
\end{array}\right) $
D\'eterminez la solution v\'erifiant $Y(0)=[1,0]$ et
$Y(0)=[0,1]$. Observez que les coefficients des
exponentielles sont les valeurs propres de $A$ (\verb|eigenvalues|).
On peut tracer un faisceau de solutions par exemple avec la commande\\
\verb|seq(seq(plotparam(exp(A*t)*[a/5,b/5],t=-1..1),a,-3,3),b,-3,3)|\\
puis tracer sur la m\^eme figure les vecteurs
propres. Qu'observez-vous~?
\item
Faire de m\^eme pour des matrices dont les deux valeurs propres sont
n\'egatives, une avec une valeur positive et une valeur
n\'egative,  puis dont le discriminant est n\'egatif
(valeurs propres complexes conjugu\'ees), par exemple~: 
\[ A=\left(\begin{array}{cc}
-3 & 1 \\
2 & -2
\end{array}\right), 
A=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & 0
\end{array}\right),
A=\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right), 
A=\left(\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
1 & -1
\end{array}\right), 
A=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right)
\]
Commentez le comportement des solutions en fonction des valeurs propres et
vecteurs propres de $A$.
\end{enumerate}
%\item
%Syst\`emes autonomes 2-d, champ des tangentes, comportement pr\`es d'un point
%d'\'equilibre et lin\'earisation. Proie-pr\'edateur?
\item $\spadesuit$ 
On mod\'elise l'\'evolution de la temp\'erature
$T$ de la Terre par
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( 6 \ln (\frac{CO2}{280}) - \sigma (T^4-T_e^4) \right)\]
o\`u $T_e=288$\_K est la temp\'erature d'\'equiibre de la Terre et 
$CO2(t)$ la concentration en ppm de gaz carbonique, $k$ mod\'elise
la capacit\'e calorifique de la Terre ($k=0.0025$\_K/\_yr),
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 SI).
\begin{enumerate}
\item Si $CO2=280$ est constant, d\'eterminer la ou les solutions
stationnaires. Peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Lin\'eariser au voisinage des solutions stationnaires
et \'etudier la stabilit\'e des solutions du
lin\'earis\'e. D\'eterminer le temps caract\'eristique de retour \`a l'\'equilibre.
\item Si $CO2=400$ (taux actuel), d\'eterminez
les nouvelles solutions stationnaires, lin\'earisez au voisinage et
\'etudiez la stabilit\'e des solutions du lin\'earis\'e.
\item Si $CO2=400+2t$ (hausse de 2 ppm par an du CO2),
peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Calculer la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee pr\'ec\'edente,
comparer avec la solution num\'erique non lin\'earis\'ee.
\item La hausse de la temp\'erature provoque un d\'egazage de CO2 par
  l'oc\'ean. On a donc un syst\`eme coupl\'e
\[ \frac{dCO2}{dt}=2+\alpha (T-T_e)-\beta(CO2-280)\]
Comment peut-on \'etudier l'\'evolution d'un tel syst\`eme~?
\end{enumerate}

\end{enumerate} \end{document}

\item $\spadesuit$  {\bf Temp\'erature au cours d'une journ\'ee.}\\
On mod\'elise la temp\'erature $T(t)$ au cours d'une journ\'ee par la
solution d'une \'equation diff\'erentielle~:
\[ aT'=f(t), \quad f(t)= -0.02 T + \mbox{max}(0,c\cos(t)+d) \]
o\`u une journ\'ee de 24h correspond \`a $t$ variant de $2\pi$ et~:
\begin{itemize}
\item $a \approx 0.05$ mod\'elise l'inertie thermique (pour un climat
  oc\'eanique d\'egrad\'e), 
\item $f(t)$ tient compte des transferts de chaleur vers le reste de
  la Terre et vers l'espace 
%\footnote{Pour \^etre plus r\'ealiste, il faudrait ici tenir compte de la latitude et de la saison} 
(terme $-0.02 T$) 
auquel on ajoute pendant la journ\'ee le rayonnement direct du
Soleil (terme max qui vaut $c \cos(t)+d$ lorsqu'il est positif ce qui d\'efinit le
jour ou 0 la nuit).
\item $c \geq 0$ et $d$ d\'ependent de la saison et de la latitude du lieu
  consid\'er\'e. Ainsi, au pole $c=0$ ($d=0.4$ au solstice
  d'\'et\'e et $d=-0.4$ au solstice d'hiver), \`a l'\'equateur $d=0$
  ($c=0.92$ aux solstices, $c=1$ aux \'equinoxes),
et \`a la latitude de Grenoble on a $c=0.65$ aux solstices, ($d=0.28$ au solstice
d'\'et\'e, $d=-0.28$ au solstice d'hiver).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On se place au pole. D\'eterminer la solution de l'\'equation
  diff\'erentielle 
\[ aT' = -0.02 T + \mbox{max}(0,d) \]
au solstice d'\'et\'e ($d=0.4$) et au solstice d'hiver ($d=-0.4$), ainsi
que la limite de $T$ pour $t$ grand.
\item On se place \`a l'\'equateur \`a l'\'equinoxe. 
D\'eterminer (par exemple avec \verb|desolve|)
la solution de l'\'equation~:
\[ aT'= -0.02 T + \mbox{max}(0,\cos(t)) \]
la nuit ($t \in [-3\pi/2,-\pi/2]$) en fonction de $T_s=T(-3\pi/2)$
en d\'eduire la valeur de $T(-\pi/2)$, puis r\'esoudre l'\'equation
le jour ($t\in [-\pi/2,\pi/2]$), en d\'eduire $T(\pi/2)$. 
Peut-on trouver $T_s$ tel que $T$ soit p\'eriodique~? 
Pour $t$ grand, tend-on vers une solution p\'eriodique~?
Lorsque la solution est p\'eriodique, 
\`a quel moment de la journ\'ee la temp\'erature
maximale est-elle atteinte~? La temp\'erature minimale~?
\item On se place \`a la latitude de Grenoble. D\'eterminer
la p\'eriode de nuit et de jour aux solstices puis
la solution de l'\'equation la nuit, puis le jour. On suppose
qu'on choisit une valeur initiale de $T$ telle que la solution soit
p\'eriodique,
%(environ 22 en \'et\'e et 5 en hiver), 
observe-t-on le m\^eme
type de ph\'enom\`ene qu'\`a l'\'equateur~? Que peut-on
dire de l'amplitude thermique au solstice d'\'et\'e par
rapport \`a l'amplitude thermique au solstice d'hiver~?
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{document}
% Couplages: TP2.9 et 3.6, TP2.5 et 3.5, TP2.10 et 3.6
\pagebreak

