\documentclass[11pt,a4paper]{article}



\usepackage[francais]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}

\usepackage{latexsym}

\usepackage{amsthm}

\usepackage{amsmath,amssymb,amssymb,epsf,graphics,amsmath}

\usepackage{amsfonts}

\usepackage{showkeys}



\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\newcommand{\Cm}{\mathbb{C}}

\newcommand{\Cp}{\mathbb{C}_p}

\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}

\newcommand{\Qp}{\mathbb{Q}_p}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\newcommand{\Rm}{\mathbb{R}}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p}

\newcommand{\Ocal}{\mathcal{O}}

\newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}}

\newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}}

\newcommand{\Ucal}{\mathcal{U}}

\newcommand{\Mcal}{\mathcal{M}}

\newcommand{\parin}{\par\noindent}

\newcommand{\ola}[1]{\overleftarrow{#1}}

\newcommand{\ora}[1]{\overrightarrow{#1}}

\newcommand{\tY}{\tilde{Y}}

\newcommand{\tZ}{\tilde{Z}}

\newcommand{\tPhi}{\tilde{\Phi}}

\newcommand{\tG}{\tilde{\Gamma } }  

\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}   

 

\def\cA{{\cal A}}  \def\cG{{\cal G}} \def\cM{{\cal M}} \def\cS{{\cal S}}  

\def\cB{{\cal B}}  \def\cH{{\cal H}} \def\cN{{\cal N}} \def\cT{{\cal T}}  

\def\cC{{\cal C}}  \def\cI{{\cal I}} \def\cO{{\cal O}} \def\cU{{\cal U}}  

\def\cD{{\cal D}}  \def\cJ{{\cal J}} \def\cP{{\cal P}} \def\cV{{\cal V}}  

\def\cE{{\cal E}}  \def\cK{{\cal K}} \def\cQ{{\cal Q}} \def\cW{{\cal W}}  

\def\cF{{\cal F}}  \def\cL{{\cal L}} \def\cR{{\cal R}} \def\cX{{\cal X}}  

\def\cY{{\cal Y}}  \def\cZ{{\cal Z}} 

 

\def\degre{{\rm deg}} 



\def\co{{\em (Co)}}

\def\ta{{\em (Ta)}}

\def\tr{{\em (Tr)}}

\def\tco{${\tilde{\mbox{{\em (Co)}}}}$}

\def\tta{$\tilde{\mbox{{\em (Ta)}}}$}

\def\ttr{$\tilde{\mbox{{\em (Tr)}}}$}



\def\AA{{\mathbb A}} \def\BB{{\mathbb B}} \def\CC{{\mathbb C}} \def\DD{{\mathbb D}} 

\def\EE{{\mathbb E}} \def\FF{{\mathbb F}} \def\GG{{\mathbb G}} \def\HH{{\mathbb H}} 

\def\II{{\mathbb I}} \def\JJ{{\mathbb J}} \def\KK{{\mathbb K}} \def\LL{{\mathbb L}} 

\def\MM{{\mathbb M}} \def\NN{{\mathbb N}} \def\OO{{\mathbb O}} \def\PP{{\mathbb P}} 

\def\QQ{{\mathbb Q}} \def\RR{{\mathbb R}} \def\SS{{\mathbb S}} \def\TT{{\mathbb T}} 

\def\UU{{\mathbb U}} \def\VV{{\mathbb V}} \def\WW{{\mathbb W}} \def\XX{{\mathbb X}}  

\def\YY{{\mathbb Y}} \def\ZZ{{\mathbb Z}} 

 

\renewcommand{\Re}[1]{\mathrm{Re(#1)} }

\renewcommand{\Im}[1]{\mathrm{Im(#1)} }    



\addtolength{\textheight}{2cm}

\addtolength{\textwidth}{2cm}

\addtolength{\voffset}{-2cm}

\addtolength{\hoffset}{-2cm}

\newcounter{exercice}
\newcommand{\exercice }
{\vspace{0.1cm}\noindent \textbf{Exercice \addtocounter{exercice}{1}
\arabic{exercice}.} }


