%%%%%% le 16 avril 2015%%%%%%%%%%%%


\documentclass[french,9pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage[dvipsnames,svgnames]{xcolor}

%TCIDATA{OutputFilter=Latex.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2960}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%TCIDATA{LastRevised=Saturday, April 29, 2017 08:23:14}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}

\pagestyle{fancy}
\topmargin 0 cm
\textheight 24cm
\textwidth 16cm
\oddsidemargin 0 cm
\evensidemargin 0 cm
\font\bbfnt=msbm10
\font\bbfnt=msbm10
\parindent 0cm
\def\CC{\hbox{\bbfnt\char'103}}
\def\bbN{\hbox{\bbfnt\char'116}}
\def\bbD{\hbox{\bbfnt\char'104}}
\def\bbR{\hbox{\bbfnt\char'122}}
\def\bbZ{\hbox{\bbfnt\char'132}}
\def\bbQ{\hbox{\bbfnt\char'121}}
\def\ds{\displaystyle\sum}
\def\dl{\displaystyle\lim}
\def\df{\displaystyle\frac}
\def\mb{\mathbf}
\def\di{\displaystyle\int}
\pagestyle{empty}



\begin{document}


\vspace{-3cm}\textbf{\large MAT404} \hspace{1cm} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{Universit%
\'{e} Grenoble Alpes}\hspace{1cm} \hfill \textbf{Le 16 mai 2017}

\begin{center}
\medskip \textsf{Dur\'ee~: 2 heures}

\smallskip {\scriptsize \textsf{Seule une feuille \underline{manuscrite}
recto-verso de format A4 est autoris\'ee.}}

\vspace{0.5cm} \textbf{\large Formes quadratiques, Analyse de Fourier}
\end{center}

\medskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 1}}~:

\begin{enumerate}
\item Soit $V$ un espace vectoriel r\'eel de dimension finie. Soient $B_1$
et $B_2$ deux bases de $V$. Soit $u$ un vecteur de $V$. Soient $U_1$ et $U_2$
les vecteurs colonnes des coordonn\'ees de $u$ dans les bases $B_1$ et $B_2$.

\begin{enumerate}
\item Donner le lien entre $U_1$, $U_2$ et $P$ la matrice de passage de $%
B_1$ vers $B_2$.

\item On suppose $\dim V=3$, {$P\;=\;\left(%
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 1 \\ 
0 & 1 & -1%
\end{array}%
\right)$}. Trouver les coordonn\'ees de $U_2$ en fonction de celles de $%
U_1 $.
\end{enumerate}

\item Rappeler la d\'efinition d'une matrice orthogonale.

\item Soient $\phi:\hbox{\bbfnt\char'122}^2\,\times \hbox{\bbfnt\char'122}%
^2\,\rightarrow \hbox{\bbfnt\char'122}\,$ une forme bilin\'eaire sym\'etrique, $%
B_1=\{e_1,e_2\}$ et $B_2=\{f_1,f_2\}$ deux bases de $\hbox{\bbfnt\char'122}%
^2\,$. Soit $P$ la matrice de passage de $B_1$ vers $B_2$.

\begin{enumerate}
\item Rappeler la d\'efinition de la matrice $M_1$ de $\phi$ dans la base $%
B_1$. On note de m\^eme $M_2$ la matrice de $\phi$ dans la base $B_2$.

\item Donner la formule reliant $M_1$ et $M_2$.

\item Soient $u$ et $v$ deux vecteurs de $\hbox{\bbfnt\char'122}^2\,$ dont
les  vecteurs colonnes de coordonn\'ees dans $B_1$ sont $U$ et $V$. Donner $\phi(u,v)$ en fonction
de $M_1$, $U$, $V$.
\item Sous quelle(s) condition(s) sur $M_2$ la base $B_2$ est elle $\phi$%
-orthogonale ? $\phi$-orthonorm\'ee ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0.6cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 2}}~:

Soit $\phi $ la forme bilin\'{e}aire sym\'etrique $\phi :\hbox{\bbfnt\char'122}%
^{2}\,\times \hbox{\bbfnt\char'122}^{2}\,\rightarrow \hbox{\bbfnt\char'122}%
\, $ dont la forme quadratique associ\'ee, \'{e}crite dans la base canonique
est {$q\left( 
\begin{array}{r}
x_{1} \\ 
x_{2}%
\end{array}%
\right) \;=x^{2}_{1}-4x_{1}x_{2}+6x^{2}_{2}$}

\begin{enumerate}
\item Donner la matrice de $\phi $ dans la base canonique ainsi que
l'expression de {$\phi \left( \left( 
\begin{array}{r}
x_{1} \\ 
x_{2}%
\end{array}%
\right) ,\left( 
\begin{array}{r}
y_{1} \\ 
y_{2}%
\end{array}%
\right) \right) $}

