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\title{Mat 404 CC2 }
\date{26/03/2019}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat404 \hfill 2021}

\begin{center}
Examen du ?? juin, 13h30-15h30.\\
{\em Documents interdits \`a l'exception d'une feuille manuscrite A4
  recto-verso. Calculatrice autoris\'ee.\\ T\'el\'ephones portables, ordinateurs,
  ... interdits.\\
Ce sujet est compos\'e de 4 exercices (bar\^eme indicatif non
contractuel : 5, 4, 5, 6).}
\end{center}

%\vspace{0.5cm}

\section*{Exercice 1}
Soit $A$ la matrice
$$ 
A=\left[\begin{array}{ccc}3&1&\sqrt{2}\\1&3&-\sqrt{2}\\\sqrt{2}&-\sqrt{2}&2\end{array}\right]
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on peut diagonaliser $A$ dans une base orthonormale de
  $\mathbb{R}^3$ puis diagonaliser $A$ dans une base orthonormale de
  $\mathbb{R}^3$ (indication~: on pourra v\'erifier que 4 est valeur
  propre de $A$).
\item Soit $\phi$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique de matrice $A$
  dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$.
Est-ce un produit scalaire~?
\item D\'eterminer une base de $\mathbb{R}^3$ 
simultan\'ement orthogonale pour le produit scalaire usuel
et pour $\phi$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}


\section*{Exercice 3}
On consid\`ere l'ensemble  $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ des matrice r\'elle $2\times 2$. 
Soit $q$ l'application de  $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ d\'efinie par
$$
q(A)=\mathrm{tr}(A^2)+\det(A).
$$
(la trace $\mathrm{tr}(B)$ de la matrice $B$ est la somme des \'el\'ements diagonaux de $B$).
\begin{enumerate}
\item On pose $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ avec $a,b,c,d\in \mathbb{R}$. Calculer $q(A)$.
%\item Montrer que $q$ est une forme quadratique sur $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
\item En appliquant la m\'ethode de Gauss, d\'ecomposer $q(A)$ en
  sommes et diff\'erences de carr\'es.% lin\'eairement ind\'ependants.
\item Donner le rang et la signature de $q$. Soit $\phi$ la forme
  billin\'eaire associ\'ee \`a $q$. 
Est-ce que $\phi$ est un produit scalaire~?
\item  
Donner une base $\mathcal B$ qui soit $\phi-$orthogonale. 
Est ce que $\mathcal B$ peut \^etre choisie $\phi-$orthonormale~?
\end{enumerate}


\section*{Exercice 4}
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $[-\pi,\pi]$ par
$$ f(x)=e^x-e^{-x}$$
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la parit\'e de la fonction $f$. %0.5pt
\item D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $f$ sur
  $[-\pi,\pi]$. Aide aux calculs~: on pourra utiliser sans justification~:
$$ \int e^x \sin(nx) \ dx=
e^{x} \left(\frac{\sin \left(n x\right)}{n^{2}+1}-\frac{n \cos \left(n
      x\right)}{n^{2}+1}\right)$$
puis y faire le changement de variable $x=-t$.
% 2.5pt
\item En quels points de $[-\pi,\pi]$ la fonction $f$ est-elle \'egale
  \`a son d\'eveloppement en s\'erie de Fourier~? Justifier. % 1pt
\item Montrer que l'identit\'e de Parseval s'applique,
  d\'eterminer la valeur de
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{(1+n^2)^2} $$
% -pi*(4*pi*exp(pi)^2-exp(pi)^4+1)/(4*(exp(pi)-1)^2*(exp(pi)+1)^2)
% 2pt
\end{enumerate}








\end{document}