\setcounter{exercice}{0}

\begin{document}



\noindent Mat404-TD2 \hfill Formes bilin\'eaires et bases orthogonales. \hfill UGA

%\vspace{.1cm}

\exercice $\diamond$
Les fonctions suivantes sont-elles des formes bilin\'eaires ? 
Sont elles sym\'etriques ?
\begin{enumerate}
\item $\phi:\R^2\times \R^2\rightarrow \R,\quad 
\phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} \right)=x_1y_2+x_2y_2$.
% \medskip
% \item $\phi:\C^2\times \C^2\rightarrow \C,\quad 
% \phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} \right)=ix_1y_2+ix_2x_1$.
\item $\phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \R,\quad 
\phi(P,Q)=2P'(1)P(0)+Q'(1)Q(0)$.
\item $\phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \R,\quad 
\phi(P,Q)=2P'(1)Q(0)+Q'(1)P(0)$.
\item $\phi : \mathcal{C}([0,1], \R)\times \mathcal{C}([0,1],\R)\rightarrow \R,\quad \displaystyle \phi(f,g)=\int_0^1f(x)g(1-x)dx.$
\end{enumerate}


\exercice $\diamond$
Pour chacune des formes bilin\'eaires suivantes, calculer sa matrice
$M_1$ dans la base $\mathcal{B}_1$ et sa matrice $M_2$ dans la base
$\mathcal{B}_2$. 
Calculer $P$, la matrice de passage de $\mathcal{B}_1$ vers
$\mathcal{B}_2$, 
et v\'erifier que $M_2= {^t}P M_1 P$. La forme bilin\'eaire $\phi$ est elle sym\'etrique ?
\begin{enumerate}
\item $\phi:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$
\[\phi(\left(\begin{matrix}{x_1}\\{x_2}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{y_1}\\{y_2}\end{matrix}\right))=x_1y_2+3y_1x_2\quad,\quad
\mathcal{B}_1=\left\{\left(\begin{matrix}{1}\\{0}\end{matrix}\right), 
\left(\begin{matrix}{0}\\{1}\end{matrix}\right)\right\},
\mathcal{B}_2=\left\{\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\end{matrix}\right), 
\left(\begin{matrix}{1}\\{2}\end{matrix}\right)\right\}.\]
\item  $\phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \mathbb{R}$
\[\phi(P,Q)= P(1)Q(-1)\quad,\quad
\mathcal{B}_1=\{1,X,X^2\}, \mathcal{B}_2=\{1, (X-1), (X^2-3X+2)\}.\]
\item  $\phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \mathbb{R}$
\[\phi(P,Q)= \int_0^1P(x)Q(1-x)dx\quad,\quad
\mathcal{B}_1=\{1,X,X^2\}, \mathcal{B}_2=\{1, (X-1), X^2-X\}.\]
\end{enumerate} 

 

\exercice
\begin{enumerate}
\item Soit $\Psi$ une forme bilin\'eaire d\'efinie sur $V\times V$ o\`u $V$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $A$ une matrice repr\'esentant $\Psi$ dans une base $\mathcal{B}$ fix\'ee. Montrer que l'application \[\Phi:E\times E \rightarrow \R\] d\'efinie par $\Phi(u,v)=\Psi(v,u)$ est une forme bilin\'eaire et pr\'eciser, en fonction de $A$, sa matrice dans la base $\mathcal{B}$. Montrer que $\Psi$ est sym\'etrique (resp. antisym\'etrique) si et seulement si $A$ l'est. 

\item D\'emontrer que toute matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ s'\'ecrit comme somme de la matrice sym\'etrique $\frac{1}{2}(M+{^t}M)$ et de la matrice antisym\'etrique $\frac{1}{2}(M-{^t}M)$. D\'emontrer que c'est l'unique fa\c con d'\'ecrire $M$ comme une somme d'une matrice sym\'etrique et une matrice anti-sym\'etrique. 