(TP2, exercice 10) et  (TP3 exercice 6 ou {\bf Mod\`ele T/CO2})\\
On mod\'elise l'\'evolution de la temp\'erature
$T$ de la Terre par
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( 6 \ln (\frac{CO2}{280}) - \sigma (T^4-T_e^4) \right)\]
o\`u $T_e=288$\_K est la temp\'erature d'\'equiibre de la Terre et 
$CO2(t)$ la concentration en ppm de gaz carbonique, $k$ mod\'elise
la capacit\'e calorifique de la Terre ($k=0.0025$\_K/\_yr),
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 SI).
\begin{enumerate}
\item Si $CO2=280$ est constant, d\'eterminer la ou les solutions
stationnaires. Peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Lin\'eariser au voisinage des solutions stationnaires
et \'etudier la stabilit\'e des solutions du
lin\'earis\'e. D\'eterminer le temps caract\'eristique de retour \`a l'\'equilibre.
\item Si $CO2=400$ (taux actuel), d\'eterminez
les nouvelles solutions stationnaires, lin\'earisez au voisinage et
\'etudiez la stabilit\'e des solutions du lin\'earis\'e.
\item Si $CO2=400+2t$ (hausse de 2 ppm par an du CO2),
peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Calculer la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee pr\'ec\'edente,
comparer avec la solution num\'erique non lin\'earis\'ee.
\item La hausse de la temp\'erature provoque un d\'egazage de CO2 par
  l'oc\'ean. On a donc un syst\`eme coupl\'e
\[ \frac{dCO2}{dt}=2+\alpha (T-T_e)-\beta(CO2-280)\]
Comment peut-on \'etudier l'\'evolution d'un tel syst\`eme~?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

Int\'egrale curviligne~: d\'eterminez le centre de gravit\'e 
d'une boucle non centrale de la courbe de Lissajoux
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(5t)$$
 
TP3 exercice 5 ou 
{\bf Temp\'erature au cours d'une journ\'ee.}\\
On mod\'elise la temp\'erature $T(t)$ au cours d'une journ\'ee par la
solution d'une \'equation diff\'erentielle~:
\[ aT'=f(t), \quad f(t)= -0.02 T + \mbox{max}(0,c\cos(t)+d) \]
o\`u une journ\'ee de 24h correspond \`a $t$ variant de $2\pi$ et~:
\begin{itemize}
\item $a \approx 0.05$ mod\'elise l'inertie thermique (pour un climat
  oc\'eanique d\'egrad\'e), 
\item $f(t)$ tient compte des transferts de chaleur vers le reste de
  la Terre et vers l'espace 
%\footnote{Pour \^etre plus r\'ealiste, il faudrait ici tenir compte de la latitude et de la saison} 
(terme $-0.02 T$) 
auquel on ajoute pendant la journ\'ee le rayonnement direct du
Soleil (terme max qui vaut $c \cos(t)+d$ lorsqu'il est positif ce qui d\'efinit le
jour ou 0 la nuit).
\item $c \geq 0$ et $d$ d\'ependent de la saison et de la latitude du lieu
  consid\'er\'e. Ainsi, au pole $c=0$ ($d=0.4$ au solstice
  d'\'et\'e et $d=-0.4$ au solstice d'hiver), \`a l'\'equateur $d=0$
  ($c=0.92$ aux solstices, $c=1$ aux \'equinoxes),
et \`a la latitude de Grenoble on a $c=0.65$ aux solstices, ($d=0.28$ au solstice
d'\'et\'e, $d=-0.28$ au solstice d'hiver).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On se place au pole. D\'eterminer la solution de l'\'equation
  diff\'erentielle 
\[ aT' = -0.02 T + \mbox{max}(0,d) \]
au solstice d'\'et\'e ($d=0.4$) et au solstice d'hiver ($d=-0.4$), ainsi
que la limite de $T$ pour $t$ grand.
\item On se place \`a l'\'equateur \`a l'\'equinoxe. 
D\'eterminer (par exemple avec \verb|desolve|)
la solution de l'\'equation~:
\[ aT'= -0.02 T + \mbox{max}(0,\cos(t)) \]
la nuit ($t \in [-3\pi/2,-\pi/2]$) en fonction de $T_s=T(-3\pi/2)$
en d\'eduire la valeur de $T(-\pi/2)$, puis r\'esoudre l'\'equation
le jour ($t\in [-\pi/2,\pi/2]$), en d\'eduire $T(\pi/2)$. 
Peut-on trouver $T_s$ tel que $T$ soit p\'eriodique~? 
Pour $t$ grand, tend-on vers une solution p\'eriodique~?
Lorsque la solution est p\'eriodique, 
\`a quel moment de la journ\'ee la temp\'erature
maximale est-elle atteinte~? La temp\'erature minimale~?
\item On se place \`a la latitude de Grenoble. D\'eterminer
la p\'eriode de nuit et de jour aux solstices puis
la solution de l'\'equation la nuit, puis le jour. On suppose
qu'on choisit une valeur initiale de $T$ telle que la solution soit
p\'eriodique,
%(environ 22 en \'et\'e et 5 en hiver), 
observe-t-on le m\^eme
type de ph\'enom\`ene qu'\`a l'\'equateur~? Que peut-on
dire de l'amplitude thermique au solstice d'\'et\'e par
rapport \`a l'amplitude thermique au solstice d'hiver~?
\end{enumerate}