\item Utiliser l'algorithme de Gauss pour r\'{e}duire $q\left( 
\begin{array}{r}
x_{1} \\ 
x_{2}%
\end{array}%
\right) $ \`{a} une somme de carr\'{e}s. En d\'{e}duire la signature de $q$.
La forme $\phi $ est elle un produit scalaire (c'est \`a dire d\'efinie
positive) ?

\item En utilisant la question pr\'ec\'edente trouver une base $B$ qui soit $%
\phi$-orthogonale.

\item En appliquant le proc\'ed\'e de Gram-Schmidt, orthonormaliser cette
base pour le produit scalaire usuel. La base obtenue est elle aussi $\phi$%
-orthogonale ?
\end{enumerate}

\smallskip

\hfill{\footnotesize \textsl{Tournez s.v.p.}}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\[
\]

\vspace{-3cm}

\vspace{1cm}

\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 3}}~:

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la s\'{e}rie $\left( \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\left(
-1\right) \allowbreak ^{k}}{k^{2}}\right) $ est convergente.

\item Montrer que la s\'{e}rie $\left( \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{4}}%
\right) $ est convergente.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer :%
\[
\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{2}dx 
\]

\item Par une double int\'{e}gration par partie, calculer pour $k$ entier, $%
k>0$ :%
\[
\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos (kx)dx 
\]
\end{enumerate}

\item En d\'{e}duire les coefficients de Fourier trigonom\'{e}triques $%
a_{0}(f)$, $a_{k}(f)$ et $b_{k}(f)$ pour $k>0$ de la fonction f d\'{e}finie
sur $[-\pi ,\pi ]$ par $f(x)=x^{2}$.

\item Utiliser le th\'{e}or\`{e}me de Dirichlet et montrer que, pour tout  $x\in \left] -\pi ,\pi \right[ $ :%
\[
x^{2}=\frac{\pi ^{2}}{3}+4\sum_{k=1}^{+\infty }\frac{\left( -1\right)
\allowbreak ^{k}}{k^{2}}\cos \left( kx\right) 
\]%
(on \'{e}noncera toutes les hypoth\`{e}ses n\'{e}cessaires).

\item D\'{e}duire de la question 4., \'{e}valu\'{e}e en $x=0$, la valeur de $%
\sum\limits_{k=1}^{\infty }\frac{\left( -1\right) \allowbreak ^{k}}{k^{2}}$.

\item A l'aide de l'identit\'{e} de Parseval, calculer $\sum_{k=1}^{+\infty }%
\frac{1}{k^{4}}$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 4}}~:

\bigskip

On consid\`{e}re l'espace vectoriel $V=C^{0}\left( \left[ -\pi ,\pi \right] ,%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) $ muni du produit scalaire :%
\[
\left\langle f,g\right\rangle =\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) g\left(
x\right) dx 
\]%
et un sous espace de $V$, $W=Vect\left\{ 1,\sin x\right\} $.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left\{ 1,\sin x\right\} $ est une base orthogonale de $W$. Par
une normalisation de chacun de ces vecteurs, en d\'{e}duire une base
orthonorm\'{e}e $\left\{ f_{1},f_{2}\right\} $ de $W$. On rappelle $\sin
^{2}x=\frac{1-\cos \left( 2x\right) }{2}$.

\item Rappeler la formule g\'{e}n\'{e}rale de la projection orthogonale d'un
vecteur $f\in V$ sur $W$. (on utilisera la base $\left\{ f_{1},f_{2}\right\} 
$).

\item Si $f$ est impaire, simplifier la formule obtenue en $2$.

\item Si $f$ est paire, simplifier la formule obtenue en $2$.

\item D\'{e}duire des questions 3. et 4. les projections orthogonales des
fonctions $f\left( x\right) =x$ et $g\left( x\right) =x^{2}$ sur $W$. Trouver la projection orthogonale
de la fonction $f+g$ sur $W$.

\item En utilisant la distance d\'{e}finie par le produit scalaire $%
\left\langle ,\right\rangle $, quelle erreur est commise en approximant $g$
par sa projection orthogonale sur $W$ ?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{1cm}

\end{document}
