\documentclass[12pt]{article}

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{\vspace{.4cm}\noindent\textbf{Exercice \addtocounter{exercice}{1}
\arabic{exercice}.} }
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\begin{document}
\noindent \textbf{MAT404-TD3 \hfill Produits scalaires et bases orthonorm\'ees. \hfill UGA}



\exercice $\diamond$
Pour chaque matrice $A$, donner la forme bilin\'eaire sym\'etrique 
$\phi$ dont $A$ est la matrice dans la base canonique. 
Trouver une base orthogonale pour $\phi$. 
Existe-t-il une base $\phi$-orthonorm\'ee ? 
La forme $\phi$ est-il un produit scalaire ?

\vspace{2mm}

1. $A= \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}$ ; \, 
2. $A= \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$ ; \,  
3. $A= \begin{pmatrix}1& 1\\ 1& 1\end{pmatrix}$ ; \, 
4. $A= \begin{pmatrix}1& 1\\ 1& -1\end{pmatrix}$.


\exercice
Les formes suivantes sont-elles des produits scalaires ?
\begin{enumerate}
\item $\diamond$ Sur $\mathbb{R}[x]$, 
$\displaystyle (P,Q) \mapsto \int_0^1e^x P(x) \, Q(x) \, {\rm d}x$. 
\item $\diamond$ Sur $\mathbb{R}^3$, la forme polaire de la forme quadratique
$q(x)=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_2x_3$. 
\item $\diamond$ Sur $\mathbb{R}^3$, la forme polaire de la forme quadratique 
$q(x)=x_1^2+3x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3+6x_2x_3$. 
\item (*) Sur $M_2(\mathbb{R})$, $(A,B) \mapsto {\rm Tr }({^t}\!AB)$. 
\item (*) Sur $M_2(\mathbb{R})$, $(A,B) \mapsto {\rm Tr }(AB)$. 
\end{enumerate}

\exercice
D\'emontrer les relations suivantes dans un espace vectoriel euclidien :
\begin{enumerate}
\item $||x+y||^2-||x-y||^2=4x \cdot y$. 
\item  $||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)$.
\end{enumerate}

\exercice $\diamond$
Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt pour orthonormaliser dans
$\mathbb{R}^3$ avec son produit scalaire usuel la base 
$(e_1,e_2,e_3)$, o\`u 
$e_1=\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\\{-1}\end{matrix}\right)$,
$e_2=\left(\begin{matrix}{1}\\{-1}\\{1}\end{matrix}\right)$ et
$e_3=\left(\begin{matrix}{-1}\\{1}\\{1}\end{matrix}\right)$. 

\exercice
Pour chaque espace euclidien $E$ ci-dessous muni du produit scalaire $\phi$,
appliquer la m\'ethode de Gram-Schmidt \`a la famille $\mathcal{F}$ 
afin de produire une base orthonom\'ee pour  $\langle\mathcal{F}\rangle$. 
Calculer la projection orthogonale de $v\in E$ sur 
$\langle\mathcal{F}\rangle$. 
Donner des \'equations d\'efinissant $\langle\mathcal{F}\rangle$.
\begin{enumerate}
\item $\diamond$ $E=\R^3$, $\phi$ le produit scalaire canonique, 
$\mathcal{F} =
\left( \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} \right)$,
$v=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.
\item $\diamond$  $E=\R^4$, $\phi$ le produit scalaire canonique, 
$\mathcal{F} =
\left( 
\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\\{0}\\{0}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{1}\\{0}\\{-1}\\{1}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{0}\\{1}\\{1}\\{1}\end{matrix}\right) 
\right)$, 
$v=\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\\{1}\\{1}\end{matrix}\right)$.
\item $\diamond$ $E=\R_3[X]$, $\displaystyle \phi(P,Q)=\int_{-1}^1P(X)\,Q(X)dX$, 
$\mathcal{F} = (1,X,X^2)$, $v=X^3$.
\item $\diamond$ $E=\R_3[X]$, $\displaystyle \phi(P,Q)=\int_{0}^1P(X)\,Q(X)dX$, 
$\mathcal{F} = (1,X,X^2)$, $v=X^3$.
\item (*) $E=\R^3$, $\phi(x,y)=
3x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+3x_3y_3$, 
$\mathcal{F} =
\left(
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} 
\right)$,
$v=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. 
\end{enumerate}

\exercice $\diamond$ Consid\'erons dans $\R^2$ la forme quadratique $q(x,y)=4x^2+xy+y^2$.
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $q$ d\'efinit un produit scalaire sur $\R^2$.
\item Donner une base orthogonale de $\R^2$ pour ce produit scalaire. On pourra utiliser deux m\'ethodes pour y parvenir : soit appliquer le proc\'ed\'e d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, soit utiliser la r\'eduction de Gauss de $q$.
\end{enumerate}


