\documentclass[10pt, english]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}

\usepackage{manfnt}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{pstricks}
%\usepackage{frcursive}

% Options possibles : 10pt, 11pt, 12pt (taille de la fonte)
%                     oneside, twoside (recto simple, recto-verso)
%                     draft, final (stade de d\'eveloppement)
%                     titlepage, notitlepage (\maketitle prend une page
%                                             \`a part ou non)

\usepackage[utf8]{inputenc}   % LaTeX, comprends les accents !
\usepackage[T1]{fontenc}      % Police contenant les caract\`eres fran\c{c}ais
\usepackage{geometry}         % D\'efinir les marges
\usepackage[francais]{babel}  % Placez ici une liste de langues, la
                              % derni\`ere \'etant la langue principale

%\pagestyle{headings}        % Pour mettre des ent\^etes avec les titres
%\usepackage{fourier}
%\usepackage[T1]{fontenc}                            % des sections en haut de page
\usepackage{pslatex}                          
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage[active]{srcltx}
\usepackage[all]{xy}         
\usepackage{hyperref}
\usepackage{vmargin}
\usepackage{fullpage}
\setmarginsrb{2cm}{2cm}{2cm}{2cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\IR}{\mathbb R}
\newcommand{\IC}{\mathbb C}
\newcommand{\IQ}{\mathbb Q}
\newcommand{\IZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\IN}{\mathbb N}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\BX}{\mathbf{B}(X)}

\newtheorem{meg}{Mise en garde}
\newtheorem{thm}{Th\'{e}or\`{e}me}[section]
\newtheorem*{thmbis}{Th\'{e}or\`{e}me}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
%\newtheorem{conj}[thm]{Conjecture}
\newtheorem{propr}[thm]{Propri\'{e}t\'{e}}
\newtheorem{question}[thm]{Question}
\newtheorem{questions}[thm]{Questions}
\newtheorem{philo}[thm]{Philosophie}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{propnot}[thm]{Proposition et notation}
\newtheorem{propnots}[thm]{Proposition et notations}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem*{sol}{Solution}
\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
%\newtheorem*{preuve}{Preuve}
\newtheorem*{convention}{Convention}
\newtheorem{defn}[thm]{D\'{e}finition}
\newtheorem{defns}[thm]{D\'{e}finitions}
\newtheorem{perspective}[thm]{Perspective}
\newtheorem{construction}[thm]{Construction}
\newtheorem{perspectives}[thm]{Perspectives}
\newtheorem*{hyp}{Hypoth\`ese}
\newtheorem*{hyps}{Hypoth\`eses}
\newtheorem*{but}{But}
\newtheorem{exemple}[thm]{Exemple}
\newtheorem{exemples}[thm]{Exemples}
\newtheorem{rappel}[thm]{Rappel}
\newtheorem{fact}[thm]{Fait}
\newtheorem{dfact}[thm]{Fait \`a d\'emontrer }
\newtheorem{reponse}[thm]{R\'eponse}
\newtheorem{notation}[thm]{Notation}
\newtheorem{notations}[thm]{Notations} 
\newtheorem{piste}[thm]{Piste}
\theoremstyle{remark}                           
\newcommand{\tcr}{\textcolor{red}}
\newcommand{\tcb}{\textcolor{blue}}
\newcommand{\card}{\text{card}\:}
\newcommand{\lb}{[\!}
\newcommand{\rb}{]\!}
\renewcommand{\card}{\text{Card}\:}
\renewcommand{\Im}{\text{Im}\:}
\pagestyle{plain}

\title{Mat 404 CC2 }
\date{26/03/2019}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat404 \hfill 2022}

\begin{center}
Examen du jeudi 19 mai, 8h30-10h30.\\
{\em Documents interdits \`a l'exception d'une feuille manuscrite A4
  recto-verso. Calculatrice autoris\'ee.\\ T\'el\'ephones portables, ordinateurs,
  ... interdits.\\
Ce sujet est compos\'e de 4 exercices (bar\^eme indicatif non
contractuel : 3, 7, 6, 4).}
\end{center}

%\vspace{0.5cm}

\section{Question de cours}
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ muni d'un produit
scalaire $\langle . | . \rangle$ et $B=(v_1,...,v_n)$ une base orthonormale
de $E$. \'Enoncer et justifier la formule donnant 
les coordonn\'ees d'un vecteur $w \in E$ dans la base
$B$ en fonction du produit scalaire.

