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\arabic{exercice}.} }
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{\vspace{0.1cm}\noindent \textbf{Exercice$^{*}$\addtocounter{exercice}{1}
\arabic{exercice}.} }

\newcommand{\st}{\hspace{-10pt}$^{*}$\hspace{1pt} }

\begin{document}

\setcounter {exercice}{0}
\noindent \textbf{UGA-MAT404  \hfill TD 1 - Alg\`ebre lin\'eaire \hfill 2020}

\exercice Pour chaque espace vectoriel $V$, dire si oui ou non la
famille $F$ d'\'el\'ements de $V$ est une base de $V$. Lorsque F est
bien une base, donner les coordonn\'ees du vecteur
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ (pour (1),(2) et (3)) ou du polyn\^ome
  $a+bX+cX^2$ (pour (4) et (5)) par rapport \`a F.

\[(1)V=\R^3, F=\left\{\left(\begin{matrix}{1}\\{-1}\\{-1}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{1}\\{0}\\{1}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{2}\\{2}\\{6}\end{matrix}\right)\right\}.\mbox{ }\mbox{ }
(2) V=\C^3, F=\left\{\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\\{0}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{1}\\{0}\\{1}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{0}\\{1}\\{1}\end{matrix}\right)\right\}.\]
\[(3) V\subset
\C^3,
V=\left\{\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}\in\C^3\ |\  x+y+z=0\right\},\mbox{ }\mbox{ } 
F=\{\begin{pmatrix}i\\-i\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\} .\]

\[(4) V=\R_2[X], \mbox{ }\mbox{ }F=\{X^2-3X+1, X^2+3X-4, 2X^2-3\}.\]

\[(5) V= \R_2[X],\mbox{ }\mbox{ }F=\{ (X-1)^2, (X-1), 1\}.\] 


\exercice Pour chaque espace vectoriel $V$, dire si oui ou non la
partie $W\subset V$ est un sous-espace vectoriel. Lorsque $W$ est bien
un sous-espace vectoriel, donner une base de $W$ et calculer les
coordonn\'ees d'un \'el\'ement arbitraire de $W$ dans cette base.

\begin{enumerate}
\item $V=\R^3$, $W=
\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\R^3\ |\  x+y-z=0\right\}$.
\item $V=\C^3$, $W=
\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\C^3\ |\ x+y-iz=2+3i\right\}$.
\item $V=\mathcal{C}^2([0,1], \R)$,  $W=
\{f\in \mathcal{C}^2([0,1], \R)\ |\ f''+f'=0\}$.
\item $V=\R_3[X]$, $W=\{P\in \R_3[X]\ |\  (P(3))^2=P(2)\}$.
\end{enumerate}

\exercice
Pour quelles valeurs de $k$ le syst{\`e}me lin\'eaire d'inconnues $x,y$\\
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
kx+(1+i)y=1  \\
(1+i)x+ky=1  \\
\end{array}
\right.\]
\halign{#&#\cr
         admet-il$\ $ & a) aucune solution~?\hfill\cr
         &b) une solution unique~?\hfill\cr
         &c) une infinit{\'e} de solutions~?\hfill\cr}
%\vskip20pt

\exercice
Calculer le noyau et l'image de chaque matrice.
\[\left(\begin{matrix}{-2}&{1}&{1}\\{1}&{-2}&{1}\\{1}&{1}&{-2}
\end{matrix}\right),\mbox{ }\mbox{ }
\left(\begin{matrix}{1}&{-1}&{1}\\{-1}&{1}&{-1}\\{1}&{-1}&{1}
\end{matrix}\right).\]

\exercice D\'eterminer si les matrices suivantes sont inversibles, et si oui, 
calculer leur inverse.
$$
\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, 
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, 
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}.
$$

\exercice
D\'emontrer que les \'equations de la chaleur et des ondes sont bien 
des \'equations lin\'eaires.

\exercice
Soit $f: V\rightarrow V'$ une application lin\'eaire entre deux espaces vectoriel. D\'emontrer
que ${\rm Ker}(f)$ et ${\rm Im} (f)$ sont des sous-espaces vectoriels de $V$ et $V'$, respectivement.

\exercice. Pour chaque application, indiquer
 si oui ou non elle
est lin\'eaire. Si oui, en donner le noyau et
l'image.
\begin{enumerate}
\item L'application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ donn\'ee par 
$f\left(\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}\right)
=\left(\begin{matrix}{x+y}\\{y-z}\\{z+1}\end{matrix}\right)$.
\item  L'application de $\mathbb{C}^3$ dans $\mathbb{C}^3$ donn\'ee par 
$f\left(\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}\right)
=\left(\begin{matrix}{ix-iy}\\{-iy-z}\\{ix+z}\end{matrix}\right)$.
\item La fonction $\phi$ qui envoie $C^\infty([0,1],\mathbb{C})$
 sur lui-m\^eme donn\'ee par   
\[\phi(f)=f'.\]
Nous rappelons que  $C^\infty([0,1],\mathbb{C})$ est l'espace de
fonctions sur l'intervalle $[0,1]$ \`a valeurs dans $\C$ qui sont
d\'erivables \`a tous ordres. 
\item La fonction $\phi:\R_3[X]\rightarrow \R_4[X]$ donn\'ee par
  $\phi(P)=P'-XP$. 
\item La fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ donn\'ee par
  projection sur l'axe des $x$.
\item La fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ donn\'ee par
rotation d'un angle $\theta$ autour de l'origine.
\end{enumerate}

\exercice
Montrer que les trois fonctions suivantes forment une famille li\'ee
dans l'espace $C^0(\R;\C)$ des fonctions continues de $\R$ dans $\C$ : 
$$x\mapsto e^{ix} \quad,\quad x\mapsto\sin(x) \quad,\quad
x\mapsto e^{-ix}.$$ 
Donner la dimension de ${\rm Vect}(e^{ix}, \sin(x), e^{-ix})$.