\item Montrer que toute forme bilin\'eaire $\Delta:E\times E  \rightarrow \R$ s'\'ecrit de fa\c con unique comme la somme de deux formes bilin\'eaires, l'une sym\'etrique, l'autre antisym\'etrique, que l'on pr\'ecisera.   

\end{enumerate}

\exercice (*)
Pour chaque forme bilin\'eaire $\phi$, sur l'espace vectoriel $V$ donner son rang (sauf pour le 4) et calculer
son noyau. Trouver l'orthogonal pour $\phi$ du sous-espace $W$ (sauf
pour le 4)).

\begin{enumerate}
\item $V=\R^3, \ \phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\right)=x_1y_1+x_2y_1+x_1y_2,
\quad W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in \R^3|\ x+y+z=0
\right\}$
\item $V=\mathbb{R}^3, \ \phi:
  \left(
\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}
\right)= x_1y_1+2x_2y_2, \quad
W= \left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\ 0 \end{pmatrix}|x,y\in \R\right\}$
\item $V=\mathbb{R}^3, \ \phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\right)= x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+2x_2y_2,
\quad W= \left\{ \begin{pmatrix} x\\0\\ z\end{pmatrix}|x,z\in \R\right\}$
\item $V= C^0([0,1], \R), \ \phi(f,g)= \int_0^1 f(x)g(x) dx$%, \quad W= {\rm Vect}(\sin(x), \cos(x))$.
\end{enumerate}

\exercice
Soient $A$ et $B$ des matrices $n\times n$. Montrer l'implication suivante:\[ \forall X, Y\in \mathbb{R}^n, \ {^t}XAY={^t}XBY\quad \Rightarrow \ A=B.\]
\exercice
Soit $V$ un espace vectoriel, et $\phi$ une forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie sur $V$.

\begin{enumerate}
\item V\'erifier que si $q_\phi$ est la forme quadratique associ\'ee \`a la forme $\phi$  alors on a la relation
\[\phi(x,y)=\frac{1}{4}(q_\phi(x+y)-q_\phi(x-y)).\]

\item
En d\'eduire que si $q_\phi(u)=q_\phi(v)$, 
alors $(u+v)$ et $(u-v)$ sont orthogonaux pour la forme bilin\'eaire $\phi$. 

\item Interpr\'eter ce r\'esultat quand $V=\R^3$ et $\phi$ est le produit scalaire canonique sur $\R^3$.

\end{enumerate}

\exercice 
V\'erifier que si $V$ est un espace vectoriel et $q_\phi$ est la forme quadratique associ\'ee \`a la forme bilin\'eaire sym\'etrique $\phi$ sur $V\times V$ alors on a les r\'elations
\[\phi(x,y)= \frac{1}{2}( q_\phi(x+y)-q_\phi(x)-q_\phi(y)).\]
et
\[ q_\phi(x)+q_\phi(y)= \frac{1}{2}(q_\phi(x+y)+q_\phi(x-y)).\] 

\exercice $\diamond$
Pour chaque forme quadratique $q$ sur $\R^3$, donner
la forme polaire $\phi$ associ\'ee 
et la matrice de $\phi$ dans la base canonique de $\R^3$.
\begin{enumerate}
\item $q\left( x,y,z \right) = x^2+2y^2+ 3z^2$ 
\item $q\left( x,y,z \right) = 2xy +4xz+6yz$ 
\item $q\left( x,y,z \right) = x^2+y^2+z^2+xy+yz$ 
\item $q\left( x,y,z \right) = x^2+y^2+z^2+2xy+4yz$
\end{enumerate}

%\exercice
%Soit $q_\phi$ une forme quadratique sur $\mathbb{R}^2$ associ\'ee \`a une forme bilin\'eaire sym\'etrique $\phi$. 
%On suppose que le rang de $\phi$ est $2$ et qu'il existe $e_1\in \mathbb{R}^2$ non nul tel que $q_\phi(e_1)=0$. 

%\begin{enumerate}
%\item Montrer qu'il existe un vecteur $e_2\in \mathbb{R}^2$ pour lequel $q_\phi(e_2)=0$ et tel que $(e_1, e_2)$ forme une base de $\mathbb{R}^2$.