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\ 
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TP2 exercice 10 et (TP3 exercice 5 ou 
{\bf Temp\'erature au cours d'une journ\'ee.})\\
On mod\'elise la temp\'erature $T(t)$ au cours d'une journ\'ee par la
solution d'une \'equation diff\'erentielle~:
\[ aT'=f(t), \quad f(t)= -0.02 T + \mbox{max}(0,c\cos(t)+d) \]
o\`u une journ\'ee de 24h correspond \`a $t$ variant de $2\pi$ et~:
\begin{itemize}
\item $a \approx 0.05$ mod\'elise l'inertie thermique (pour un climat
  oc\'eanique d\'egrad\'e), 
\item $f(t)$ tient compte des transferts de chaleur vers le reste de
  la Terre et vers l'espace 
%\footnote{Pour \^etre plus r\'ealiste, il faudrait ici tenir compte de la latitude et de la saison} 
(terme $-0.02 T$) 
auquel on ajoute pendant la journ\'ee le rayonnement direct du
Soleil (terme max qui vaut $c \cos(t)+d$ lorsqu'il est positif ce qui d\'efinit le
jour ou 0 la nuit).
\item $c \geq 0$ et $d$ d\'ependent de la saison et de la latitude du lieu
  consid\'er\'e. Ainsi, au pole $c=0$ ($d=0.4$ au solstice
  d'\'et\'e et $d=-0.4$ au solstice d'hiver), \`a l'\'equateur $d=0$
  ($c=0.92$ aux solstices, $c=1$ aux \'equinoxes),
et \`a la latitude de Grenoble on a $c=0.65$ aux solstices, ($d=0.28$ au solstice
d'\'et\'e, $d=-0.28$ au solstice d'hiver).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On se place au pole. D\'eterminer la solution de l'\'equation
  diff\'erentielle 
\[ aT' = -0.02 T + \mbox{max}(0,d) \]
au solstice d'\'et\'e ($d=0.4$) et au solstice d'hiver ($d=-0.4$), ainsi
que la limite de $T$ pour $t$ grand.
\item On se place \`a l'\'equateur \`a l'\'equinoxe. 
D\'eterminer (par exemple avec \verb|desolve|)
la solution de l'\'equation~:
\[ aT'= -0.02 T + \mbox{max}(0,\cos(t)) \]
la nuit ($t \in [-3\pi/2,-\pi/2]$) en fonction de $T_s=T(-3\pi/2)$
en d\'eduire la valeur de $T(-\pi/2)$, puis r\'esoudre l'\'equation
le jour ($t\in [-\pi/2,\pi/2]$), en d\'eduire $T(\pi/2)$. 
Peut-on trouver $T_s$ tel que $T$ soit p\'eriodique~? 
Pour $t$ grand, tend-on vers une solution p\'eriodique~?
Lorsque la solution est p\'eriodique, 
\`a quel moment de la journ\'ee la temp\'erature
maximale est-elle atteinte~? La temp\'erature minimale~?
\item On se place \`a la latitude de Grenoble. D\'eterminer
la p\'eriode de nuit et de jour aux solstices puis
la solution de l'\'equation la nuit, puis le jour. On suppose
qu'on choisit une valeur initiale de $T$ telle que la solution soit
p\'eriodique,
%(environ 22 en \'et\'e et 5 en hiver), 
observe-t-on le m\^eme
type de ph\'enom\`ene qu'\`a l'\'equateur~? Que peut-on
dire de l'amplitude thermique au solstice d'\'et\'e par
rapport \`a l'amplitude thermique au solstice d'hiver~?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

Int\'egrale curviligne~: d\'eterminez le centre de gravit\'e 
d'une boucle non centrale de la courbe de Lissajoux
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(5t)$$

TP3 exercice 6 ou {\bf Mod\`ele T/CO2})\\
On mod\'elise l'\'evolution de la temp\'erature
$T$ de la Terre par
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( 6 \ln (\frac{CO2}{280}) - \sigma (T^4-T_e^4) \right)\]
o\`u $T_e=288$\_K est la temp\'erature d'\'equiibre de la Terre et 
$CO2(t)$ la concentration en ppm de gaz carbonique, $k$ mod\'elise
la capacit\'e calorifique de la Terre ($k=0.0025$\_K/\_yr),
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 SI).
\begin{enumerate}
\item Si $CO2=280$ est constant, d\'eterminer la ou les solutions
stationnaires. Peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Lin\'eariser au voisinage des solutions stationnaires
et \'etudier la stabilit\'e des solutions du
lin\'earis\'e. D\'eterminer le temps caract\'eristique de retour \`a l'\'equilibre.
\item Si $CO2=400$ (taux actuel), d\'eterminez
les nouvelles solutions stationnaires, lin\'earisez au voisinage et
\'etudiez la stabilit\'e des solutions du lin\'earis\'e.
\item Si $CO2=400+2t$ (hausse de 2 ppm par an du CO2),
peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Calculer la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee pr\'ec\'edente,
comparer avec la solution num\'erique non lin\'earis\'ee.
\item La hausse de la temp\'erature provoque un d\'egazage de CO2 par
  l'oc\'ean. On a donc un syst\`eme coupl\'e
\[ \frac{dCO2}{dt}=2+\alpha (T-T_e)-\beta(CO2-280)\]
Comment peut-on \'etudier l'\'evolution d'un tel syst\`eme~?
\end{enumerate}

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(TP2, exercice 10) et  (TP3 exercice 6 ou {\bf Mod\`ele T/CO2})\\
On mod\'elise l'\'evolution de la temp\'erature
$T$ de la Terre par
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( 6 \ln (\frac{CO2}{280}) - \sigma (T^4-T_e^4) \right)\]
o\`u $T_e=288$\_K est la temp\'erature d'\'equiibre de la Terre et 
$CO2(t)$ la concentration en ppm de gaz carbonique, $k$ mod\'elise
la capacit\'e calorifique de la Terre ($k=0.0025$\_K/\_yr),
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 SI).
\begin{enumerate}
\item Si $CO2=280$ est constant, d\'eterminer la ou les solutions
stationnaires. Peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Lin\'eariser au voisinage des solutions stationnaires
et \'etudier la stabilit\'e des solutions du
lin\'earis\'e. D\'eterminer le temps caract\'eristique de retour \`a l'\'equilibre.
\item Si $CO2=400$ (taux actuel), d\'eterminez
les nouvelles solutions stationnaires, lin\'earisez au voisinage et
\'etudiez la stabilit\'e des solutions du lin\'earis\'e.
\item Si $CO2=400+2t$ (hausse de 2 ppm par an du CO2),
peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Calculer la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee pr\'ec\'edente,
comparer avec la solution num\'erique non lin\'earis\'ee.
\item La hausse de la temp\'erature provoque un d\'egazage de CO2 par
  l'oc\'ean. On a donc un syst\`eme coupl\'e
\[ \frac{dCO2}{dt}=2+\alpha (T-T_e)-\beta(CO2-280)\]
Comment peut-on \'etudier l'\'evolution d'un tel syst\`eme~?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

Int\'egrale curviligne~: d\'eterminez le centre de gravit\'e 
d'une boucle non centrale de la courbe de Lissajoux
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(5t)$$
 
