%%%%%% le 16 avril 2015%%%%%%%%%%%%


\documentclass[french,9pt]{article}
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\begin{document}


\vspace{-3cm}\textbf{\large MAT404} \hspace{1cm} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{Universit%
\'{e} Grenoble Alpes}\hspace{1cm} \hfill \textbf{Le 24 mai 2018}

\begin{center}
\medskip \textsf{Dur\'ee~: 2 heures}

\smallskip {\scriptsize \textsf{Seule une feuille \underline{manuscrite}
recto-verso de format A4 est autoris\'ee.}}

\vspace{0.5cm} \textbf{\large Formes quadratiques, Analyse de Fourier}
\end{center}

\medskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 1}}~:

\begin{enumerate}
\item Soit $V$ un espace vectoriel r\'eel de dimension finie. Soient $B_1$
et $B_2$ deux bases de $V$ et $P$ la matrice de passage de $%
B_1$ vers $B_2$. 

\begin{enumerate}
\item Soit $u$ un vecteur de $V$. Soient $U_1$ et $U_2$
les vecteurs colonnes des coordonn\'ees de $u$ dans les bases $B_1$ et $B_2$. Donner le lien entre $U_1$, $U_2$ et $P$. 

\item Soit $\phi:V\,\times V\rightarrow \hbox{\bbfnt\char'122}\,$ une forme bilin\'eaire. On note $M_1$ la matrice de $\phi$ dans la base $%
B_1$ et $M_2$ la matrice de $\phi$ dans la base $B_2$. Donner la formule reliant $M_1$ et $M_2$.

\item Comparer le rang de $M_1$ et celui de $M_2$.
\end{enumerate}

\item Rappeler la d\'efinition d'un produit scalaire sur un espace vectoriel r\'eel $V$ (on d\'efinira chaque terme pr\'ecis\'ement).
\item Soit $\phi:\hbox{\bbfnt\char'122}^2\,\times \hbox{\bbfnt\char'122}%
^2\,\rightarrow \hbox{\bbfnt\char'122}\,$ une forme bilin\'eaire sym\'etrique.

\begin{enumerate}
	\item Rappeler la d\'efinition de la forme quadratique associ\'ee, $q:\hbox{\bbfnt\char'122}^2\,\rightarrow \hbox{\bbfnt\char'122}\,$.
	
	\item Montrer la relation $\phi(x,y)=\frac{1}{2} \left( q(x+y)-q(x)-q(y) \right)$.
	

	\item Soit $M$ la matrice de $\phi$ dans une base $B$ de $\hbox{\bbfnt\char'122}^2$.  Sous quelle(s) condition(s) sur $M$ la base $B$ est elle $\phi$%
	-orthogonale ? $\phi$-orthonorm\'ee ?
	\item A quelles conditions sur la signature et sur le rang, la forme $\phi$ est elle un produit scalaire ?
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\vspace{0.6cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 2}}~:

\bigskip
Soit $\phi $ la forme bilin\'{e}aire sym\'etrique $\phi :\hbox{\bbfnt\char'122}%
^{2}\,\times \hbox{\bbfnt\char'122}^{2}\,\rightarrow \hbox{\bbfnt\char'122}%
\, $ dont la forme quadratique associ\'ee, \'{e}crite dans la base canonique
est {$q\left( 
\begin{array}{r}
x_{1} \\ 
x_{2}%
\end{array}%
\right) =x^{2}_{1}+4x_{1}x_{2}+3x^{2}_{2}\ $}.
\begin{enumerate}
\item Donner $M$, la matrice de $\phi $ dans la base canonique ainsi que
l'expression de {$\phi \left( \left( 
\begin{array}{r}
x_{1} \\ 
x_{2}%
\end{array}%
\right) ,\left( 
\begin{array}{r}
y_{1} \\ 
y_{2}%
\end{array}%
\right) \right) $}.

