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\begin{document} 

\setcounter {exercice}{0}

\noindent \textbf{UGA-MAT404  \hfill TD 5 -  S\'eries de Fourier
  \hfill 2020}

\pagebreak

\exercice Donner les coefficients de Fourier trigonom\'etriques des
fonctions suivantes, d\'efinies sur $[-\pi,\pi]$:\\
\noindent 1. $f(x)=\cos(2x)$,\\
\noindent 2. $f(x)=3+2\cos(3x)+4\sin(5x)$,\\
\noindent 3. $f(x)=\cos^2(x)$.

\pagebreak

\exercice
Soit $f:[-\pi,\pi]\to\R$ une fonction int\'egrable. \\
\noindent 1. Montrer que si $f$ est paire alors sa s\'erie de Fourier est une
s\'erie de cosinus.\\ 
\noindent 2. Montrer que si $f$ est impaire alors sa s\'erie de Fourier est
une s\'erie de sinus. 

\pagebreak

\exercice
\begin{enumerate}
\item Trouver les coefficients de Fourier trigonom\'etriques
de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=x^2$. 
\item En d\'eduire les coefficients de Fourier exponentiels de $f$, $c_k$.
V\'erifier qu'on a bien $c_k=\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-ikx}$.
\item En d\'eduire, en utilisant le th\'eor\`eme de Parseval, que
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.$$  
\end{enumerate}

\pagebreak

\exercice
\begin{enumerate}
\item Trouver les coefficients de Fourier trigonom\'etriques
de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=|x|$. 
\item En d\'eduire les coefficients de Fourier exponentiels de $f$, $c_k$.
V\'erifier qu'on a bien $c_k=\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-ikx}$.
\pagebreak
\item 
En d\'eduire les valeurs de $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$ 
et $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^4}$. 
\item Calculer $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}$. 
\end{enumerate}

\pagebreak 
\exercice
Soit de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=|\sin(x)|$.
Calculer le d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $f$.

\pagebreak

\exercice
Soit $a\in\R\setminus\mathbb{Z}$ et de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=\cos(ax)$. 
Calculer le d\'eveloppement en s\'erie de
Fourier de $f$ et montrer que 
$$
\frac{\pi}{\tan(a\pi)}=\frac{1}{a}+ 2a \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a^2-n^2}.
$$  

\pagebreak

\exercice
D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de sinus de la fonction 
$$f:]0,\pi[\to\R,\quad f(x)=e^x.$$

\pagebreak

\exercice
D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de cosinus de la fonction
$$f:[0,\pi]\to\R,\quad 
f(x)=\begin{cases} 
x&\text{ si }0 \leq x<\displaystyle\frac{\pi}{2} , \\
\pi-x&\text{ si }x\geq\displaystyle\frac{\pi}{2}.
\end{cases}
$$

\pagebreak

\exercice On consid\`ere la fonction $2\pi$-p\'eriodique d\'efinie sur
par $f(x)=x$ pour $x=[-\pi,\pi[$. Calculer les coefficients de Fourier
    de $f$, et \'etudier la convergence de la s\'erie de Fourier $S(f)(x)$
    pour $x\in[-\pi,\pi]$ en utilisant le th\'eor\`eme de Dirichlet
    (on pourra traiter s\'epar\'ement les cas $x=\pm\pi$).

\pagebreak

\exercice On consid\`ere la fonction $1$-p\'eriodique d\'efinie sur
par $f(x)=x$ pour $x=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[$. Calculer la s\'erie
    de Fourier $S(f)(x)$ et \'etudier sa convergence (on pourra soit
    calculer les coefficients de Fourier directement en utilisant les
    formules du cours pour les fonctions $1$-p\'eriodiques, soit faire
    un changement de variables dans la s\'erie de Fourier de
    l'exercice pr\'ec\'edent).
    
\pagebreak

\exercice (Juin 2019)
Dans cet exercice, on admettra que pour $n$ entier non nul, on a~:
$$ \int_0^\pi x^3\sin(nx) \ dx =-\pi
(n^2\pi^2-6)\frac{(-1)^n}{n^3} $$
Soit $S(f)$ la s\'erie de Fourier de la fonction d\'efinie
sur $[-\pi,\pi]$ par $f(t)=t^3$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coefficients de Fourier de $f$
\pagebreak
\item Montrer que $S(f)(t)=f(t)$ pour $t\in]-\pi,\pi[$ en appliquant le
    th\'eor\`eme de Dirichlet (on justifiera que les hypoth\`eses sont
    v\'erifi\'ees).
\item La formule pour $S(f)(t)$ de la question pr\'ec\'edente est-elle
  valable pour $t=\pi$? Sinon, que vaut $S(f)(\pi)$~?
\item D\'eterminer la valeur de la s\'erie de Fourier au point
  $t=\pi/2$. En d\'eduire une s\'erie convergente dont la somme vaut $\pi^3/8$.
\pagebreak
\item Montrer que l'identit\'e de Parseval s'applique. En d\'eduire une formule pour~:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n^2\pi^2-6)^2}{n^6} $$
% pi^6/14
\item Les s\'eries suivantes sont-elles convergentes~:
  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$, 
  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}$, 
  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6}$~?
\pagebreak
\item
Calculer $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6}$, sachant que
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6},
\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90} $$
\end{enumerate}




\end{document}

