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{\vspace{.5cm}\textbf{Exercice \addtocounter{exercice}{1}
\arabic{exercice}.} }
\setcounter {exercice}{0}
\begin{document}

\noindent \textbf{MAT404-TD1  \hfill Alg\`ebre lin\'eaire \hfill UGA}

\exercice $\diamond$
Pour chaque espace vectoriel $V$, dire si oui ou non la famille
$F$ d'\'el\'ements de $V$ est une base de $V$. 

\[(1)V=\R^3, F=\left\{\left(\begin{matrix}{1}\\{-1}\\{-1}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{1}\\{0}\\{1}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{2}\\{2}\\{6}\end{matrix}\right)\right\}.\mbox{ }\mbox{ }
(2) V=\R^3, F=\left\{\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\\{0}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{1}\\{0}\\{1}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{0}\\{1}\\{1}\end{matrix}\right)\right\}.\]
\[(3) V\subset
\C^3,
V=\left\{\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}| x+y+z=0\right\},\mbox{ }\mbox{ } 
F=\{\begin{pmatrix}i\\-i\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\} .\]

\[(4) V=\R_2[X], \mbox{ }\mbox{ }F=\{X^2-3X+1, X^2+3X-4, 2X^2-3\}.\]

\[(5) V= \R_2[X],\mbox{ }\mbox{ }F=\{ (X-1)^2, (X-1), 1\}.\] 

Lorsque F est bien une base, donner les coordonn\'ees du
vecteur $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ (pour 1,2 et 3) ou du
polyn\^ome $a+bX+cX^2$ (pour 4 et 5) par rapport \`a F.

\exercice $\diamond$
Pour chaque espace vectoriel $V$, dire si oui ou non la partie
$W\subset V$ est un sous-espace vectoriel.
\begin{enumerate}
\item $V=\R^3$, $W=
\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\R^3|x+y-z=0\right\}$.
\item $V=\C^3$, $W=
\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\C^3|x+y-iz=2+3i\right\}$.
\item $V=\mathcal{C}^2([0,1], \R)$,  $W=
\{f\in \mathcal{C}^2([0,1], \R)|f''+f'=0\}$.
\item $V=\R_3[X]$, $W=\{P\in \R_3[X]| (P(3))^2=P(2)\}$.
\end{enumerate}
Lorsque $W$ est bien un sous-espace vectoriel, donner une base de $W$ et
calculer les coordonn\'ees d'un \'el\'ement arbitraire de $W$ dans cette base.

\exercice $\diamond$
Pour quelles valeurs de $k$ le syst{\`e}me\\
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
kx+(1+i)y=1  \\
(1+i)x+ky=1  \\
\end{array}
\right.\]
\halign{#&#\cr
         admet-il$\ $ & a) aucune solution~?\hfill\cr
         &b) une solution unique~?\hfill\cr
         &c) une infinit{\'e} de solutions~?\hfill\cr}
\vskip20pt

\exercice $\diamond$
Calculer le noyau et l'image de chaque matrice.
\[\left(\begin{matrix}{-2}&{1}&{1}\\{1}&{-2}&{1}\\{1}&{1}&{-2}
\end{matrix}\right),\mbox{ }\mbox{ }
\left(\begin{matrix}{1}&{-1}&{1}\\{-1}&{1}&{-1}\\{1}&{-1}&{1}
\end{matrix}\right).\]

\exercice $\diamond$
D\'eterminer si les matrices suivantes sont inversibles, et si oui, 
calculer leur inverse.
$$
\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, 
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, 
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}.
$$

\exercice
D\'emontrer que les \'equations de la chaleur et des ondes sont bien 
des \'equations lin\'eaires.

\exercice
Soit $f: V\rightarrow V'$ une application lin\'eaire entre deux espaces vectoriel. D\'emontrer
que ${\rm Ker}(f)$ et ${\rm Im} (f)$ sont des sous-espaces vectoriels de $V$ et $V'$.

\exercice $\diamond$
Pour chaque application, indiquer
 si oui ou non elle
est lin\'eaire. Si oui, en donner le noyau et
l'image.
\begin{enumerate}
\item L'application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ donn\'ee par 
$f\left(\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}\right)
=\left(\begin{matrix}{x+y}\\{y-z}\\{z+1}\end{matrix}\right)$.
\item  L'application de $\mathbb{C}^3$ dans $\mathbb{C}^3$ donn\'ee par 
$f\left(\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}\right)
=\left(\begin{matrix}{ix-iy}\\{-iy-z}\\{ix+z}\end{matrix}\right)$.
\item La fonction $\phi$ qui envoie $C^\infty([0,1],\mathbb{C})$
 sur lui-m\^eme donn\'ee par   
\[\phi(f)=f'-2f\]
Nous rappelons que  $C^\infty([0,1],\mathbb{C})$ est l'espace de
fonctions sur l'intervalle $[0,1]$ \`a valeurs dans $\C$ qui sont
d\'erivables \`a tous ordres. 
\item La fonction $\phi:\R_3[X]\rightarrow \R_4[X]$ donn\'ee par
  $\phi(P)=P'-XP$. 
\item La fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ donn\'ee par
  projection sur l'axe des $x$.
\item La fonction de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ donn\'ee par
rotation d'un angle $\theta$ autour de l'origine.
\end{enumerate}