TP3 exercice 5 ou 
{\bf Temp\'erature au cours d'une journ\'ee.}\\
On mod\'elise la temp\'erature $T(t)$ au cours d'une journ\'ee par la
solution d'une \'equation diff\'erentielle~:
\[ aT'=f(t), \quad f(t)= -0.02 T + \mbox{max}(0,c\cos(t)+d) \]
o\`u une journ\'ee de 24h correspond \`a $t$ variant de $2\pi$ et~:
\begin{itemize}
\item $a \approx 0.05$ mod\'elise l'inertie thermique (pour un climat
  oc\'eanique d\'egrad\'e), 
\item $f(t)$ tient compte des transferts de chaleur vers le reste de
  la Terre et vers l'espace 
%\footnote{Pour \^etre plus r\'ealiste, il faudrait ici tenir compte de la latitude et de la saison} 
(terme $-0.02 T$) 
auquel on ajoute pendant la journ\'ee le rayonnement direct du
Soleil (terme max qui vaut $c \cos(t)+d$ lorsqu'il est positif ce qui d\'efinit le
jour ou 0 la nuit).
\item $c \geq 0$ et $d$ d\'ependent de la saison et de la latitude du lieu
  consid\'er\'e. Ainsi, au pole $c=0$ ($d=0.4$ au solstice
  d'\'et\'e et $d=-0.4$ au solstice d'hiver), \`a l'\'equateur $d=0$
  ($c=0.92$ aux solstices, $c=1$ aux \'equinoxes),
et \`a la latitude de Grenoble on a $c=0.65$ aux solstices, ($d=0.28$ au solstice
d'\'et\'e, $d=-0.28$ au solstice d'hiver).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On se place au pole. D\'eterminer la solution de l'\'equation
  diff\'erentielle 
\[ aT' = -0.02 T + \mbox{max}(0,d) \]
au solstice d'\'et\'e ($d=0.4$) et au solstice d'hiver ($d=-0.4$), ainsi
que la limite de $T$ pour $t$ grand.
\item On se place \`a l'\'equateur \`a l'\'equinoxe. 
D\'eterminer (par exemple avec \verb|desolve|)
la solution de l'\'equation~:
\[ aT'= -0.02 T + \mbox{max}(0,\cos(t)) \]
la nuit ($t \in [-3\pi/2,-\pi/2]$) en fonction de $T_s=T(-3\pi/2)$
en d\'eduire la valeur de $T(-\pi/2)$, puis r\'esoudre l'\'equation
le jour ($t\in [-\pi/2,\pi/2]$), en d\'eduire $T(\pi/2)$. 
Peut-on trouver $T_s$ tel que $T$ soit p\'eriodique~? 
Pour $t$ grand, tend-on vers une solution p\'eriodique~?
Lorsque la solution est p\'eriodique, 
\`a quel moment de la journ\'ee la temp\'erature
maximale est-elle atteinte~? La temp\'erature minimale~?
\item On se place \`a la latitude de Grenoble. D\'eterminer
la p\'eriode de nuit et de jour aux solstices puis
la solution de l'\'equation la nuit, puis le jour. On suppose
qu'on choisit une valeur initiale de $T$ telle que la solution soit
p\'eriodique,
%(environ 22 en \'et\'e et 5 en hiver), 
observe-t-on le m\^eme
type de ph\'enom\`ene qu'\`a l'\'equateur~? Que peut-on
dire de l'amplitude thermique au solstice d'\'et\'e par
rapport \`a l'amplitude thermique au solstice d'hiver~?
\end{enumerate}

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TP2 exercice 10 et (TP3 exercice 5 ou 
{\bf Temp\'erature au cours d'une journ\'ee.})\\
On mod\'elise la temp\'erature $T(t)$ au cours d'une journ\'ee par la
solution d'une \'equation diff\'erentielle~:
\[ aT'=f(t), \quad f(t)= -0.02 T + \mbox{max}(0,c\cos(t)+d) \]
o\`u une journ\'ee de 24h correspond \`a $t$ variant de $2\pi$ et~:
\begin{itemize}
\item $a \approx 0.05$ mod\'elise l'inertie thermique (pour un climat
  oc\'eanique d\'egrad\'e), 
\item $f(t)$ tient compte des transferts de chaleur vers le reste de
  la Terre et vers l'espace 
%\footnote{Pour \^etre plus r\'ealiste, il faudrait ici tenir compte de la latitude et de la saison} 
(terme $-0.02 T$) 
auquel on ajoute pendant la journ\'ee le rayonnement direct du
Soleil (terme max qui vaut $c \cos(t)+d$ lorsqu'il est positif ce qui d\'efinit le
jour ou 0 la nuit).
\item $c \geq 0$ et $d$ d\'ependent de la saison et de la latitude du lieu
  consid\'er\'e. Ainsi, au pole $c=0$ ($d=0.4$ au solstice
  d'\'et\'e et $d=-0.4$ au solstice d'hiver), \`a l'\'equateur $d=0$
  ($c=0.92$ aux solstices, $c=1$ aux \'equinoxes),
et \`a la latitude de Grenoble on a $c=0.65$ aux solstices, ($d=0.28$ au solstice
d'\'et\'e, $d=-0.28$ au solstice d'hiver).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On se place au pole. D\'eterminer la solution de l'\'equation
  diff\'erentielle 
\[ aT' = -0.02 T + \mbox{max}(0,d) \]
au solstice d'\'et\'e ($d=0.4$) et au solstice d'hiver ($d=-0.4$), ainsi
que la limite de $T$ pour $t$ grand.
\item On se place \`a l'\'equateur \`a l'\'equinoxe. 
D\'eterminer (par exemple avec \verb|desolve|)
la solution de l'\'equation~:
\[ aT'= -0.02 T + \mbox{max}(0,\cos(t)) \]
la nuit ($t \in [-3\pi/2,-\pi/2]$) en fonction de $T_s=T(-3\pi/2)$
en d\'eduire la valeur de $T(-\pi/2)$, puis r\'esoudre l'\'equation
le jour ($t\in [-\pi/2,\pi/2]$), en d\'eduire $T(\pi/2)$. 
Peut-on trouver $T_s$ tel que $T$ soit p\'eriodique~? 
Pour $t$ grand, tend-on vers une solution p\'eriodique~?
Lorsque la solution est p\'eriodique, 
\`a quel moment de la journ\'ee la temp\'erature
maximale est-elle atteinte~? La temp\'erature minimale~?
\item On se place \`a la latitude de Grenoble. D\'eterminer
la p\'eriode de nuit et de jour aux solstices puis
la solution de l'\'equation la nuit, puis le jour. On suppose
qu'on choisit une valeur initiale de $T$ telle que la solution soit
p\'eriodique,
%(environ 22 en \'et\'e et 5 en hiver), 
observe-t-on le m\^eme
type de ph\'enom\`ene qu'\`a l'\'equateur~? Que peut-on
dire de l'amplitude thermique au solstice d'\'et\'e par
rapport \`a l'amplitude thermique au solstice d'hiver~?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