\exercice Soit $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ des r\'eels deux \`a deux distincts. 
Montrer que la famille de fonctions $(e^{\alpha_1x},\dots,e^{\alpha_nx})$ 
est libre dans l'espace vectoriel $C^0(\R;\R)$. 

\exercice Soit $n\in\N$ et $P_0,\dots,P_n$ des polyn\^omes de $\C[X]$ 
tels que pour chaque $i$, le degr\'e de $P_i$ soit $i$. Montrer que la 
famille $(P_0,\dots,P_n)$ est une base de $\C_n[X]$.

\exercice
On se place dans le $\C$-espace vectoriel $\C_3[X]$ des fonctions
polyn\^omes de degr\'e au plus 3.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'ensemble des fonctions
qui s'annulent en 1 est un sous-espace vectoriel de $\C_3[X]$. Prouver
que ce dernier est de dimension 3 et en pr\'eciser une base. 
\item L'ensemble des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a
  $2$ est-il un sous-espace vectoriel de $\R_3[X]$? Qu'en est-il de
  l'ensemble des polyn\^omes de degr\'e \'egal \`a $2$?  
\end{enumerate}

\exercice
\begin{enumerate}
\item 
Pour $\omega\in\R$, on consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
$y''+\omega^2y=0$, de fonction inconnue $y$. Montrer que l'ensemble
des fonctions du $\C$-espace vectoriel $C^2(\R;\R)$ solutions de cette
\'equation forme un sous-espace vectoriel de $C^2(\R;\R)$. En donner
une base et la dimension.
\item On consid\`ere maintenant l'\'equation diff\'erentielle
  $y''+\omega^2\sin{y}=0$. L'ensemble des fonctions du $\R$-espace
  vectoriel $C^2(\R;\R)$ qui sont solution de cette \'equation
  forme-t-il un sous-espace vectoriel de $C^2(\R;\R)$?
\end{enumerate}

\exercice 

Quelle est la dimension de $\mathbb{C}$, vu comme un
$\mathbb{R}$-espace vectoriel? En pr\'eciser
une base.


\exercice

On consid\`ere $\cP$ l'ensemble des polyn\^omes sur $\RR$, de degr\'e
inf\'erieur ou \'egal \`a 2. 
Un polyn\^ome $P$ de $\cP$ sera not\'e $P(X)=a+bX+cX^2$.
Nous admettrons que $\cP$ est un espace vectoriel sur $\RR$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la dimension de $\cP$? En donner une base.
\item On consid\`ere les sous-ensembles de $\cP$ suivants :
\begin{enumerate}
  \item $W_0=\{P\in\cP\ |\  P(0)=3\}$, 
\item $W_1=\{P\in\cP\ |\ \mbox{ P n'a pas de racine
    r\'eelle}\}$ et 
\item $W_2=\{P\in\cP\ |\  a=0\}$.
\end{enumerate} 
Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de $\cP$ ? Pour ceux qui
sont des sous-espaces vectoriels, en donner une base et donner le
vecteur des coordonn\'ees d'un polyn\^ome $P$ arbitraire
dans cette base.

\item De m\^eme, on consid\`ere les applications de $\cP$ dans $\RR$
  suivantes : 
\begin{enumerate}
\item $f_0(P)=P(3)$, 
\item $f_1(P)=d$ ($d\in\R$), 
\item $f_2(P)=P'(1)$,
  \item Si $P(X)=a_P+b_PX+c_PX^2$, on pose
  $f_3(P)=a_P\cdot a+b_P\cdot b+c_P\cdot c$ ($(a,b,c)\in\R^3$),
\item $f_5(P)=(a_P+b_P+c_P)^2$. 
\end{enumerate}
Lesquelles sont des applications lin\'eaires ?
\end{enumerate}

\newpage

\setcounter{exercice}{0}


\noindent UGA-Mat404 \hfill {\bf TD 2 - Formes bilin\'eaires et bases orthogonales} \hfill 2020

%\vspace{.1cm}

\exercice
Les fonctions suivantes sont-elles des formes bilin\'eaires ? 
Sont elles sym\'etriques ?
\begin{enumerate}
\item $\phi:\R^2\times \R^2\rightarrow \R,\quad 
\phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} \right)=x_1y_2+x_2y_2$.
% \medskip
% \item $\phi:\C^2\times \C^2\rightarrow \C,\quad 
% \phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} \right)=ix_1y_2+ix_2x_1$.
\item $\phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \R,\quad 
\phi(P,Q)=2P'(1)P(0)+Q'(1)Q(0)$.
\item $\phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \R,\quad 
\phi(P,Q)=2P'(1)Q(0)+Q'(1)P(0)$.
\item $\phi : \mathcal{C}([0,1], \R)\times \mathcal{C}([0,1],\R)\rightarrow \R,\quad \displaystyle \phi(f,g)=\int_0^1f(x)g(1-x)dx.$
\end{enumerate}