%\item Montrer qu'il existe une base $v_1, v_2$ de $\mathbb{R}^2$ telle que l'on a  $q_\phi(x_1v_1+x_2v_2)=2x_1x_2$ pour tout $x_1,x_2\in\R$. Quelle est la forme bilin\'eaire sym\'etrique
%associ\'ee? Donner sa matrice par rapport \`a la base $(v_1, v_2)$.

%\item Montrer que la forme quadratique d\'efinie sur $\R^2$ par $q_\phi(x,y)=x^2-y^2 $ satisfait les hypoth\`eses de l'\'enonc\'e et s'en servir pour illustrer les constructions pr\'ec\'edentes. 

%\end{enumerate}



\exercice (*)  (version simplifi\'ee de la forme de Minkowski)\\
Sur $\R^2$, on consid\`ere la forme bilin\'eaire 
\[ M : \R^2\times \R^2\rightarrow \R, \; M\left(
\begin{pmatrix}x_1\\ y_1\end{pmatrix}, 
\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\end{pmatrix}\right)\mapsto x_1x_2- y_1y_2. \]
\begin{enumerate}
\item Donner la matrice $N$ de $M$ dans la base canonique de $\R^2$. 

\item Soit $P=\begin{pmatrix}a&b\\d&e\end{pmatrix}$ une matrice telle que 
$M(P\underline{V}, P\underline{W})= M(\underline{V},\underline{W})$ pour tous 
$\underline{V}, \underline{W}$ dans $\R^2$. On suppose pour simplifier 
que $a,e>0$.\\ 
Montrer que
$M(P\underline{V}, P\underline{W})= M(\underline{V},\underline{W})$ pour tout 
$\underline{V}, \underline{W}$ si et seulement si 
\[a^2-d^2= 1,\ b^2-e^2= -1 \textrm{ et }ab= de.\]

\item En d\'eduire que $a=e$.

\item Montrer que si $\beta= \sqrt{a^2-1}$ alors $ b=d=\pm\beta$.

\item Ecrire $P$ en fonction de $b$. Que constate-t-on ? (On pourra faire une 
substitution $b={\rm sinh}(\alpha)$. )

\end{enumerate}

\exercice 
Soit $M=\left(\begin{matrix}{a}&{b}\\{b}&{d}\end{matrix}\right)\in
\mathcal{M}_2(\R)$. 
Montrer que les assertions suivantes sont \'equivalentes :
\begin{itemize}

\item[(i)] pour tout $X\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\},{^t}XMX>0$.

\item[(ii)] $a>0$ et $ad-b^2>0$.

\end{itemize}



\exercice On pose $A=\left(\begin{matrix}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{matrix}\right)$. 
\begin{enumerate}
\item Trouver une base de $\mathbb{R}^2$  qui est orthogonale pour la forme bilin\'eaire donn\'ee par la matrice $A$ dans la base canonique de $\R^2$.
\item En d\'eduire une base orthonorm\'ee pour cette m\^eme forme.
\item Quel est le rang de $A$ ?
\end{enumerate}


\exercice (*)
Soit $V$ l'espace vectoriel des matrices r\'eelles $2\times 2$. 
\begin{enumerate}

\item Soit $\phi$ la forme bilin\'eaire d\'efinie, pour tout $(A,B)\in V\times V$, par \[\phi(A,B)={\rm Tr}({^t}A B).\] 

\begin{enumerate}
\item D\'eterminer sa matrice par rapport \`a la base canonique de $V$. 
\item D\'emontrer qu'elle est sym\'etrique et donner son rang. 
\item Trouver  une base $\phi$-orthonormale pour $\mathcal{M}_2(\R)$.
\end{enumerate}
\item Soit $D$ la forme quadratique d\'efinie, pour tout $A\in V$, par $D(A)={\rm Det}(A)$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer la forme bilin\'eaire sym\'etrique associ\'ee \`a $D$. 
\item Donner son rang et sa matrice dans la base canonique de $\mathcal{M}_2(\R)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice (*) Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{\R})$ on consid\`ere la forme 
$\tau(A,B)={\rm Tr}(AB)$
o\`u ${\rm Tr}$ est la trace d'une matrice. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\tau$ est une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
\item Montrer que pour toute matrice carr\'ee $A\neq 0$ il existe $B$ telle que $\tau(A,B)\neq 0$. (On pourra calculer
$\tau({^t}AA)$).
\end{enumerate}



