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    \newcommand{\Euro}[1]{\text{\euros{\ensuremath{#1}}}}

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    \newboolean{nominatif}

    % commande Théo
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    \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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    % \DeclareMathOperator{\ker}{Ker}
    \DeclareMathOperator{\image}{Im}
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    % \setboolean{nominatif}{true} % Décommenter pour mettre un champs Nom:.......
    \newcommand{\titre}{Contrôle Continu 1}
    \newcommand{\classe}{}
    \setboolean{bcalculatrice}{true} % Décommenter si la calculatrice est autorisée.
    \newcommand{\calculatricetrue}{Calculatrice et feuille recto-verso manuscrite A4 autorisées}
    \newcommand{\calculatricefalse}{\textbf{Calculatrice non autorisée}}
    \newcommand{\Date}{11 mars 2021}
    \setboolean{affduree}{true}
    \newcommand{\duree}{Durée: $2$ heures}
    %\newcommand{\pourle}{à rendre le 07 janvier 2008}
    \newcommand{\etablissement}{Université Grenoble Alpes}
    \newcommand{\discipline}{MAT404}
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      %\lfoot{\scriptsize{Imprimé avec \LaTeXe}}
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    \begin{document}
    \noindent\begin{tabularx}{\textwidth}[t]{X>{\centering\arraybackslash}c>{\raggedleft\arraybackslash}X}
      \classe&{\large\titre}&\Date \\
      &&\\
      \ifthenelse{\boolean{nominatif}}{Nom:
        \makebox[0mm][l]{\makebox[50mm][l]{\dotfill}\;&}}{}%
      \ifthenelse{\boolean{affduree}}{\duree}{\pourle}&%
      \ifthenelse{\boolean{bcalculatrice}}{\calculatricetrue}{\calculatricefalse}
    \end{tabularx}
\begin{center}
\vspace{0.5cm}
\emph{Le bar\^eme est donn\'e \`a titre indicatif, il est susceptible  d'\^etre modifi\'e.\\
La précision, la concision et la clarté des raisonnements seront pris en compte dans l'évaluation}
\vspace{0.5cm}
% \emph{Toute ébauche de raisonnement, même inachevée, sera valorisée, n'hésitez donc pas à faire figurer vos idées.}\\
\end{center}

\begin{exercise}[Noyaux et images, 3 points]
Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$ une matrice $n\times n$ à coefficients réels. On notera $X=\begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^n$ les vecteurs de $\R^n$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application $f:X\in \mathbb{R}^n\longmapsto AX\in\R^n$ est linéaire. \`A quelle condition est elle inversible ? 

\item Déterminer le noyau et l'image de $f$ dans le cas où $n=3$ et $A=\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2
\end{pmatrix}$

\item Déterminer le noyau et l'image de $f$ dans le cas où $n=3$ et $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[Forme bilinéaire, 7 points]
  Soit $\R_1[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degrée au plus 1. Soient~$a,b$ deux réels, et~$\phi:\R_1[X]\times\R_1[X]\to\R$ définie par~$\phi(P,Q)=P'(a)Q(b)+P(b)Q(a)$ pour~$P,Q\in\R_1[X]$. 
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que~$\phi$ est bilinéaire.
    \item On fixe les bases~$\mathcal{B}_1=\{1,X\}$,~$\mathcal{B}_2=\{X-1,X+1\}$ de~$\R_1(X)$. Déterminer la matrice~$M_1=Mat_{\mathcal{B}_1}(\phi)$.
    \item Pour cette question, on fixe~$a=0$ et~$b=1$. Déterminer la matrice~$M_2=Mat_{\mathcal{B}_2}(\phi)$ et~$P$ la matrice de passage de~$\mathcal{B}_1$ vers~$\mathcal{B}_2$. Quelle formule permet de passer de~$M_1$ à $M_2$ ?
    \item Pour quelle valeur de~$a$ et $b$, l'application~$\phi$ est-elle symétrique ? 
    \item On fixe $a=1$ et $b=0$. Déterminer~$\ker(\phi)$ et déterminer~$\Vect(X)^\bot$ l'orthogonal pour~$\phi$ de $\Vect(X)$.
  \end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}[Forme quadratique, 3 points]
  Soit $q:\R^4\to\R$ la forme quadratique définie par $$q(x,y,z,t)=x^2-3y^2-t^2+3z^2+2xy-4yt$$.
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer l'unique application bilinéaire symétrique $\phi:\R^4\times\R^4\to\R$ telle que pour tout $u\in\R^4$ on ait $q(u)=\phi(u,u)$.
    \item D\'eterminer le rang de $q$ par la m\'ethode de votre choix. 
    %\item En utilisant la méthode de Gauss, écrire $q$ comme somme et différence de carrés.
    %\item En déduire la signature et le rang de $q$. 
  \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[Algèbre linéaire et Mécanique quantique, 9 points]
Soient $U$ et $V$ deux $\C$-espaces vectoriels, $f:U\longmapsto V$ une application linéaire.

\begin{enumerate}

\item \textit{Question de cours:} Rappeler les crit\`eres permettant de prouver qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel de $U$. Montrer que le noyau de $f$ est un sous espace vectoriel de $U$.