\exercice
Pour chacune des formes bilin\'eaires suivantes, calculer sa matrice
$M_1$ dans la base $\mathcal{B}_1$ et sa matrice $M_2$ dans la base
$\mathcal{B}_2$. 
Calculer $P$, la matrice de passage de $\mathcal{B}_1$ vers
$\mathcal{B}_2$, 
et v\'erifier que $M_2= {^t}P M_1 P$. La forme bilin\'eaire $\phi$ est elle sym\'etrique ?
\begin{enumerate}
\item $\phi:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$
\[\phi(\left(\begin{matrix}{x_1}\\{x_2}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{y_1}\\{y_2}\end{matrix}\right))=x_1y_2+3y_1x_2\quad,\quad
\mathcal{B}_1=\left\{\left(\begin{matrix}{1}\\{0}\end{matrix}\right), 
\left(\begin{matrix}{0}\\{1}\end{matrix}\right)\right\},
\mathcal{B}_2=\left\{\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\end{matrix}\right), 
\left(\begin{matrix}{1}\\{2}\end{matrix}\right)\right\}.\]
\item  $\phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \mathbb{R}$
\[\phi(P,Q)= P(1)Q(-1)\quad,\quad
\mathcal{B}_1=\{1,X,X^2\}, \mathcal{B}_2=\{1, (X-1), (X^2-3X+2)\}.\]
\item  $\phi:\R_2[X]\times \R_2[X]\rightarrow \mathbb{R}$
\[\phi(P,Q)= \int_0^1P(x)Q(1-x)dx\quad,\quad
\mathcal{B}_1=\{1,X,X^2\}, \mathcal{B}_2=\{1, (X-1), X^2-X\}.\]
\end{enumerate} 

 

\exercice
\begin{enumerate}
\item Soit $\Psi$ une forme bilin\'eaire d\'efinie sur $V\times V$
  o\`u $V$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $A$ une
  matrice repr\'esentant $\Psi$ dans une base $\mathcal{B}$
  fix\'ee. Montrer que l'application \[\Phi:E\times E \rightarrow \R\]
  d\'efinie par $\Phi(u,v)=\Psi(v,u)$ est une forme bilin\'eaire et
  pr\'eciser, en fonction de $A$, sa matrice dans la base
  $\mathcal{B}$. Montrer que $\Psi$ est sym\'etrique
  (resp. antisym\'etrique) si et seulement si $A$ l'est.

\item D\'emontrer que toute matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\R)$
  s'\'ecrit comme somme de la matrice sym\'etrique
  $\frac{1}{2}(M+{^t}M)$ et de la matrice antisym\'etrique
  $\frac{1}{2}(M-{^t}M)$. D\'emontrer que c'est l'unique fa\c con
  d'\'ecrire $M$ comme une somme d'une matrice sym\'etrique et une
  matrice anti-sym\'etrique.

\item Montrer que toute forme bilin\'eaire $\Delta:E\times E
  \rightarrow \R$ s'\'ecrit de fa\c con unique comme la somme de deux
  formes bilin\'eaires, l'une sym\'etrique, l'autre antisym\'etrique,
  que l'on pr\'ecisera.

\end{enumerate}

\exercicedur Pour chaque forme bilin\'eaire $\phi$, sur l'espace
vectoriel $V$ donner son rang (sauf pour le 4) et calculer son
noyau. Trouver l'orthogonal pour $\phi$ du sous-espace $W$ (sauf pour
le 4)).

\begin{enumerate}
\item $V=\R^3,
  \ \phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
      y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\right)=x_1y_1+x_2y_1+x_1y_2, \quad
      W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in \R^3\ |\ x+y+z=0
      \right\}$
\item $V=\mathbb{R}^3, \ \phi \left(
\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}
\right)= x_1y_1+2x_2y_2, \quad
W= \left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\ 0 \end{pmatrix}\ |\ x,y\in \R\right\}$
\item $V=\mathbb{R}^3,
  \ \phi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
      y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\right)= x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+2x_2y_2,
      \quad W= \left\{ \begin{pmatrix}
        x\\0\\ z\end{pmatrix}\ |\ x,z\in \R\right\}$
\item $V= C^0([0,1], \R), \ \phi(f,g)= \int_0^1 f(x)g(x) dx$%, \quad
                                                            %W= {\rm
                                                            %Vect}(\sin(x),
                                                            %\cos(x))$.
\end{enumerate}

\exercice
Soient $A$ et $B$ des matrices $n\times n$. Montrer l'implication suivante:\[ \forall X, Y\in \mathbb{R}^n, \ {^t}XAY={^t}XBY\quad \Rightarrow \ A=B.\]
\exercice
Soit $V$ un espace vectoriel, et $\phi$ une forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie sur $V$.

\begin{enumerate}
\item V\'erifier que si $q_\phi$ est la forme quadratique associ\'ee \`a la forme $\phi$  alors on a la relation
\[\phi(x,y)=\frac{1}{4}(q_\phi(x+y)-q_\phi(x-y)).\]

\item
En d\'eduire que si $q_\phi(u)=q_\phi(v)$, 
alors $(u+v)$ et $(u-v)$ sont orthogonaux pour la forme bilin\'eaire $\phi$. 

\item Interpr\'eter ce r\'esultat quand $V=\R^3$ et $\phi$ est le produit scalaire canonique sur $\R^3$.