\exercice $\diamond$
Pour chaque forme quadratique $q$
\begin{itemize}
\item 
Appliquer la r\'eduction de Gauss \`a $q$ pour l'\'ecrire comme combinaison 
lin\'eaires de carr\'es de formes lin\'eaires ind\'ependantes.
\item D\'eduire la signature et le rang de $q$.
  La forme bilin\'eaire associ\'ee \`a $q$ est elle un produit scalaire ?
\item Donner une base $q$-orthogonale pour $\R^n$.
Lorsque cela est possible, donner une base $q$-orthonorm\'ee de $\R^n$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item $q(x,y)=x^2+xy+3y^2$,
\item $q(x,y)=x^2-5xy-y^2 $,
\item $q(x,y)=xy$,
\item $q(x,y,z)=x^2-2y^2+xz+yz $,
\item $q(x,y,z)=xy-yz$,
\item $q(x,y,z)=3x^2+y^2+2xy-3xz$.
\item $q(x,y,z)=a(x^2-z^2)+2y^2-2xz$ (discuter selon la valeur de $a \in \mathbb{R}$)
\end{enumerate}

\exercice $\diamond$
Soit $\mathbb{R}_2[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^omes de degré inférieur
ou égal à deux, on considère sur $\mathbb{R}_2[X]$ la forme quadratique qui à
un polyn\^ome associe son discriminant : 
$$\begin{matrix}\Delta\colon \mathbb{R}_2[X]\to \mathbb{R} \\
P(X)=aX^2+bX+c\mapsto \Delta(P)=b^2-4ac\end{matrix}$$

\begin{enumerate}
\item Donner la forme bilin\'eaire sym\'etrique $\varphi$ associée à $\Delta$.
\item Donner la matrice de la forme polaire $\varphi$ dans la base
  $\cF_0=\{1,X,X^2\}$. 
\item Montrer que pour tout polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ de $\mathbb{R}_2[X]$, on peut écrire : 
$$\Delta(P)=b^2+(a-c)^2-(a+c)^2.$$
\item Montrer que la famille de vecteurs $\cF_1=(\frac 1 2 (X^2-1),X,\frac 1 2 (X^2+1))$ est une base de $\RR_2[X]$. 
\item Donner la matrice de passage de la base $\cF_0$ à la base $\cF_1$.
%\item Donner les coordonnées du polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ dans la  base $\cF_1$. 
\item Donner la matrice de la forme $\varphi$ dans la base $\cF_1$.
\item Exprimer $\Delta(P)$ en fonction des coordonnées de $P$ dans la base $\cF_1$. 
\item Donner le rang et la signature de $\varphi$.
\end{enumerate}