\exercice
Consid\'erons sur $\R^3$, la forme quadratique $q$, d\'efinie par $$q(x,y,z)=x^2+4xy+5y^2-2yz+4z^2.$$
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que la forme bilin\'eaire associ\'ee \`a $q$ est un produit scalaire
  sur $\R^3$.  
\item Orthonormaliser, par le proc\'ed\'e de Gram-Schmidt, la base
  canonique de $\R^3$ pour obtenir une base de $\R^3$
  $q$-orthonormale. 
\end{enumerate}

\exercice $\diamond$
Nous consid\'erons l'espace $\mathcal{C}([-\pi, \pi],\R)$ 
des fonctions continues sur $[-\pi, \pi]$, \`a valeurs r\'eelles. 
Nous munissons cet espace du produit scalaire 
\[\langle f, g\rangle= \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)dx.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $m$ et $n$ sont des entiers distincts alors les
  fonctions $x \mapsto \cos(nx)$, $x \mapsto \cos(mx)$, 
  $x \mapsto \sin(nx)$  et $x \mapsto \sin(mx)$ sont
  deux \`a deux orthogonales pour ce produit scalaire. 
\item Calculer
  $\|x \mapsto \cos(nx)\|$ et $\|x \mapsto \sin(nx)\|$ 
  pour tout entier $n\in \N$.
\item Calculer la projection orthogonale de la fonction $x \mapsto x$ 
sur le sous-espace  de $\mathcal{C}([-\pi, \pi],\R)$ 
engendr\'e par les fonctions $1, \cos,\sin, x \mapsto \cos(2x), 
x \mapsto \sin(2x)$.\end{enumerate}

\exercice
Nous consid\'erons l'espace $\mathcal{C}([-1, 1],\R)$ des fonctions 
continues sur $[-1, 1]$, \`a valeurs r\'eelles. 
Nous munissons cet espace du produit scalaire 
\[\langle f,g\rangle= \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx.\]
\begin{enumerate}
\item Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt afin de produire une
  base orthonorm\'ee pour le sous-espace
  $\R_2[X]\subset\mathcal{C}([-1, 1], \R)$.
\item Calculer la meilleure approximation polynomiale 
(au sens de la distance associ\'ee au produit scalaire 
$\langle ~, \rangle$) de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $2$
des fonctions suivantes : $\exp$, $\cos$ et $x \mapsto \sqrt{x+1}$. 
\end{enumerate}

\exercice (*)
 Soit $P$ une matrice carr\'ee inversible de $\mathcal{M}_n(\R)$. 
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que la matrice ${^t}\!PP$ est sym\'etrique.
\item Pr\'eciser, dans la base canonique $(e_i)_{i=1,\ldots,n}$ de
  $\R^n$, la matrice de la forme quadratique associ\'ee au produit
  scalaire usuel (canonique). Que peut-on dire de la base canonique de
  $\R^n$ pour cette forme quadratique? 
\item Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie, dans la base canonique
  de $\R^n$, par la matrice  ${^t}\!PP$.  
\begin{enumerate}
\item Pour tout vecteur colonne $X$, dont les coordonn\'ees sont
  exprim\'ees dans la base canonique de $\R^n$, exprimer
  matriciellement la valeur $q(X)$. 
\item D\'emontrer que $q$ est une forme quadratique d\'efinie positive.
\item En d\'eduire, en fonction de $P$ et des vecteurs
  $e_1,\ldots,e_n$, une base $q$-orthogonale de $\R^n$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice (*)
Soit $(V, \langle~, \rangle)$ un espace euclidien et soit $W\subset V$
un sous-espace de dimension finie. Soit $p_W$ la projection orthogonale 
sur $W$. Montrer que
\begin{enumerate}
\item $p_W(v)=v$ si et seulement si $v\in W$
\item $p_W\circ p_W= p_W$
\item $p_W(v)=0$ si et seulement si $v\in W^\perp$.
\end{enumerate}

\exercice (juin 22)\\
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[-1,1]$ \`a
valeurs r\'eelles muni du produit scalaire
$$ \langle f|g\rangle = \int_{-1}^1 f(t) g(t) \ dt $$
On notera $e_1 \in E$ la fonction constante \'egale \`a 1 sur
$[-1,1]$, $e_2 \in E$ la fonction d\'efinie par $e_2(t)=t$, $e_3 \in
E$ la fonction d\'efinie par $e_3(t)=\cos(t)$. Vous pouvez utiliser
1, $t$ et $\cos(t)$ pour d\'esigner $e_1$, $e_2$ et $e_3$ (abus
de notation).
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que $e_1 \perp e_2$, d\'eterminer la norme de $e_1$
  et $e_2$
\item D\'eterminer la projection orthogonale de $e_3$ sur
l'espace vectoriel $F$ engendr\'e par $e_1$ et $e_2$
\item Quelle est la distance de $e_3$ \`a $F$~?
\item Soit $G$ l'espace vectoriel engendr\'e par $e_1,e_2,e_3$. Quelle est la dimension de $G$~?
\item D\'eterminer une base orthonormale de $G$.
\end{enumerate}

