\documentclass[12pt]{article}

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\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}   
 
\def\cA{{\cal A}}  \def\cG{{\cal G}} \def\cM{{\cal M}} \def\cS{{\cal S}}  
\def\cB{{\cal B}}  \def\cH{{\cal H}} \def\cN{{\cal N}} \def\cT{{\cal T}}  
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\def\degre{{\rm deg}} 

\def\co{{\em (Co)}}
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\def\tco{${\tilde{\mbox{{\em (Co)}}}}$}
\def\tta{$\tilde{\mbox{{\em (Ta)}}}$}
\def\ttr{$\tilde{\mbox{{\em (Tr)}}}$}

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{\vspace{.5cm}\textbf{Exercice \addtocounter{exercice}{1}
\arabic{exercice}.} }
\setcounter {exercice}{0}
\begin{document}
\noindent \textbf{MAT404-TD4  \hfill S\'eries num\'eriques \hfill UGA}


\exercice

Soit $\lambda\in \mathbb{C}$ diff\'erent de 1. D\'emontrer par r\'ecurrence sur $k$ la formule:
$ 1+\lambda+\ldots +\lambda^k=\frac{1-\lambda^{k+1}}{1-\lambda}.$

\exercice $\diamond$
D\'eterminer si les s\'eries suivantes convergent ou non (utiliser une comparaison).
\begin{enumerate}
\item $\sum_{n\geq 1} \frac{\sin(n)}{n^2}$
\item $\sum_{n\geq 1} \frac{n^{-1/2}}{2^n}$
\item $\sum_{n\geq 1}\frac{\ln(n)}{n}$
\item $\sum_{n\geq 1}\frac{2^n}{n!}$
\end{enumerate}

\exercice  $\diamond$
Pour chaque s\'erie ci-dessous, d\'eterminer si elle converge.
\begin{enumerate}
\item $(\sum_{n\geq1}e^{\frac{1}{n^2}}-\cos(\frac{1}{n}))$
\item $(\sum_{n\geq 1}n^{\frac{3}{2}}(e^{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n}-1))$
\item $(\sum_{n\geq1}\frac{1-\cos(\frac{1}{n})}{\sin(\frac{1}{n})})$
\item $(\sum_{n\geq1}(\sqrt{n^\alpha}-\sqrt{(n-1)^{\alpha}}))$ 
(selon les valeurs de $\alpha$). 
\item $(\sum_{n\geq1}\sin(\frac{1}{n}-\sin(\frac{1}{n}))$
\item $(\sum_{n\geq 1}\log(1+\frac{1}{n})-\log(1-\frac{1}{n}))$
\item $(\sum_{n\geq 1}{e^{1\over n}\over n+1})$
\item $(\sum_{n\geq 1}{e^{1\over n}-1\over \sqrt{n+1}})$
\item $(\sum_{n\geq 1}n\ln\Big(1+{1\over n}\Big))$
\item $(\sum_{n\geq 1}{1-n\ln(1+{1\over n})\over \sqrt{n+1}})$
\end{enumerate}


\exercice

On consid\`ere dans cet exercice des s\'eries de la forme 
$(\sum_{n\geq 1} n^\alpha \lambda^n)$
avec $\lambda\in \mathbb{C}$ et $|\lambda| < 1$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant une comparaison,  montrer que si $\alpha\leq 0$ alors 
cette s\'erie converge.
\item Quelle est la limite quand $n\rightarrow \infty$ de 
$n^\alpha \lambda^{n/2}$ ? 
\item Justifier l'existence d'une constante $C$ telle que 
$ n^\alpha \lambda^n\leq C \lambda^{n/2}$ pour tout $n$. En d\'eduire
que pour tout $\alpha$ et tout $\lambda$ tel que  $|\lambda| < 1$ la s\'erie
$(\sum_{n\geq 1} n^\alpha \lambda^n)$ converge.
\item En d\'eduire que pour tout polyn\^ome $P$ et tout $\lambda$ tel que  
$|\lambda| < 1$ la s\'erie $(\sum_{n\geq 1} P(n) \lambda^n)$ converge.
\end{enumerate}

\exercice

On consid\`ere dans cet exercice des s\'eries de la forme $(\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n^\alpha \log(n)^\beta})$
avec $\alpha, \beta$ des nombre r\'eels strictement positifs. 
\begin{enumerate}
\item Par comparaison avec $\sum \frac{1}{n^\alpha}$, montrer que 
cette s\'erie converge lorsque $\alpha >1$.
\item On suppose maintenant $\alpha <1$. 
Quelle est la limite quand $n\rightarrow \infty$ de
$n^{\alpha -1}\log(n)^{\beta}$ ?
\item En supposant toujours que $\alpha <1$, d\'emontrer l'existence d'une 
constante $C$ telle que pour tout $n$ $\frac{1}{n^\alpha \log(n)^\beta}\geq
\frac{C}{n}$. 

En d\'eduire que dans ce cas la s\'erie 
$(\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n^\alpha \log(n)^\beta})$ diverge quelque soit 
$\beta$. 
\end{enumerate}
\end{document}