\exercice (CC 2020)
On se place dans $V$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,2]$
dans $\R$. On d\'efinit la forme $\phi: V \times V \rightarrow \R$ par
$ \phi(f,g)= \int_0^2 f(t) g(t) \ dt $
\begin{enumerate}
\item Comparer $\phi(f,g)$ et $\phi(g,f)$. Montrer que $\phi$ est
  bilin\'eaire.
Est-elle sym\'etrique~? Antisym\'etrique~?
\item Soit $W$ le sous-espace vectoriel de $V$ engendr\'e
par les fonctions $f_0: t \rightarrow 1$, $ f_1: t \rightarrow t-1$, 
$f_2: t \rightarrow (t-1)^2$. Montrer que $B=(f_0,f_1,f_2)$
est une base de $W$.
\item V\'erifier que $f_1$ est $\phi$-orthogonale \`a $f_0$ et $f_2$.
\item Calculer la matrice $M$ de la forme $\phi$ restreinte \`a $W$ dans la base
  $B$.
\item D\'eterminer un r\'eel $c$ tel que $f_0$ soit $\phi$-orthogonal \`a
$f_2-cf_0$. En d\'eduire une base $B'$ de $W$ qui est $\phi$-orthogonale.
\item D\'eterminer la matrice de $\phi$ dans la base $B'$.
\item Soit $q$ la forme quadratique associ\'ee \`a $\phi$ (on a donc $q(f)=\phi(f,f)$ pour $f \in W$). 
Soit $a,b,c$ les coordonn\'ees de $f$ dans la base $B$.
%(donc $f=a f_0+bf_1+cf_2$). 
Exprimer $q$ en fonction de $a,b,c$.
\item R\'eduire par la m\'ethode de Gauss l'expression de $q$ en
  fonction de $a,b,c$.
\item En d\'eduire le rang, la signature de $q$ et une base $q$-orthogonale de $W$. 
\end{enumerate}


\end{document}
\pagebreak

\exercice
Sur l'espace vectoriel des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels, on
consid\`ere la forme
$$ \phi(P,Q)=\int_{-1}^1 P(t) Q(t) \ dt $$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\phi$ est un produit scalaire
\item Montrer que pour tout $n>0$, il existe une unique base
orthonorm\'ee de l'ensemble des polyn\^omes de degr\'e 
inf\'erieur ou \'egal \`a $n$ constitu\'ee de polyn\^omes
$(P_0,...,P_n)$ avec degr\'e$(P_i)=i$ et coefficient dominant de $P_i$
strictement positif. D\'eterminer cette base pour $n=2$.
\item Montrer que $P_n$ a $n$ racines r\'eelles simples $x_1,...,x_n$
dans l'intervalle $[-1,1]$ (indication~: raisonner par l'absurde)
\item Montrer qu'il existe des r\'eels $c_k$ tels que pour tout
polyn\^ome $P$ de degr\'e au plus $n-1$
$$ \int_{-1}^1 P(t) \ dt = \sum_{k=1}^n c_k P(x_k)$$
Montrer que cette propri\'et\'e est encore vraie si le degr\'e de
$P$ est au plus $2n-1$ (indication~: on pourra faire la division euclidienne
de $P$ par $P_n$).
\end{enumerate}

\exercice
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
$$ ((1-x^2)y')'=Ey \quad (*) $$
\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire de l'ensemble des solutions de (*)~?
\item Pour quelles valeurs de $E$ cette \'equation admet-elle une
solution polynomiale de degr\'e $n$~? D\'eterminer dans
ce cas l'ensemble des solutions de (*)
\item Soit $T$ l'op\'erateur d\'efini sur les fonctions de classe
  $C^2$ par
$$ T(y)=((1-x^2)y')'$$
Interpr\'eter les solutions de la question pr\'ec\'edente en termes
de valeurs propres et vecteurs propres de $T$.
\item Montrer que deux solutions polynomes de (*) pour deux valeurs 
distinctes de $E$ sont orthogonales pour le produit scalaire
$$ \phi(P,Q)=\int_{-1}^1 P(t) Q(t) \ dt $$
(indication~: on pourra montrer que $T$ est sym\'etrique par
rapport au produit scalaire $\phi$)
\end{enumerate}


%\exercice



% On se donne les deux formes quadratiques suivantes :

%\begin{enumerate}

%\item sur $\mathbb{R}^2$ $q(x,y,z)=x^2+3z^2-xy-yz+zx$

%\item sur $\mathbb{C}^3$ $q(x,y,z)=2x\overline{x}+ix\overline{y}
%-i\overline{x}y+2y\overline{y}+i\sqrt{2}x\overline{z}-
%i\sqrt{2}\overline{x}z $. 

%\end{enumerate}
%Pour chacune d'entre elles calculer son rang et expliciter la forme bilin\'eaire sym\'etrique
% associ\'ee.



\end{document}