\end{enumerate}

\exercice 
V\'erifier que si $V$ est un espace vectoriel et $q_\phi$ est la forme quadratique associ\'ee \`a la forme bilin\'eaire sym\'etrique $\phi$ sur $V\times V$ alors on a les relations
\[\phi(x,y)= \frac{1}{2}( q_\phi(x+y)-q_\phi(x)-q_\phi(y)).\]
et
\[ q_\phi(x)+q_\phi(y)= \frac{1}{2}(q_\phi(x+y)+q_\phi(x-y)).\] 

\exercice
Pour chaque forme quadratique $q$ sur $\R^3$, donner
la forme polaire $\phi$ associ\'ee 
et la matrice de $\phi$ dans la base canonique de $\R^3$.
\begin{enumerate}
\item $q\left( x,y,z \right) = x^2+2y^2+ 3z^2$ 
\item $q\left( x,y,z \right) = 2xy +4xz+6yz$ 
\item $q\left( x,y,z \right) = x^2+y^2+z^2+xy+yz$ 
\item $q\left( x,y,z \right) = x^2+y^2+z^2+2xy+4yz$
\end{enumerate}

%\exercice
%Soit $q_\phi$ une forme quadratique sur $\mathbb{R}^2$ associ\'ee \`a une forme bilin\'eaire sym\'etrique $\phi$. 
%On suppose que le rang de $\phi$ est $2$ et qu'il existe $e_1\in \mathbb{R}^2$ non nul tel que $q_\phi(e_1)=0$. 

%\begin{enumerate}
%\item Montrer qu'il existe un vecteur $e_2\in \mathbb{R}^2$ pour lequel $q_\phi(e_2)=0$ et tel que $(e_1, e_2)$ forme une base de $\mathbb{R}^2$.

%\item Montrer qu'il existe une base $v_1, v_2$ de $\mathbb{R}^2$ telle que l'on a  $q_\phi(x_1v_1+x_2v_2)=2x_1x_2$ pour tout $x_1,x_2\in\R$. Quelle est la forme bilin\'eaire sym\'etrique
%associ\'ee? Donner sa matrice par rapport \`a la base $(v_1, v_2)$.

%\item Montrer que la forme quadratique d\'efinie sur $\R^2$ par $q_\phi(x,y)=x^2-y^2 $ satisfait les hypoth\`eses de l'\'enonc\'e et s'en servir pour illustrer les constructions pr\'ec\'edentes. 

%\end{enumerate}



\exercicedur  (version simplifi\'ee de la forme de Minkowski)\\
Sur $\R^2$, on consid\`ere la forme bilin\'eaire 
\[ M : \R^2\times \R^2\rightarrow \R, \; M\left(
\begin{pmatrix}x_1\\ y_1\end{pmatrix}, 
\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\end{pmatrix}\right)\mapsto x_1x_2- y_1y_2. \]
\begin{enumerate}
\item Donner la matrice $N$ de $M$ dans la base canonique de $\R^2$. 

\item Soit $P=\begin{pmatrix}a&b\\d&e\end{pmatrix}$ une matrice telle que 
$M(P\underline{V}, P\underline{W})= M(\underline{V},\underline{W})$ pour tous 
$\underline{V}, \underline{W}$ dans $\R^2$. On suppose pour simplifier 
que $a,e>0$.\\ 
Montrer que
$M(P\underline{V}, P\underline{W})= M(\underline{V},\underline{W})$ pour tout 
$\underline{V}, \underline{W}$ si et seulement si 
\[a^2-d^2= 1,\ b^2-e^2= -1 \textrm{ et }ab= de.\]

\item En d\'eduire que $a=e$.

\item Montrer que si $\beta= \sqrt{a^2-1}$ alors $ b=d=\pm\beta$.

\item Ecrire $P$ en fonction de $b$. Que constate-t-on ? (On pourra faire une 
substitution $b={\rm sinh}(\alpha)$. )

\end{enumerate}

\exercice 
Soit $M=\left(\begin{matrix}{a}&{b}\\{b}&{d}\end{matrix}\right)\in
\mathcal{M}_2(\R)$. 
Montrer que les assertions suivantes sont \'equivalentes :
\begin{itemize}

\item[(i)] pour tout $X\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\},{^t}XMX>0$.

\item[(ii)] $a>0$ et $ad-b^2>0$.

\end{itemize}



\exercice On pose $A=\left(\begin{matrix}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{matrix}\right)$. 
\begin{enumerate}
\item Trouver une base de $\mathbb{R}^2$  qui est orthogonale pour la forme bilin\'eaire donn\'ee par la matrice $A$ dans la base canonique de $\R^2$.
\item En d\'eduire une base orthonorm\'ee pour cette m\^eme forme.
\item Quel est le rang de $A$ ?
\end{enumerate}


\exercicedur
Soit $V$ l'espace vectoriel des matrices r\'eelles $2\times 2$. 
\begin{enumerate}

\item Soit $\phi$ la forme bilin\'eaire d\'efinie, pour tout $(A,B)\in V\times V$, par \[\phi(A,B)={\rm Tr}({^t}\!\!A\,B).\] 

\begin{enumerate}
\item D\'eterminer sa matrice par rapport \`a la base canonique de $V$. 
\item D\'emontrer qu'elle est sym\'etrique et donner son rang. 
\item Trouver  une base $\phi$-orthonormale pour $\mathcal{M}_2(\R)$.
\end{enumerate}
\item Soit $D$ la forme quadratique d\'efinie, pour tout $A\in V$, par $D(A)={\rm det}(A)$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer la forme bilin\'eaire sym\'etrique associ\'ee \`a $D$. 
\item Donner son rang et sa matrice dans la base canonique de $\mathcal{M}_2(\R)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercicedur Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{\R})$ on consid\`ere la forme 
$\tau(A,B)={\rm Tr}(AB)$
o\`u ${\rm Tr}$ est la trace d'une matrice. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\tau$ est une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
\item Montrer que pour toute matrice carr\'ee $A\neq 0$ il existe $B$ telle que $\tau(A,B)\neq 0$. (On pourra calculer
$\tau({^t}\!\!A\,A)$).
\end{enumerate}