Int\'egrale curviligne~: d\'eterminez le centre de gravit\'e 
d'une boucle non centrale de la courbe de Lissajoux
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(5t)$$

TP3 exercice 6 ou {\bf Mod\`ele T/CO2})\\
On mod\'elise l'\'evolution de la temp\'erature
$T$ de la Terre par
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( 6 \ln (\frac{CO2}{280}) - \sigma (T^4-T_e^4) \right)\]
o\`u $T_e=288$\_K est la temp\'erature d'\'equiibre de la Terre et 
$CO2(t)$ la concentration en ppm de gaz carbonique, $k$ mod\'elise
la capacit\'e calorifique de la Terre ($k=0.0025$\_K/\_yr),
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 SI).
\begin{enumerate}
\item Si $CO2=280$ est constant, d\'eterminer la ou les solutions
stationnaires. Peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Lin\'eariser au voisinage des solutions stationnaires
et \'etudier la stabilit\'e des solutions du
lin\'earis\'e. D\'eterminer le temps caract\'eristique de retour \`a l'\'equilibre.
\item Si $CO2=400$ (taux actuel), d\'eterminez
les nouvelles solutions stationnaires, lin\'earisez au voisinage et
\'etudiez la stabilit\'e des solutions du lin\'earis\'e.
\item Si $CO2=400+2t$ (hausse de 2 ppm par an du CO2),
peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Calculer la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee pr\'ec\'edente,
comparer avec la solution num\'erique non lin\'earis\'ee.
\item La hausse de la temp\'erature provoque un d\'egazage de CO2 par
  l'oc\'ean. On a donc un syst\`eme coupl\'e
\[ \frac{dCO2}{dt}=2+\alpha (T-T_e)-\beta(CO2-280)\]
Comment peut-on \'etudier l'\'evolution d'un tel syst\`eme~?
\end{enumerate}

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(TP2, exercice 10) et  (TP3 exercice 6 ou {\bf Mod\`ele T/CO2})\\
On mod\'elise l'\'evolution de la temp\'erature
$T$ de la Terre par
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( 6 \ln (\frac{CO2}{280}) - \sigma (T^4-T_e^4) \right)\]
o\`u $T_e=288$\_K est la temp\'erature d'\'equiibre de la Terre et 
$CO2(t)$ la concentration en ppm de gaz carbonique, $k$ mod\'elise
la capacit\'e calorifique de la Terre ($k=0.0025$\_K/\_yr),
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 SI).
\begin{enumerate}
\item Si $CO2=280$ est constant, d\'eterminer la ou les solutions
stationnaires. Peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Lin\'eariser au voisinage des solutions stationnaires
et \'etudier la stabilit\'e des solutions du
lin\'earis\'e. D\'eterminer le temps caract\'eristique de retour \`a l'\'equilibre.
\item Si $CO2=400$ (taux actuel), d\'eterminez
les nouvelles solutions stationnaires, lin\'earisez au voisinage et
\'etudiez la stabilit\'e des solutions du lin\'earis\'e.
\item Si $CO2=400+2t$ (hausse de 2 ppm par an du CO2),
peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Calculer la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee pr\'ec\'edente,
comparer avec la solution num\'erique non lin\'earis\'ee.
\item La hausse de la temp\'erature provoque un d\'egazage de CO2 par
  l'oc\'ean. On a donc un syst\`eme coupl\'e
\[ \frac{dCO2}{dt}=2+\alpha (T-T_e)-\beta(CO2-280)\]
Comment peut-on \'etudier l'\'evolution d'un tel syst\`eme~?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

Int\'egrale curviligne~: d\'eterminez le centre de gravit\'e 
d'une boucle non centrale de la courbe de Lissajoux
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(5t)$$
 
TP3 exercice 5 ou 
{\bf Temp\'erature au cours d'une journ\'ee.}\\
On mod\'elise la temp\'erature $T(t)$ au cours d'une journ\'ee par la
solution d'une \'equation diff\'erentielle~:
\[ aT'=f(t), \quad f(t)= -0.02 T + \mbox{max}(0,c\cos(t)+d) \]
o\`u une journ\'ee de 24h correspond \`a $t$ variant de $2\pi$ et~:
\begin{itemize}
\item $a \approx 0.05$ mod\'elise l'inertie thermique (pour un climat
  oc\'eanique d\'egrad\'e), 
\item $f(t)$ tient compte des transferts de chaleur vers le reste de
  la Terre et vers l'espace 
%\footnote{Pour \^etre plus r\'ealiste, il faudrait ici tenir compte de la latitude et de la saison} 
(terme $-0.02 T$) 
auquel on ajoute pendant la journ\'ee le rayonnement direct du
Soleil (terme max qui vaut $c \cos(t)+d$ lorsqu'il est positif ce qui d\'efinit le
jour ou 0 la nuit).
\item $c \geq 0$ et $d$ d\'ependent de la saison et de la latitude du lieu
  consid\'er\'e. Ainsi, au pole $c=0$ ($d=0.4$ au solstice
  d'\'et\'e et $d=-0.4$ au solstice d'hiver), \`a l'\'equateur $d=0$
  ($c=0.92$ aux solstices, $c=1$ aux \'equinoxes),
et \`a la latitude de Grenoble on a $c=0.65$ aux solstices, ($d=0.28$ au solstice
d'\'et\'e, $d=-0.28$ au solstice d'hiver).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On se place au pole. D\'eterminer la solution de l'\'equation
  diff\'erentielle 
\[ aT' = -0.02 T + \mbox{max}(0,d) \]
au solstice d'\'et\'e ($d=0.4$) et au solstice d'hiver ($d=-0.4$), ainsi
que la limite de $T$ pour $t$ grand.
\item On se place \`a l'\'equateur \`a l'\'equinoxe. 
D\'eterminer (par exemple avec \verb|desolve|)
la solution de l'\'equation~:
\[ aT'= -0.02 T + \mbox{max}(0,\cos(t)) \]
la nuit ($t \in [-3\pi/2,-\pi/2]$) en fonction de $T_s=T(-3\pi/2)$
en d\'eduire la valeur de $T(-\pi/2)$, puis r\'esoudre l'\'equation
le jour ($t\in [-\pi/2,\pi/2]$), en d\'eduire $T(\pi/2)$. 
Peut-on trouver $T_s$ tel que $T$ soit p\'eriodique~? 
Pour $t$ grand, tend-on vers une solution p\'eriodique~?
Lorsque la solution est p\'eriodique, 
\`a quel moment de la journ\'ee la temp\'erature
maximale est-elle atteinte~? La temp\'erature minimale~?
\item On se place \`a la latitude de Grenoble. D\'eterminer
la p\'eriode de nuit et de jour aux solstices puis
la solution de l'\'equation la nuit, puis le jour. On suppose
qu'on choisit une valeur initiale de $T$ telle que la solution soit
p\'eriodique,
%(environ 22 en \'et\'e et 5 en hiver), 
observe-t-on le m\^eme
type de ph\'enom\`ene qu'\`a l'\'equateur~? Que peut-on
dire de l'amplitude thermique au solstice d'\'et\'e par
rapport \`a l'amplitude thermique au solstice d'hiver~?
\end{enumerate}