\exercice
Montrer que les trois fonctions suivantes forment une famille li\'ee
dans l'espace $C^0(\R;\C)$ des fonctions continues de $\R$ dans $\C$ : 
$$x\mapsto e^{ix} \quad,\quad x\mapsto\sin(x) \quad,\quad
x\mapsto e^{-ix}.$$ 
Donner la dimension de ${\rm Vect}(e^{ix}, \sin(x), e^{-ix})$.

\exercice * Soit $n$ r\'eels distincts $\alpha_1,\dots,\alpha_n$. 
Montrer que la famille de fonctions $(e^{\alpha_1x},\dots,e^{\alpha_nx})$ 
est libre dans l'espace vectoriel $C^0(\R;\R)$. 

\exercice Soit $n\in\N$ et $P_0,\dots,P_n$ des polyn\^omes de $\C[X]$ 
tels que pour chaque $i$, le degr\'e de $P_i$ soit $i$. Montrer que la 
famille $(P_0,\dots,P_n)$ est une base de $\C_n[X]$.

\exercice
On se place dans le $\C$-espace vectoriel $\C_3[X]$ des fonctions
polyn\^omes de degr\'e au plus 3.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'ensemble des fonctions
qui s'annulent en 1 est un sous-espace vectoriel de $\C_3[X]$. Prouver
que ce dernier est de dimension 3 et en pr\'eciser une base. 
\item L'ensemble des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a
  $2$ est-il un sous-espace vectoriel de $\R_3[X]$? Qu'en est-il de
  l'ensemble des polyn\^omes de degr\'e \'egal \`a $2$?  
\end{enumerate}

\exercice $\diamond$
\begin{enumerate}
\item 
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
$\theta''+\omega^2\theta=0$. 
Montrer que l'ensemble des fonctions du $\C$-espace
vectoriel 
$C^2(\R;\C)$ solutions de cette \'equation forme un sous-espace
vectoriel de $C^2(\R;\C)$. En donner une base et la dimension. 
\item On  consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
$\theta''+\omega^2\sin{\theta}=0$. Est-ce que 
l'ensemble des fonctions du $\R$-espace
vectoriel 
$C^2(\R;\R)$ solutions de cette \'equation forme un sous-espace
vectoriel de $C^2(\R;\R)$? 
\end{enumerate}

\exercice 

Nous consid\'erons $\mathbb{C}$ en tant que 
$\mathbb{R}$-espace vectoriel. Quelle est sa dimension? En pr\'eciser
une base.


\exercice $\diamond$

On considère $\cP$ l'ensemble des polynômes sur $\RR$, de degré
inférieur ou égal à 2. 
Un polynôme $P$ de $\cP$ sera noté $P(X)=a+bX+cX^2$.
Nous admettrons que $\cP$ est un espace vectoriel sur $\RR$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la dimension de $\cP$? En donner une base.
\item On considère les sous-ensembles de $\cP$ suivants :
\begin{enumerate}
  \item $W_0=\{P\in\cP/ P(0)=3\}$, 
\item $W_1=\{P\in\cP/\mbox{ P n'a pas de racine
    réelle}\}$ et 
\item $W_2=\{P\in\cP/ a=0\}$.
\end{enumerate} 
Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de $\cP$ ? Pour ceux qui
sont des sous-espaces vectoriels, en donner une base et donner le
vecteur des coordonn\'ees d'un polyn\^ome $P$ arbitraire
dans cette base.

\item De même, on considère les applications de $\cP$ dans $\RR$
  suivantes : 
\begin{enumerate}
\item $f_0(P)=P(3)$, 
\item $f_1(P)=d$ ($d\in\R$), 
\item $f_2(P)=P'(1)$,
  \item Si $P(X)=a_P+b_PX+c_PX^2$, on pose
  $f_3(P)=a_P\cdot a+b_P\cdot b+c_P\cdot c$ ($(a,b,c)\in\R^3$),
\item $f_5(P)=(a_P+b_P+c_P)^2$. 
\end{enumerate}
Lesquelles sont des applications linéaires ?
\end{enumerate}
\end{document}