\exercice
Pour chaque forme quadratique $q$
\begin{enumerate}[(i)]
\item 
Appliquer la r\'eduction de Gauss \`a $q$ pour l'\'ecrire comme combinaison 
lin\'eaires de carr\'es de formes lin\'eaires ind\'ependantes.
\item D\'eduire la signature et le rang de $q$.
\item Donner une base $q$-orthogonale pour $\R^n$.
\item Si possible, donner une base $q$-orthonorm\'ee de $\R^n$.
\item La forme bilin\'eaire associ\'ee \`a $q$ est elle un produit scalaire ?
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item $q(x,y)=x^2+xy+3y^2$,
\item $q(x,y)=x^2-5xy-y^2 $,
\item $q(x,y)=xy$,
\item $q(x,y,z)=x^2-2y^2+xz+yz $,
\item $q(x,y,z)=xy-yz$,
\item $q(x,y,z)=3x^2+y^2+2xy-3xz$.
\end{enumerate}

\exercice
Soit $\mathbb{R}_2[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur
ou \'egal \`a deux, on consid\`ere sur $\mathbb{R}_2[X]$ la forme quadratique qui \`a
un polyn\^ome associe son discriminant : 
$$\begin{matrix}\Delta\colon \mathbb{R}_2[X]\to \mathbb{R} \\
P=aX^2+bX+c\mapsto \Delta(P)=b^2-4ac\end{matrix}$$

\begin{enumerate}
\item Donner la forme bilin\'eaire sym\'etrique $\varphi$ associ\'ee \`a $\Delta$.
\item Donner la matrice de la forme polaire $\varphi$ dans la base
  $\cF_0=\{1,X,X^2\}$. 
\item Montrer que pour tout polyn\^ome $P(X)=aX^2+bX+c$ de $\mathbb{R}_2[X]$, on peut \'ecrire : 
$$\Delta(P)=b^2+(a-c)^2-(a+c)^2.$$
\item Montrer que la famille de vecteurs $\cF_1=(\frac 1 2 (X^2-1),X,\frac 1 2 (X^2+1))$ est une base de $\RR_2[X]$. 
\item Donner la matrice de passage de la base $\cF_0$ \`a la base $\cF_1$.
\item Donner la matrice de la forme $\varphi$ dans la base $\cF_1$.
\item Exprimer $\Delta(P)$ en fonction des coordonn\'ees de $P$ dans la base $\cF_1$. 
\item Donner le rang et la signature de $\varphi$.
\end{enumerate}

\newpage

\setcounter {exercice}{0}

\noindent \textbf{MAT404-UGA \hfill TD 3 - Produits scalaires et bases orthonorm\'ees \hfill 2020}


\exercice
Pour chaque matrice $A$, donner la forme bilin\'eaire sym\'etrique 
$\phi$ dont $A$ est la matrice dans la base canonique. 
Trouver une base orthogonale pour $\phi$. 
Existe-t-il une base $\phi$-orthonorm\'ee ? 
La forme $\phi$ est-il un produit scalaire ?

\vspace{2mm}

1. $A= \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}$ ; \, 
2. $A= \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$ ; \,  
3. $A= \begin{pmatrix}1& 1\\ 1& 1\end{pmatrix}$ ; \, 
4. $A= \begin{pmatrix}1& 1\\ 1& -1\end{pmatrix}$.


\exercice
Les formes suivantes sont-elles des produits scalaires ?
\begin{enumerate}
\item Sur $\mathbb{R}[x]$, 
$\displaystyle (P,Q) \mapsto \int_0^1e^x P(x) \, Q(x) \, {\rm d}x$. 
\item Sur $\mathbb{R}^3$, la forme polaire de la forme quadratique
$q(x)=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_2x_3$. 
\item Sur $\mathbb{R}^3$, la forme polaire de la forme quadratique 
$q(x)=x_1^2+3x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3+6x_2x_3$. 
\item \st Sur $M_2(\mathbb{R})$, $(A,B) \mapsto {\rm Tr }({^t}\!AB)$. 
\item \st Sur $M_2(\mathbb{R})$, $(A,B) \mapsto {\rm Tr }(AB)$. 
\end{enumerate}

\exercice
D\'emontrer les relations suivantes dans un espace vectoriel euclidien :
\begin{enumerate}
\item $||x+y||^2-||x-y||^2=4x \cdot y$. 
\item  $||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)$.
\end{enumerate}

\exercice
Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt pour orthonormaliser dans
$\mathbb{R}^3$ avec son produit scalaire usuel la base 
$(e_1,e_2,e_3)$, o\`u 
$e_1=\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\\{-1}\end{matrix}\right)$,
$e_2=\left(\begin{matrix}{1}\\{-1}\\{1}\end{matrix}\right)$ et
$e_3=\left(\begin{matrix}{-1}\\{1}\\{1}\end{matrix}\right)$. 