\exercice
Utiliser la m\'ethode de la projection orthogonale pour trouver 
les nombres $a$ et $b$ tels que $y=ax+b$ soit la meilleure droite 
d'approximation des points :
\begin{enumerate}
\item $(x=1, y=1), (x=2, y=3), (x=3, y=2).$
\item  $(x=1, y=0), (x=2, y=5), (x=3, y=7).$
\end{enumerate}

\exercice
Utiliser la m\'ethode de la projection orthogonale pour trouver la fonction
$x \mapsto g(x)=a+b \cos(x)+ c \cos(2x)$ qui minimise la distance
$d(g, x \mapsto x^2)$ dans l'espace $C^0([-\pi, \pi], \R)$ muni du produit scalaire 
$\displaystyle \langle f_1, f_2\rangle =\int_{-\pi}^\pi f_1(t)f_2(t) dt.$

\exercice (*)
\begin{enumerate}
\item Soit $(v_1,\ldots, v_n)$ un famille de vecteurs de $\R^n$. Soit $P=(v_1|v_2|\ldots |v_n)$ la matrice dont les vecteurs colonnes sont les $v_i$. Montrer que $({^t}PP)_{ij}=\langle v_i,
  v_j\rangle$, o\`u $\langle-,-\rangle$ est le produit scalaire canonique de $\R^n$.
\item 
Soit $E$ un espace euclidien et soit $B_1$ une base orthonorm\'ee pour
$E$. Soit $B_2$ une autre base pour $E$. Montrer que $B_2$ est
orthonorm\'ee si et seulement si la matrice $P$ de changement de la base
$B_1$ \`a $B_2$ est une matrice orthogonale.
\end{enumerate}

\exercice (*)
Soit $f$ une endomorphisme d'un espace euclidien $E$ muni du
produit scalaire $\langle -,-\rangle$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application $\phi :E\times E\rightarrow \R$
  donn\'ee par $\phi(v,w)=\langle v, f(w)\rangle$ est
  bilin\'eaire. 
\item Soit $B$ une base de $E$. Soit $M$ la matrice de l'application
  lin\'eaire $f$ dans la base $B$. Soit $N$ la matrice de
  l'application bilin\'eaire $\phi$ dans la base $B$. Montrer que si
  $B$ est une base orthonorm\'ee alors $M=N$. 
\item Montrer que r\'eciproquement 
si $B$ n'est pas orthonorm\'ee alors $M\neq N$.
\end{enumerate}


\exercice
Montrer que le produit de deux r\'eflexions dans $\R^2$ est une
rotation dans $\R^2$.


\exercice $\diamond$
Pour chaque matrice sym\'etrique $3\times 3$, trouver une base $B_1$ de 
$\mathbb{R}^3$, compos\'ee de vecteurs propres de $A_i$, qui est orthonorm\'ee
pour le produit scalaire canonique.

\[A_1=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}
A_2=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&1\end{pmatrix}A_3= \begin{pmatrix}5&-1&2\\-1&5&2\\2&2&2\end{pmatrix}.\]

\exercice $\diamond$
Pour chaque forme quadratique $q$, trouver une base de $\mathbb{R}^3$
qui est $q$-orthogonale et orthonorm\'ee pour les produit scalaire canonique 
sur $\mathbb{R}^3$.
\begin{enumerate}
\item
  $q(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz-2yz$.
\item $q(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=2x^2+4y^2+z^2+4xy-
2\sqrt{2}xz+4\sqrt{2}yz$.
\end{enumerate}

\exercice (mai 22)\\
Soit $\phi$ l'application lin\'eaire de $\R^3$ dans lui-m\^eme
de matrice dans la base canonique
$$
A=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc} 1 &-4&8\\
-4&7&4\\
8&4&1\end{array}\right] $$
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que 1 et -1 sont valeurs propres de $A$
\item D\'eterminer une base orthonormale de vecteurs propres de $\phi$
\item {\em Bonus}~: Montrer que $\phi$ est une sym\'etrie orthogonale par
rapport \`a un plan que l'on d\'eterminera.
\end{enumerate}


\end{document}

\exercice (cours)
Soit $V$ un espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\langle~,\rangle$.
Soit $(e_1, \ldots, e_n)$ une base pour $V$ et soit $(e'_1, \ldots, e'_n)$ 
la base produite en appliquant l'algorithme de Gram-Schmidt \`a 
$(e_1,\ldots, e_n)$. Soit $P$ la matrice de passage de $(e_1,\ldots, e_n)$
vers  $(e'_1, \ldots, e'_n)$. Montrer que $P$ est triangulaire 
sup\'erieure.