\section{S\'erie de Fourier}
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $[-\pi,\pi]$ par 
$$ f(t)=t|t|$$
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la parit\'e de la fonction $f$. %0.5pt
\item D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $f$ sur
  $[-\pi,\pi]$. 
On pourra utiliser sans justification (bonus~: le justifier)~:
$$ \int_0^\pi x^2 \sin(nx) \ dx = 
-\frac{\left(-1\right)^{n} \pi ^{2}}{n}+\frac{2
  \left(-1\right)^{n}}{n^{3}}-\frac{2}{n^{3}}
$$
\item On consid\`ere le produit scalaire d\'efini sur 
l'espace vectoriel $C^0([-\pi,\pi],\mathbb{R})$ des  fonctions continues
de $[-\pi,\pi]$ \`a valeur r\'eelle par~:
$$ \langle  g|h \rangle=\int_{-\pi}^{\pi} g(t) h(t) dt$$
Quelle est la projection orthogonale de la fonction $f$
sur le sous-espace vectoriel engendr\'e par les fonctions 
1, cos et sin (o\`u 1 est la fonction constante \'egale \`a 1 et cos
et sin sont les fonctions cosinus et sinus)~?
\item En quels points de $[-\pi,\pi]$ la fonction $f$ est-elle \'egale
  \`a son d\'eveloppement en s\'erie de Fourier~? Justifier. % 1pt
\item En calculant $f(\pi/2)$ de deux mani\`eres
d\'eterminer une relation entre $\sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}$
et $\sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k}{2k+1}$. 
\item On admet que
$$ \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}$$
en d\'eduire la valeur de $\sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}$\\
V\'erifier la vraissemblance du r\'esultat en calculant
une valeur approch\'ee de $\sum_{k = 0}^{10} \frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}$
\`a l'aide de la calculatrice.
\end{enumerate}

\section{Forme quadratique}
Soit $\alpha \in \IR$. On consid\`ere l'application bilin\'eaire $\Phi
: \IR^4 \times \IR^4 \rightarrow \IR$ d\'efinie par la matrice suivante
$$
\left( \begin{matrix}
1 &2 &1 &0\\
2& 4+\alpha &2-2\alpha &\alpha \\
1&2-2\alpha&1+4\alpha & 2-2\alpha \\
0&\alpha& 2-2\alpha & \alpha
\end{matrix}\right).
$$
\begin{enumerate}
%\item Montrer que $\Phi$ est une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
\item Donner l'expression de la forme quadratique $q$ associ\'ee \`a $\Phi$.
\item En appliquant la réduction de Gauss, donner la signature et le
  rang de $\Phi$ en fonction de $\alpha$ (on pourra distinguer 
le cas $\alpha=0$ et $\alpha \neq 0$).
Pour quelles valeurs de $\alpha$ s'agit-il d'un produit scalaire~?
\item Donner une base $\Phi$-orthogonale de $\IR^4$.
\end{enumerate}

\section{Matrice de sym\'etrie}
Soit $\phi$ l'application lin\'eaire de $\IR^3$ dans lui-m\^eme
de matrice dans la base canonique
$$
A=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc} 1 &-4&8\\
-4&7&4\\
8&4&1\end{array}\right] $$
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que 1 et -1 sont valeurs propres de $A$
\item D\'eterminer une base orthonormale de vecteurs propres de $\phi$
\item {\em Bonus}~: Montrer que $\phi$ est une sym\'etrie orthogonale par
rapport \`a un plan que l'on d\'eterminera.
\end{enumerate}

% \section{Exercice}
% Soit $f$ l'application de $\IR[X]\times \IR[X]$ dans $\IR[X]$ d\'efinie par
% $$
% \forall P,Q\in \IR[X],\ f(P,Q) = P(0)Q'(1) + P'(1)Q(0) + P'(0)Q'(0).
% $$
% \begin{enumerate}
% \item Montrer que $f$ est une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
% \item Soit $F = \{ P \in \IR[X];\ P(0) + P(1) = 0 \}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\IR[X]$.
% \item On se restreint \`a $\IR_2[X]$, on pourra donc \'ecrire les \'el\'ements de cet espace vectoriel sous la forme $a+bX+cX^2$, avec $a,b,c\in \IR$. Quelle est la dimension de $F$ dans $\IR_2[X]$~? (on explicitera une base en la justifiant).
% \item Calculer la matrice de $f$ dans la base canonique de $\IR_2[X]$.
% \item Calculer $F^\perp = \{P\in \IR_2[X]; \ \forall Q\in F,\ f(P,Q)=0\}$.
% \end{enumerate}

\end{document}

\section{Exercice}
\begin{enumerate}
\item Soit $x \in \IR$. D\'eterminer la nature de la s\'erie 
$$ \sum_{n \geq 0} \frac{\cos(nx)}{n^2}$$
Indication~: comparer la valeur absolue du terme g\'en\'eral avec
$1/n^2$.
\item Pour $x\in \IR$, on pose 
$$S_N(x)= \sum_{n =0}^N \frac{\cos(nx)}{n^2}$$
D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'eries de Fourier de $S_N$ sur $[-\pi,\pi]$.
\item Pour $x\in \IR$, on pose 
$$f(x)= \sum_{n =0}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^2}$$
Conjecturer le d\'eveloppement en s\'eries  de Fourier de $f$ sur $[-\pi,\pi]$.
\end{enumerate}

 
On consid\`ere dans $\IR^4$ muni du produit scalaire canonique
le vecteur $u(1,2,1,0)$, le sous-espace vectoriel $W$ d'\'equation
$x+y+z-t=0$ et le vecteur $n(1,1,1,-1)$.
On note $W^\perp $ l'orthogonal de $W$ pour le produit scalaire
canonique et on rappelle que $W \oplus W^\perp=\IR^4$.
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que $n \in W^\perp$. En d\'eduire une base
  orthonormale de  $W^\perp$ 
\item Soit $p$ la projection orthogonale sur $W^\perp$.
D\'eterminer $p(u)$.
\item Soit $v \in \IR^4$, montrer que $v-p(v) $ est le projet\'e
orthogonal de $v$ sur $W$.
\item D\'eterminer la distance de $u$ \`a $W$.
\end{enumerate}