\exercice
Pour chaque espace euclidien $E$ ci-dessous muni du produit scalaire $\phi$,
appliquer la m\'ethode de Gram-Schmidt \`a la famille $\mathcal{F}$ 
afin de produire une base orthonom\'ee pour  $\langle\mathcal{F}\rangle$. 
Calculer la projection orthogonale de $v\in E$ sur 
$\langle\mathcal{F}\rangle$. 
Donner des \'equations d\'efinissant $\langle\mathcal{F}\rangle$.
\begin{enumerate}
\item $E=\R^3$, $\phi$ le produit scalaire canonique, 
$\mathcal{F} =
\left( \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} \right)$,
$v=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.
\item $E=\R^4$, $\phi$ le produit scalaire canonique, 
$\mathcal{F} =
\left( 
\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\\{0}\\{0}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{1}\\{0}\\{-1}\\{1}\end{matrix}\right),
\left(\begin{matrix}{0}\\{1}\\{1}\\{1}\end{matrix}\right) 
\right)$, 
$v=\left(\begin{matrix}{1}\\{1}\\{1}\\{1}\end{matrix}\right)$.
\item $E=\R_3[X]$, $\displaystyle \phi(P,Q)=\int_{-1}^1P(X)\,Q(X)dX$, 
$\mathcal{F} = (1,X,X^2)$, $v=X^3$.
\item $E=\R_3[X]$, $\displaystyle \phi(P,Q)=\int_{0}^1P(X)\,Q(X)dX$, 
$\mathcal{F} = (1,X,X^2)$, $v=X^3$.
\item \st  $E=\R^3$, $\phi(x,y)=
3x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+3x_3y_3$, 
$\mathcal{F} =
\left(
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} 
\right)$,
$v=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. 
\end{enumerate}

\exercice Consid\'erons dans $\R^2$ la forme quadratique $q(x,y)=4x^2+xy+y^2$.
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $q$ d\'efinit un produit scalaire sur $\R^2$.
\item Donner une base orthogonale de $\R^2$ pour ce produit scalaire. On pourra utiliser deux m\'ethodes pour y parvenir : soit appliquer le proc\'ed\'e d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, soit utiliser la r\'eduction de Gauss de $q$.
\end{enumerate}


\exercice
Consid\'erons sur $\R^3$, la forme quadratique $q$, d\'efinie par $$q(x,y,z)=x^2+4xy+5y^2-2yz+4z^2.$$
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que la forme bilin\'eaire associ\'ee \`a $q$ est un produit scalaire
  sur $\R^3$.  
\item Orthonormaliser, par le proc\'ed\'e de Gram-Schmidt, la base
  canonique de $\R^3$ pour obtenir une base de $\R^3$
  $q$-orthonormale. 
\end{enumerate}

\exercice
Nous consid\'erons l'espace $\mathcal{C}([-\pi, \pi],\R)$ 
des fonctions continues sur $[-\pi, \pi]$, \`a valeurs r\'eelles. 
Nous munissons cet espace du produit scalaire 
\[\langle f, g\rangle= \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)dx.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $m$ et $n$ sont des entiers distincts alors les
  fonctions $x \mapsto \cos(nx)$, $x \mapsto \cos(mx)$, 
  $x \mapsto \sin(nx)$  et $x \mapsto \sin(mx)$ sont
  deux \`a deux orthogonales pour ce produit scalaire. 
\item Calculer
  $\|x \mapsto \cos(nx)\|$ et $\|x \mapsto \sin(nx)\|$ 
  pour tout entier $n\in \N$.
\item Calculer la projection orthogonale de la fonction $x \mapsto x$ 
sur le sous-espace  de $\mathcal{C}([-\pi, \pi],\R)$ 
engendr\'e par les fonctions $1, \cos,\sin, x \mapsto \cos(2x), 
x \mapsto \sin(2x)$.\end{enumerate}

\exercice
Nous consid\'erons l'espace $\mathcal{C}([-1, 1],\R)$ des fonctions 
continues sur $[-1, 1]$, \`a valeurs r\'eelles. 
Nous munissons cet espace du produit scalaire 
\[\langle f,g\rangle= \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx.\]
\begin{enumerate}
\item Utiliser la m\'ethode de Gram-Schmidt afin de produire une
  base orthonorm\'ee pour le sous-espace
  $\R_2[X]\subset\mathcal{C}([-1, 1], \R)$.
\item Calculer la meilleure approximation polynomiale 
(au sens de la distance associ\'ee au produit scalaire 
$\langle \cdot,\cdot \rangle$) de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $2$
des fonctions suivantes : $\exp$, $\cos$ et $x \mapsto \sqrt{x+1}$. 
\end{enumerate}

\exercicedur
 Soit $P$ une matrice carr\'ee inversible de $\mathcal{M}_n(\R)$. 
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que la matrice ${^t}\!PP$ est sym\'etrique.
\item Pr\'eciser, dans la base canonique $(e_i)_{i=1,\ldots,n}$ de
  $\R^n$, la matrice de la forme quadratique associ\'ee au produit
  scalaire usuel (canonique). Que peut-on dire de la base canonique de
  $\R^n$ pour cette forme quadratique? 
\item Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie, dans la base canonique
  de $\R^n$, par la matrice  ${^t}\!PP$.  
\begin{enumerate}
\item Pour tout vecteur colonne $X$, dont les coordonn\'ees sont
  exprim\'ees dans la base canonique de $\R^n$, exprimer
  matriciellement la valeur $q(X)$. 
\item D\'emontrer que $q$ est une forme quadratique d\'efinie positive.
\item En d\'eduire, en fonction de $P$ et des vecteurs
  $e_1,\ldots,e_n$, une base $q$-orthogonale de $\R^n$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercicedur
Soit $(V, \langle~, \rangle)$ un espace euclidien et soit $W\subset V$
un sous-espace de dimension finie. Soit $p_W$ la projection orthogonale 
sur $W$. Montrer que
\begin{enumerate}
\item $p_W(v)=v$ si et seulement si $v\in W$
\item $p_W\circ p_W= p_W$
\item $p_W(v)=0$ si et seulement si $v\in W^\perp$.
\end{enumerate}

