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\title{Mat 404 CC}
\date{11/03/2020}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat404 \hfill 2020}

\begin{center}
Contr\^ole continu du mercredi 11 mars, 7h30-9h30.\\
{\em Documents interdits \`a l'exception d'une feuille manuscrite A4
  recto-verso. Calculatrices autoris\'ees.\\ 
T\'el\'ephones portables, ordinateurs, ... interdits.\\
Ce sujet comporte 2 pages, le bar\^eme est indicatif et tiendra compte de la longueur du sujet.}
\end{center}

%\vspace{0.5cm}


\section*{Exercice 1 (4 pts)}
Soit $V$ l'espace vectoriel des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels de degr\'e au plus 2.
Soit $\varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ d\'efinie par
$$ \varphi(P,Q)=P(1)Q(0)-P(0)Q(1)$$
\begin{enumerate}
\item Comparer $\varphi(Q,P)$ et $\varphi(P,Q)$. Montrer que $\varphi$
  est une forme bilin\'eaire. Est-elle sym\'etrique~?
  Antisym\'etrique~?
\item D\'eterminer la matrice $M$ de $\varphi$ dans la base canonique
  $B=(1,X,X^2)$ de $V$.
\item Montrer que $B'=(X,X-1,(X-1)^2)$ est une base de $V$. 
\item
D\'eterminer dans l'ordre de votre choix la matrice $N$ de $\varphi$ dans
la base $B'$, la matrice de passage $P$ de la base $B$ vers la base $B'$ et la matrice $Q=^t\!\!\!P M P$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (8 points)}
On se place dans $V$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,2]$
dans $\IR$. On d\'efinit la forme $\phi: V \times V \rightarrow \IR$ par~:
$$ \phi(f,g)= \int_0^2 f(t) g(t) \ dt $$
\begin{enumerate}
\item Comparer $\phi(f,g)$ et $\phi(g,f)$. Montrer que $\phi$ est
  bilin\'eaire.
Est-elle sym\'etrique~? Antisym\'etrique~?
\item Soit $W$ le sous-espace vectoriel de $V$ engendr\'e
par les fonctions $f_0: t \rightarrow 1$, $ f_1: t \rightarrow t-1$, 
$f_2: t \rightarrow (t-1)^2$. Montrer que $B=(f_0,f_1,f_2)$
est une base de $W$.
\item V\'erifier que $f_1$ est $\phi$-orthogonale \`a $f_0$ et $f_2$.
\item Calculer la matrice $M$ de la forme $\phi$ restreinte \`a $W$ dans la base
  $B$.
\item D\'eterminer un r\'eel $c$ tel que $f_0$ soit $\phi$-orthogonal \`a
$f_2-cf_0$. En d\'eduire une base $B'$ de $W$ qui est $\phi$-orthogonale.
\item D\'eterminer la matrice de $\phi$ dans la base $B'$.
\item Soit $q$ la forme quadratique associ\'ee \`a $\phi$ (on a donc $q(f)=\phi(f,f)$ pour $f \in W$). 
Soit $a,b,c$ les coordonn\'ees de $f$ dans la base $B$.
%(donc $f=a f_0+bf_1+cf_2$). 
Exprimer $q$ en fonction de $a,b,c$.
\item R\'eduire par la m\'ethode de Gauss l'expression de $q$ en
  fonction de $a,b,c$.
\item En d\'eduire le rang, la signature de $q$ et une base $q$-orthogonale de $W$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (7 points)}
Soit $a\in\mathbb{R}$ un nombre réel et soit $M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ la matrice définie par
\begin{equation*}
M=\begin{pmatrix}
a & 0 &-1 \\
0 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & -a
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Donner la forme bilinéaire $\varphi$ dont la matrice dans la base canonique est $M$.
\item Calculer le noyau de la forme bilinéaire $\varphi$ et donner son rang.
%Calculer le déterminant de $M$. 
%En déduire l'orthogonal de $\mathbb{R}^3$ pour $\varphi$.
%En d\'eduire le noyau de $\varphi$.
\item Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ engendré par le vecteur $v=\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\2
\end{pmatrix}. $ Selon les valeurs du paramètre $a$, donner une base de l'orthogonal pour $\varphi$ de $F$.
\item Existe-t-il des valeurs de $a$ pour lesquelles $v \in F^\bot$~?
\item Donner la forme quadratique $q$ associée à la forme bilinéaire $\varphi$.
\item Par l'algorithme de Gauss, réduire la forme quadratique $q$ (on pourra distinguer les cas $a=0$ et $a\neq0$).
\item En déduire, selon les valeurs de $a$, la signature de $q$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 (5 points)}
Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. 
\begin{enumerate}
\item Soit $\varphi$ une forme bilinéaire sur $V$ telle que
  $\varphi(x,x)=0$ pour tout $x\in V$.\\
 Pour $x,y \in V$, développer $\varphi(x+y,x+y)$. \\
En déduire que $\varphi$ est antisymétrique (c'est à dire que l'on a $\varphi(y,x)=-\varphi(x,y)$ pour tout $(x,y)\in V^2$).
\item Dans la suite de l'exercice, on suppose que $\varphi$ vérifie  pour tous vecteurs
$x$ et $y$ de $V$
\begin{equation*}
\mbox{si } \varphi(x,y)=0 \mbox{ alors } \varphi(y,x)=0 \quad (\ast)
\end{equation*}
On suppose dans cette question qu'il existe $z_0\in V$ tel que $\varphi(z_0,z_0)\neq 0$.
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in V$. On pose $a=\varphi(z_0,x)$ et $b=\varphi(z_0,z_0)$. \\
 Montrer que $\varphi(z_0,bx-az_0)=0$. En déduire que $\varphi(z_0,x)=\varphi(x,z_0)$.
\item Soit $(x,y)\in V^2$. Montrer qu'il existe $d\in\mathbb{R}$ tel que $\varphi(z_0,dz_0+y)\neq 0$, puis qu'il existe $c\in\mathbb{R}$ tel que \\
$\varphi(cz_0+x,dz_0+y)=0$ (on ne demande pas de calculer $c$ et $d$). \\ Développer $\varphi(cz_0+x,dz_0+y)$ et $\varphi(dz_0+y,cz_0+x)$. En déduire que $\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$.
\end{enumerate}
\item En conclure que si $\varphi$ est une forme bilinéaire sur $V\times V$ vérifiant la condition $(\ast)$, alors $\varphi$ est soit antisymétrique, soit symétrique.
\end{enumerate}

\end{document}

\section*{Exercice}
Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie sur $\mathbb{R}^3$ par $q(x,y,z)=2x^2+8y^2+8xy+4xz$.
\begin{enumerate}
\item Donner la matrice de $q$ dans la base canonique.
\item R\'eduire la forme quadratique en appliquant l'algorithme de Gauss.
\item D\'eterminer la signature de $q$, ainsi que son rang. La forme
  $q$ est-elle un produit scalaire de $\mathbb{R}^3$ ?
\item Donner une base orthogonale pour $q$.
\item Existe-t-il une base de $\mathbb{R}^3$ orthonorm\'ee pour $q$ ? Si oui, en trouver une. 
\end{enumerate}