\pagebreak
\
\pagebreak

TP2 exercice 10 et (TP3 exercice 5 ou 
{\bf Temp\'erature au cours d'une journ\'ee.})\\
On mod\'elise la temp\'erature $T(t)$ au cours d'une journ\'ee par la
solution d'une \'equation diff\'erentielle~:
\[ aT'=f(t), \quad f(t)= -0.02 T + \mbox{max}(0,c\cos(t)+d) \]
o\`u une journ\'ee de 24h correspond \`a $t$ variant de $2\pi$ et~:
\begin{itemize}
\item $a \approx 0.05$ mod\'elise l'inertie thermique (pour un climat
  oc\'eanique d\'egrad\'e), 
\item $f(t)$ tient compte des transferts de chaleur vers le reste de
  la Terre et vers l'espace 
%\footnote{Pour \^etre plus r\'ealiste, il faudrait ici tenir compte de la latitude et de la saison} 
(terme $-0.02 T$) 
auquel on ajoute pendant la journ\'ee le rayonnement direct du
Soleil (terme max qui vaut $c \cos(t)+d$ lorsqu'il est positif ce qui d\'efinit le
jour ou 0 la nuit).
\item $c \geq 0$ et $d$ d\'ependent de la saison et de la latitude du lieu
  consid\'er\'e. Ainsi, au pole $c=0$ ($d=0.4$ au solstice
  d'\'et\'e et $d=-0.4$ au solstice d'hiver), \`a l'\'equateur $d=0$
  ($c=0.92$ aux solstices, $c=1$ aux \'equinoxes),
et \`a la latitude de Grenoble on a $c=0.65$ aux solstices, ($d=0.28$ au solstice
d'\'et\'e, $d=-0.28$ au solstice d'hiver).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On se place au pole. D\'eterminer la solution de l'\'equation
  diff\'erentielle 
\[ aT' = -0.02 T + \mbox{max}(0,d) \]
au solstice d'\'et\'e ($d=0.4$) et au solstice d'hiver ($d=-0.4$), ainsi
que la limite de $T$ pour $t$ grand.
\item On se place \`a l'\'equateur \`a l'\'equinoxe. 
D\'eterminer (par exemple avec \verb|desolve|)
la solution de l'\'equation~:
\[ aT'= -0.02 T + \mbox{max}(0,\cos(t)) \]
la nuit ($t \in [-3\pi/2,-\pi/2]$) en fonction de $T_s=T(-3\pi/2)$
en d\'eduire la valeur de $T(-\pi/2)$, puis r\'esoudre l'\'equation
le jour ($t\in [-\pi/2,\pi/2]$), en d\'eduire $T(\pi/2)$. 
Peut-on trouver $T_s$ tel que $T$ soit p\'eriodique~? 
Pour $t$ grand, tend-on vers une solution p\'eriodique~?
Lorsque la solution est p\'eriodique, 
\`a quel moment de la journ\'ee la temp\'erature
maximale est-elle atteinte~? La temp\'erature minimale~?
\item On se place \`a la latitude de Grenoble. D\'eterminer
la p\'eriode de nuit et de jour aux solstices puis
la solution de l'\'equation la nuit, puis le jour. On suppose
qu'on choisit une valeur initiale de $T$ telle que la solution soit
p\'eriodique,
%(environ 22 en \'et\'e et 5 en hiver), 
observe-t-on le m\^eme
type de ph\'enom\`ene qu'\`a l'\'equateur~? Que peut-on
dire de l'amplitude thermique au solstice d'\'et\'e par
rapport \`a l'amplitude thermique au solstice d'hiver~?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

Int\'egrale curviligne~: d\'eterminez le centre de gravit\'e 
d'une boucle non centrale de la courbe de Lissajoux
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(5t)$$

TP3 exercice 6 ou {\bf Mod\`ele T/CO2})\\
On mod\'elise l'\'evolution de la temp\'erature
$T$ de la Terre par
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( 6 \ln (\frac{CO2}{280}) - \sigma (T^4-T_e^4) \right)\]
o\`u $T_e=288$\_K est la temp\'erature d'\'equiibre de la Terre et 
$CO2(t)$ la concentration en ppm de gaz carbonique, $k$ mod\'elise
la capacit\'e calorifique de la Terre ($k=0.0025$\_K/\_yr),
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 SI).
\begin{enumerate}
\item Si $CO2=280$ est constant, d\'eterminer la ou les solutions
stationnaires. Peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Lin\'eariser au voisinage des solutions stationnaires
et \'etudier la stabilit\'e des solutions du
lin\'earis\'e. D\'eterminer le temps caract\'eristique de retour \`a l'\'equilibre.
\item Si $CO2=400$ (taux actuel), d\'eterminez
les nouvelles solutions stationnaires, lin\'earisez au voisinage et
\'etudiez la stabilit\'e des solutions du lin\'earis\'e.
\item Si $CO2=400+2t$ (hausse de 2 ppm par an du CO2),
peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Calculer la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee pr\'ec\'edente,
comparer avec la solution num\'erique non lin\'earis\'ee.
\item La hausse de la temp\'erature provoque un d\'egazage de CO2 par
  l'oc\'ean. On a donc un syst\`eme coupl\'e
\[ \frac{dCO2}{dt}=2+\alpha (T-T_e)-\beta(CO2-280)\]
Comment peut-on \'etudier l'\'evolution d'un tel syst\`eme~?
\end{enumerate}