\exercice
Utiliser la m\'ethode de la projection orthogonale pour trouver 
les nombres $a$ et $b$ tels que $y=ax+b$ soit la meilleure droite 
d'approximation des points :
\begin{enumerate}
\item $(x=1, y=1), (x=2, y=3), (x=3, y=2).$
\item  $(x=1, y=0), (x=2, y=5), (x=3, y=7).$
\end{enumerate}

\exercice
Utiliser la m\'ethode de la projection orthogonale pour trouver la fonction
$x \mapsto g(x)=a+b \cos(x)+ c \cos(2x)$ qui minimise la distance
$d(g, x \mapsto x^2)$ dans l'espace $C^0([-\pi, \pi], \R)$ muni du produit scalaire 
$\displaystyle \langle f_1, f_2\rangle =\int_{-\pi}^\pi f_1(t)f_2(t) dt.$

\exercicedur
\begin{enumerate}
\item Soit $(v_1,\ldots, v_n)$ un famille de vecteurs de $\R^n$. Soit $P=(v_1|v_2|\ldots |v_n)$ la matrice dont les vecteurs colonnes sont les $v_i$. Montrer que $({^t}PP)_{ij}=\langle v_i,
  v_j\rangle$, o\`u $\langle-,-\rangle$ est le produit scalaire canonique de $\R^n$.
\item 
Soit $E$ un espace euclidien et soit $B_1$ une base orthonorm\'ee pour
$E$. Soit $B_2$ une autre base pour $E$. Montrer que $B_2$ est
orthonorm\'ee si et seulement si la matrice $P$ de changement de la base
$B_1$ \`a $B_2$ est une matrice orthogonale.
\end{enumerate}

\exercicedur
Soit $f$ une endomorphisme d'un espace euclidien $E$ muni du
produit scalaire $\langle -,-\rangle$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application $\phi :E\times E\rightarrow \R$
  donn\'ee par $\phi(v,w)=\langle v, f(w)\rangle$ est
  bilin\'eaire. 
\item Soit $B$ une base de $E$. Soit $M$ la matrice de l'application
  lin\'eaire $f$ dans la base $B$. Soit $N$ la matrice de
  l'application bilin\'eaire $\phi$ dans la base $B$. Montrer que si
  $B$ est une base orthonorm\'ee alors $M=N$. 
\item Montrer que r\'eciproquement 
si $B$ n'est pas orthonorm\'ee alors $M\neq N$.
\end{enumerate}


\exercice
Montrer que le produit de deux r\'eflexions dans $\R^2$ est une
rotation dans $\R^2$.


\exercice
Pour chaque matrice sym\'etrique $3\times 3$, trouver une base $B_1$ de 
$\mathbb{R}^3$, compos\'ee de vecteurs propres de $A_i$, qui est orthonorm\'ee
pour le produit scalaire canonique.

\[A_1=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}
A_2=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&1\end{pmatrix}A_3= \begin{pmatrix}5&-1&2\\-1&5&2\\2&2&2\end{pmatrix}.\]

\exercice
Pour chaque forme quadratique $q$, trouver une base de $\mathbb{R}^3$
qui est $q$-orthogonale et orthonorm\'ee pour les produit scalaire canonique 
sur $\mathbb{R}^3$.
\begin{enumerate}
\item
  $q(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz-2yz$.
\item $q(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})=2x^2+4y^2+z^2+4xy-
2\sqrt{2}xz+4\sqrt{2}yz$.
\end{enumerate}

\newpage

\setcounter {exercice}{0}

\noindent \textbf{UGA-MAT404  \hfill TD 4 - S\'eries num\'eriques \hfill 2020}

\exercice

Soit $\lambda\in \mathbb{C}$, $\lambda\neq 1$, et
$k\in\N$. D\'emontrer par r\'ecurrence sur $k$ la formule $
1+\lambda+\ldots +\lambda^k=\frac{1-\lambda^{k+1}}{1-\lambda}.$

\exercice
D\'eterminer si les s\'eries suivantes convergent ou non (utiliser une
comparaison ou le crit\`ere de d'Alembert dans certains cas).
\begin{enumerate}
\item $\left(\sum_{n\geq 1} \frac{\sin(n)}{n^2}\right)$
\item $\left(\sum_{n\geq 1} \frac{n^{-1/2}}{2^n}\right)$
\item $\left(\sum_{n\geq 1}\frac{\ln(n)}{n}\right)$
\item $\left(\sum_{n\geq 1}\frac{2^n}{n!}\right)$
\end{enumerate}

\exercice
Pour chaque s\'erie ci-dessous, d\'eterminer si elle converge.
\begin{enumerate}
\item $\left(\sum_{n\geq1}e^{\frac{1}{n^2}}-\cos(\frac{1}{n})\right)$
\item $\left(\sum_{n\geq 1}n^{\frac{3}{2}}(e^{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n}-1)\right)$
\item $\left(\sum_{n\geq1}\frac{1-\cos(\frac{1}{n})}{\sin(\frac{1}{n})}\right)$
\item $\left(\sum_{n\geq1}(\sqrt{n^\alpha}-\sqrt{(n-1)^{\alpha}})\right)$ 
(discuter selon les valeurs de $\alpha$). 
\item $\left(\sum_{n\geq1}\sin(\frac{1}{n}-\sin(\frac{1}{n})\right)$
\item $\left(\sum_{n\geq 1}\log(1+\frac{1}{n})-\log(1-\frac{1}{n})\right)$
\item $\left(\sum_{n\geq 1}{e^{1\over n}\over n+1}\right)$
\item $\left(\sum_{n\geq 1}{e^{1\over n}-1\over \sqrt{n+1}}\right)$
\item $\left(\sum_{n\geq 1}n\ln\Big(1+{1\over n}\Big)\right)$
\item $\left(\sum_{n\geq 1}{1-n\ln(1+{1\over n})\over \sqrt{n+1}}\right)$
\end{enumerate}