\item Utiliser l'algorithme de Gauss pour r\'{e}duire $q\left( 
\begin{array}{r}
x_{1} \\ 
x_{2}%
\end{array}%
\right) $ \`{a} une somme de carr\'{e}s. En d\'{e}duire la signature de $q$.
La forme $\phi $ est elle un produit scalaire ? Existe-t-il une base $\phi $ orthonorm\'ee ?

\item En utilisant la question pr\'ec\'edente trouver une base $B$ qui soit $%
\phi$-orthogonale.

\item En appliquant le proc\'ed\'e de Gram-Schmidt, orthonormaliser cette
base pour le produit scalaire usuel. La base obtenue est elle aussi $\phi$%
-orthogonale ?
\end{enumerate}

\smallskip

\hfill{\footnotesize \textsl{Tournez s.v.p.}}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\[
\]

\vspace{-3cm}

\vspace{1cm}

\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 3}}~:

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la s\'{e}rie $\left( \sum\limits_{k\geq 1}\frac{1}{k^{2}}\right) $ est convergente.

\item La s\'{e}rie $\left( \sum\limits_{l\geq 0}\frac{\left(
	-1\right) \allowbreak ^{l}}{2l+1}\right) $ est elle absolument convergente ?
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}

\item Par une int\'{e}gration par partie, calculer pour $k$ entier, $%
k>0$ :%
\[
\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x\sin (kx)dx 
\]
\end{enumerate}

\item En d\'{e}duire les coefficients de Fourier trigonom\'{e}triques $%
a_{0}(f)$, $a_{k}(f)$ et $b_{k}(f)$ pour $k>0$ de la fonction f d\'{e}finie
sur $[-\pi ,\pi ]$ par $f(x)=x$.



\item Utiliser le th\'{e}or\`{e}me de Dirichlet et montrer que, pour tout  $x\in \left] -\pi ,\pi \right[ $ :%
\[
x=2\sum_{k=1}^{+\infty }\frac{\left( -1\right)
\allowbreak ^{k+1}}{k}\sin \left( kx\right) 
\]%
(on \'{e}noncera et v\'erifiera toutes les hypoth\`{e}ses n\'{e}cessaires).

\item
\begin{enumerate}
	
\item	Calculer $\sin \left( k\frac{\pi}{2 }\right)$ pour $k=2l$ et pour $k=2l+1$.

\item D\'{e}duire de la question 4. \'{e}valu\'{e}e en $x=\frac{\pi}{2 }$, et de la question 5.(a), que la s\'erie $\left( \sum\limits_{l \geq 0}\frac{\left(
	-1\right) \allowbreak ^{l}}{2l+1}\right) $ converge et calculer la valeur de $\sum\limits_{l=0}^{+\infty}\frac{\left(
	-1\right) \allowbreak ^{l}}{2l+1}$.
\end{enumerate}


\item A l'aide de l'identit\'{e} de Parseval, calculer $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{2}}$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 4}}~:

\bigskip

On consid\`{e}re l'espace vectoriel $V=C^{0}\left( \left[ -1 ,1 \right] ,%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) $ muni du produit scalaire :%
\[
\left\langle f,g\right\rangle =\int_{-1 }^{1 }f\left( x\right) g\left(
x\right) dx 
\]%
et un sous espace de $V$, $W=Vect\left\{ 1,x\right\} $.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left\{ 1,x\right\} $ est une base orthogonale de $W$. Par
une normalisation de chacun des vecteurs de cette base, en d\'{e}duire une base
orthonorm\'{e}e $\left\{ f_{1},f_{2}\right\} $ de $W$.

\item Rappeler la formule g\'en\'erale de la projection orthogonale d'un
vecteur $f\in V$ sur $W$. (on utilisera la base $\left\{ f_{1},f_{2}\right\} 
$).

\item Si $f$ est paire, simplifier la formule obtenue en $2$.

\item Si $f$ est impaire, simplifier la formule obtenue en $2$.

\item D\'{e}duire des questions 3. et 4. les projections orthogonales des
fonctions $f\left( x\right) =x^{2}$ et $g\left( x\right) =x^{3}$ sur $W$. Trouver la projection orthogonale
de la fonction $f+g$ sur $W$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{1cm}

\end{document}