\item Soit $U=\mathcal{C}^\infty(\R^2,\C)$ l'espace vectoriel des fonctions $f$ indéfiniment dérivables de deux variables à valeurs dans $\mathbb{C}$ : 
$$f: \quad (x,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow f(x,t) \in \mathbb{C}$$
 
Montrer que l'application de dérivée partielle suivante est linéaire :
$\frac{\partial}{\partial x}: f\in U \rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}\in U$ 

\item En déduire que le Laplacien spatial $\Delta :
f\in U \rightarrow \Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\in U$ est linéaire sur $U$.

\item On se donne $h,m$ deux réels positifs. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que
  l'opérateur de Schrödinger $S$ d\'efini ci-dessous est linéaire sur
  $U$~: 
\[S=ih\frac{\partial}{\partial t}+\frac{h^2}{2m}\Delta\] 

\item Que peut-on dire de l'ensemble des solutions de $S(f)=0$ ? \footnote{En mécanique quantique, cette propriété est connue sous le nom de \textit{principe de superposition}. }


\item On cherche ces solutions sous la forme d'ondes planes. Pour l'opérateur de Schrödinger, les ondes planes représentent des particules libres, de quantité de mouvement $p\in\R$ et d'energie $E\in\R$,  \[f(x,t)=e^{\frac{i}{h}(Et-px)}\] 


Quelle relation doivent satisfaire $E, p$ et $m$ pour que $f$ donnée par la formule ci-dessus soit solution de \[-ih\frac{\partial}{\partial t}f=\frac{h^2}{2m}\Delta f\]

Commenter. 

\item %\textit{La suite de l'exercice est en bonus.} 
  
  Soient $E_1, E_2, E_3\in\R$ et $p_1, p_2, p_3\in\R$ des réels 2 à 2 distincts. On veut montrer que la famille d'ondes planes $((x,t)\mapsto e^{\frac{i}{h}(E_kt-p_kx)})_{k\in\{1,2,3\}}$ est libre dans $C^\infty(\mathbb{R}^2,\mathbb{C})$. Pour ce faire, on considère une combinaison linéaire d'ondes planes \[\sum_{i=1}^3\lambda_i e^{\frac{i}{h}(E_kt-p_kx)}=0\] nulle en tout temps $t\in \mathbb{R}$ et en tout point $x\in \mathbb{R}$.\\ 
 
Montrer que les coefficients  $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ satisfont le système: \[\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 1\\
 E_1 & E_2 & E_3\\
 E_1^{2} & E_2^2 & E_3^2
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
 \lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3
 \end{pmatrix}=0\]
 
 \textit{Indice: On pourra dériver successivement et évaluer en une paire $(x,t)$ bien choisie. }
 
 \item Notons $M(E_1,E_2,E_3)$ la matrice $3\times 3$ ci-dessus, elle est connue sous le nom de \textit{matrice de Vandermonde} de paramètres $E_1,E_2,E_3$. On veut montrer que celle ci est inversible, dès que les $E_i$ sont deux à deux distincts. Comment justifier qu'une matrice carrée est inversible à l'aide du déterminant ? 
 
%  \item Nous allons calculer ce déterminant en formant une relation de récurrence entre  $\det( M(E_1,\cdots,E_n))$ et $\det(M(E_1,\cdots E_{n-1}))$ en développant selon une colonne. Pour ce faire, effectuer l'opération suivante sur les lignes du système: \[\forall i\in\{1,\cdots,n\},\hspace{0,5cm}L_i\leftarrow L_i-E_iL_{i-1}\]
 
% Quelle matrice obtenez vous ? 

% \item A l'aide d'un développement, en déduire que \[\det(M(E_1,\cdots,E_n))=\det(M(E_1,\cdots,E_n))\prod_{i=2}^n(E_i-E_1)\]

% \textit{Indice: On rappelle que le déterminant $\det(M)$ est linéaire par rapport à chaque colonne de la matrice $M$, c'est-à-dire que $\det(C_1\vert\cdots \vert \alpha C_i\vert \cdots \vert C_n)=\alpha \det(C_1\vert\cdots \vert C_n)$}

\item Montrer que \[\det M(E_1,E_2,E_3)=\prod_{1\leq i<j\leq 3}(E_j-E_i)\]

\item En déduire que la famille des $((x,t)\mapsto e^{\frac{i}{h}(E_kt-p_kx)})_{k\in\{1,2,3\}}$ est libre.  


\end{enumerate}
\end{exercise}



 \end{document}