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(TP2, exercice 10) et  (TP3 exercice 6 ou {\bf Mod\`ele T/CO2})\\
On mod\'elise l'\'evolution de la temp\'erature
$T$ de la Terre par
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( 6 \ln (\frac{CO2}{280}) - \sigma (T^4-T_e^4) \right)\]
o\`u $T_e=288$\_K est la temp\'erature d'\'equiibre de la Terre et 
$CO2(t)$ la concentration en ppm de gaz carbonique, $k$ mod\'elise
la capacit\'e calorifique de la Terre ($k=0.0025$\_K/\_yr),
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 SI).
\begin{enumerate}
\item Si $CO2=280$ est constant, d\'eterminer la ou les solutions
stationnaires. Peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Lin\'eariser au voisinage des solutions stationnaires
et \'etudier la stabilit\'e des solutions du
lin\'earis\'e. D\'eterminer le temps caract\'eristique de retour \`a l'\'equilibre.
\item Si $CO2=400$ (taux actuel), d\'eterminez
les nouvelles solutions stationnaires, lin\'earisez au voisinage et
\'etudiez la stabilit\'e des solutions du lin\'earis\'e.
\item Si $CO2=400+2t$ (hausse de 2 ppm par an du CO2),
peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Calculer la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee pr\'ec\'edente,
comparer avec la solution num\'erique non lin\'earis\'ee.
\item La hausse de la temp\'erature provoque un d\'egazage de CO2 par
  l'oc\'ean. On a donc un syst\`eme coupl\'e
\[ \frac{dCO2}{dt}=2+\alpha (T-T_e)-\beta(CO2-280)\]
Comment peut-on \'etudier l'\'evolution d'un tel syst\`eme~?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

Int\'egrale curviligne~: d\'eterminez le centre de gravit\'e 
d'une boucle non centrale de la courbe de Lissajoux
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(5t)$$
 
TP3 exercice 5 ou 
{\bf Temp\'erature au cours d'une journ\'ee.}\\
On mod\'elise la temp\'erature $T(t)$ au cours d'une journ\'ee par la
solution d'une \'equation diff\'erentielle~:
\[ aT'=f(t), \quad f(t)= -0.02 T + \mbox{max}(0,c\cos(t)+d) \]
o\`u une journ\'ee de 24h correspond \`a $t$ variant de $2\pi$ et~:
\begin{itemize}
\item $a \approx 0.05$ mod\'elise l'inertie thermique (pour un climat
  oc\'eanique d\'egrad\'e), 
\item $f(t)$ tient compte des transferts de chaleur vers le reste de
  la Terre et vers l'espace 
%\footnote{Pour \^etre plus r\'ealiste, il faudrait ici tenir compte de la latitude et de la saison} 
(terme $-0.02 T$) 
auquel on ajoute pendant la journ\'ee le rayonnement direct du
Soleil (terme max qui vaut $c \cos(t)+d$ lorsqu'il est positif ce qui d\'efinit le
jour ou 0 la nuit).
\item $c \geq 0$ et $d$ d\'ependent de la saison et de la latitude du lieu
  consid\'er\'e. Ainsi, au pole $c=0$ ($d=0.4$ au solstice
  d'\'et\'e et $d=-0.4$ au solstice d'hiver), \`a l'\'equateur $d=0$
  ($c=0.92$ aux solstices, $c=1$ aux \'equinoxes),
et \`a la latitude de Grenoble on a $c=0.65$ aux solstices, ($d=0.28$ au solstice
d'\'et\'e, $d=-0.28$ au solstice d'hiver).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On se place au pole. D\'eterminer la solution de l'\'equation
  diff\'erentielle 
\[ aT' = -0.02 T + \mbox{max}(0,d) \]
au solstice d'\'et\'e ($d=0.4$) et au solstice d'hiver ($d=-0.4$), ainsi
que la limite de $T$ pour $t$ grand.
\item On se place \`a l'\'equateur \`a l'\'equinoxe. 
D\'eterminer (par exemple avec \verb|desolve|)
la solution de l'\'equation~:
\[ aT'= -0.02 T + \mbox{max}(0,\cos(t)) \]
la nuit ($t \in [-3\pi/2,-\pi/2]$) en fonction de $T_s=T(-3\pi/2)$
en d\'eduire la valeur de $T(-\pi/2)$, puis r\'esoudre l'\'equation
le jour ($t\in [-\pi/2,\pi/2]$), en d\'eduire $T(\pi/2)$. 
Peut-on trouver $T_s$ tel que $T$ soit p\'eriodique~? 
Pour $t$ grand, tend-on vers une solution p\'eriodique~?
Lorsque la solution est p\'eriodique, 
\`a quel moment de la journ\'ee la temp\'erature
maximale est-elle atteinte~? La temp\'erature minimale~?
\item On se place \`a la latitude de Grenoble. D\'eterminer
la p\'eriode de nuit et de jour aux solstices puis
la solution de l'\'equation la nuit, puis le jour. On suppose
qu'on choisit une valeur initiale de $T$ telle que la solution soit
p\'eriodique,
%(environ 22 en \'et\'e et 5 en hiver), 
observe-t-on le m\^eme
type de ph\'enom\`ene qu'\`a l'\'equateur~? Que peut-on
dire de l'amplitude thermique au solstice d'\'et\'e par
rapport \`a l'amplitude thermique au solstice d'hiver~?
\end{enumerate}

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TP2 exercice 10 et (TP3 exercice 5 ou 
{\bf Temp\'erature au cours d'une journ\'ee.})\\
On mod\'elise la temp\'erature $T(t)$ au cours d'une journ\'ee par la
solution d'une \'equation diff\'erentielle~:
\[ aT'=f(t), \quad f(t)= -0.02 T + \mbox{max}(0,c\cos(t)+d) \]
o\`u une journ\'ee de 24h correspond \`a $t$ variant de $2\pi$ et~:
\begin{itemize}
\item $a \approx 0.05$ mod\'elise l'inertie thermique (pour un climat
  oc\'eanique d\'egrad\'e), 
\item $f(t)$ tient compte des transferts de chaleur vers le reste de
  la Terre et vers l'espace 
%\footnote{Pour \^etre plus r\'ealiste, il faudrait ici tenir compte de la latitude et de la saison} 
(terme $-0.02 T$) 
auquel on ajoute pendant la journ\'ee le rayonnement direct du
Soleil (terme max qui vaut $c \cos(t)+d$ lorsqu'il est positif ce qui d\'efinit le
jour ou 0 la nuit).
\item $c \geq 0$ et $d$ d\'ependent de la saison et de la latitude du lieu
  consid\'er\'e. Ainsi, au pole $c=0$ ($d=0.4$ au solstice
  d'\'et\'e et $d=-0.4$ au solstice d'hiver), \`a l'\'equateur $d=0$
  ($c=0.92$ aux solstices, $c=1$ aux \'equinoxes),
et \`a la latitude de Grenoble on a $c=0.65$ aux solstices, ($d=0.28$ au solstice
d'\'et\'e, $d=-0.28$ au solstice d'hiver).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On se place au pole. D\'eterminer la solution de l'\'equation
  diff\'erentielle 
\[ aT' = -0.02 T + \mbox{max}(0,d) \]
au solstice d'\'et\'e ($d=0.4$) et au solstice d'hiver ($d=-0.4$), ainsi
que la limite de $T$ pour $t$ grand.
\item On se place \`a l'\'equateur \`a l'\'equinoxe. 
D\'eterminer (par exemple avec \verb|desolve|)
la solution de l'\'equation~:
\[ aT'= -0.02 T + \mbox{max}(0,\cos(t)) \]
la nuit ($t \in [-3\pi/2,-\pi/2]$) en fonction de $T_s=T(-3\pi/2)$
en d\'eduire la valeur de $T(-\pi/2)$, puis r\'esoudre l'\'equation
le jour ($t\in [-\pi/2,\pi/2]$), en d\'eduire $T(\pi/2)$. 
Peut-on trouver $T_s$ tel que $T$ soit p\'eriodique~? 
Pour $t$ grand, tend-on vers une solution p\'eriodique~?
Lorsque la solution est p\'eriodique, 
\`a quel moment de la journ\'ee la temp\'erature
maximale est-elle atteinte~? La temp\'erature minimale~?
\item On se place \`a la latitude de Grenoble. D\'eterminer
la p\'eriode de nuit et de jour aux solstices puis
la solution de l'\'equation la nuit, puis le jour. On suppose
qu'on choisit une valeur initiale de $T$ telle que la solution soit
p\'eriodique,
%(environ 22 en \'et\'e et 5 en hiver), 
observe-t-on le m\^eme
type de ph\'enom\`ene qu'\`a l'\'equateur~? Que peut-on
dire de l'amplitude thermique au solstice d'\'et\'e par
rapport \`a l'amplitude thermique au solstice d'hiver~?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

Int\'egrale curviligne~: d\'eterminez le centre de gravit\'e 
d'une boucle non centrale de la courbe de Lissajoux
$$x(t)=\cos(t),\quad y(t)=\sin(5t)$$

TP3 exercice 6 ou {\bf Mod\`ele T/CO2})\\
On mod\'elise l'\'evolution de la temp\'erature
$T$ de la Terre par
\[ \frac{dT}{dt} = k \left( 6 \ln (\frac{CO2}{280}) - \sigma (T^4-T_e^4) \right)\]
o\`u $T_e=288$\_K est la temp\'erature d'\'equiibre de la Terre et 
$CO2(t)$ la concentration en ppm de gaz carbonique, $k$ mod\'elise
la capacit\'e calorifique de la Terre ($k=0.0025$\_K/\_yr),
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 SI).
\begin{enumerate}
\item Si $CO2=280$ est constant, d\'eterminer la ou les solutions
stationnaires. Peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Lin\'eariser au voisinage des solutions stationnaires
et \'etudier la stabilit\'e des solutions du
lin\'earis\'e. D\'eterminer le temps caract\'eristique de retour \`a l'\'equilibre.
\item Si $CO2=400$ (taux actuel), d\'eterminez
les nouvelles solutions stationnaires, lin\'earisez au voisinage et
\'etudiez la stabilit\'e des solutions du lin\'earis\'e.
\item Si $CO2=400+2t$ (hausse de 2 ppm par an du CO2),
peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation non lin\'earis\'ee~?
Calculer la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee pr\'ec\'edente,
comparer avec la solution num\'erique non lin\'earis\'ee.
\item La hausse de la temp\'erature provoque un d\'egazage de CO2 par
  l'oc\'ean. On a donc un syst\`eme coupl\'e
\[ \frac{dCO2}{dt}=2+\alpha (T-T_e)-\beta(CO2-280)\]
Comment peut-on \'etudier l'\'evolution d'un tel syst\`eme~?
\end{enumerate}

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\
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\end{document}

\item Si le syst\`eme lin\'eaire est non homog\`ene, 
il faut d\'eterminer une solution particuli\`ere. Lorsque
  le second membre a des coordonn\'ees produit d'exponentielles (complexes) par
  polyn\^ome, on peut chercher une solution particuli\`ere du m\^eme
  type avec des coefficients ind\'etermin\'es dans le polyn\^ome (en
  ajoutant 1 ou 2 au degr\'e si le coefficient de l'exponentielle est
valeur propre). \\Par exemple pour $Y'=AY+\left(\begin{array}{cc}
te^{-2t}  \\
e^{-3t}
\end{array}\right)$, on cherchera $Y(t)$ sous la forme 
$\left(\begin{array}{cc}
(at+b)e^{-2t} +ce^{-3t} \\
(dt+f)e^{-2t}+ge^{-3t}
\end{array}\right)$. Essayez avec une des matrices pr\'ec\'edentes.

(Bonus) Cr\'eer une animation graphique\\
Une animation graphique s'obtient en passant en argument \`a
\verb|animation| une suite d'images, qui
sont affich\'ees en s\'equence. Cette suite est souvent
obtenue par la m\^eme instruction graphique mais en fonction d'un
param\`etre, en utilisant l'instruction \verb|seq|. Par exemple\\
\verb|animation(seq(droite(y=a*x),a,1,20))|\\
va cr\'eer une s\'equence de 20 droites de pente $a$ variant
de 1 \`a 20 (de 1 en 1), et les animer.\\
Prenons la cycloide: on va tracer la famille de cercles de centre
$(t,1)$ et de rayon 1, pour $t=0..4\pi$\\
\verb|animation(seq(cercle(point(t,1),1),t,0,4*pi,4*pi/50))|\\
puis on rajoute un point fixe sur le cercle (affich\'e en rouge)
et la cyclo\"ide\\
\verb|animation(seq([cercle(point(t,1),1),|\\
\verb|point(t-sin(t),1-cos(t),affichage=rouge+epaisseur_point_3)],|\\
\verb|t,0,4*pi,4*pi/50));plotparam([t-sin(t),1-cos(t)],t=0..4*pi)| \\
Vous pouvez encore ajouter le rayon entre le centre du cercle et le
point rouge sur le cercle.

%\end{document}
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\end{document}