\exercice

On consid\`ere dans cet exercice des s\'eries de la forme 
$(\sum_{n\geq 1} n^\alpha \lambda^n)$
avec $\lambda\in \mathbb{C}$ et $|\lambda| < 1$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant le crit\`ere de d'Alembert, montrer que 
cette s\'erie converge.
\item En d\'eduire que pour tout polyn\^ome $P$ et tout $\lambda$ tel que  
$|\lambda| < 1$ la s\'erie $(\sum_{n\geq 1} P(n) \lambda^n)$ converge.
\end{enumerate}

\exercice

On consid\`ere dans cet exercice des s\'eries de la forme $(\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n^\alpha \log(n)^\beta})$
avec $\alpha, \beta$ des nombre r\'eels strictement positifs. 
\begin{enumerate}
\item Par comparaison avec $\sum \frac{1}{n^\alpha}$, montrer que 
cette s\'erie converge lorsque $\alpha >1$.
\item On suppose maintenant $\alpha <1$. 
Quelle est la limite quand $n\rightarrow \infty$ de
$n^{\alpha -1}\log(n)^{\beta}$ ?
\item En supposant toujours que $\alpha <1$, d\'emontrer l'existence d'une 
constante $C$ telle que pour tout $n$ $\frac{1}{n^\alpha \log(n)^\beta}\geq
\frac{C}{n}$. 
En d\'eduire que dans ce cas la s\'erie 
$(\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n^\alpha \log(n)^\beta})$ diverge quel que soit 
$\beta$. 
\end{enumerate}

\newpage

\setcounter {exercice}{0}

\noindent \textbf{UGA-MAT404  \hfill TD 5 -  S\'eries de Fourier \hfill 2020}

\exercice Donner les coefficients de Fourier trigonom\'etriques des
fonctions suivantes, d\'efinies sur $[-\pi,\pi]$:\\
\noindent 1. $f(x)=\cos(2x)$,\\
\noindent 2. $f(x)=3+2\cos(3x)+4\sin(5x)$,\\
\noindent 3. $f(x)=\cos^2(x)$.

\exercice
Soit $f:[-\pi,\pi]\to\R$ une fonction int\'egrable. \\
\noindent 1. Montrer que si $f$ est paire alors sa s\'erie de Fourier est une
s\'erie de cosinus.\\ 
\noindent 2. Montrer que si $f$ est impaire alors sa s\'erie de Fourier est
une s\'erie de sinus. 


\exercice
\begin{enumerate}
\item Trouver les coefficients de Fourier trigonom\'etriques
de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=x^2$. 
\item En d\'eduire les coefficients de Fourier exponentiels de $f$, $c_k$.
V\'erifier qu'on a bien $c_k=\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-ikx}$.
\item En d\'eduire, en utilisant le th\'eor\`eme de Parseval, que
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.$$  
\end{enumerate}

\exercice
\begin{enumerate}
\item Trouver les coefficients de Fourier trigonom\'etriques
de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=|x|$. 
\item En d\'eduire les coefficients de Fourier exponentiels de $f$, $c_k$.
V\'erifier qu'on a bien $c_k=\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-ikx}$.
\item 
En d\'eduire les valeurs de $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$ 
et $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^4}$. 
\item Calculer $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}$. 
\end{enumerate}
\exercice
Soit de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=|\sin(x)|$.
Calculer le d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $f$.


\exercice
Soit $a\in\R\setminus\mathbb{Z}$ et de la fonction ${f:[-\pi, \pi]\to\R}$
donn\'ee par $f(x)=\cos(ax)$. 
Calculer le d\'eveloppement en s\'erie de
Fourier de $f$ et montrer que 
$$
\frac{\pi}{\tan(a\pi)}=\frac{1}{a}+ 2a \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a^2-n^2}.
$$  


\exercice
D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de sinus de la fonction 
$$f:]0,\pi[\to\R,\quad f(x)=e^x.$$


\exercice
D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de cosinus de la fonction
$$f:[0,\pi]\to\R,\quad 
f(x)=\begin{cases} 
x&\text{ si }0 \leq x<\displaystyle\frac{\pi}{2} , \\
\pi-x&\text{ si }x\geq\displaystyle\frac{\pi}{2}.
\end{cases}
$$

\exercice On consid\`ere la fonction $2\pi$-p\'eriodique d\'efinie sur
par $f(x)=x$ pour $x=[-\pi,\pi[$. Calculer les coefficients de Fourier
    de $f$, et \'etudier la convergence de la s\'erie de Fourier $S(f)(x)$
    pour $x\in[-\pi,\pi]$ en utilisant le th\'eor\`eme de Dirichlet
    (on pourra traiter s\'epar\'ement les cas $x=\pm\pi$).

\exercice On consid\`ere la fonction $1$-p\'eriodique d\'efinie sur
par $f(x)=x$ pour $x=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[$. Calculer la s\'erie
    de Fourier $S(f)(x)$ et \'etudier sa convergence (on pourra soit
    calculer les coefficients de Fourier directement en utilisant les
    formules du cours pour les fonctions $1$-p\'eriodiques, soit faire
    un changement de variables dans la s\'erie de Fourier de
    l'exercice pr\'ec\'edent).
    
\exercice (Juin 2019)
Dans cet exercice, on admettra que pour $n$ entier non nul, on a~:
$$ \int_0^\pi x^3\sin(nx) \ dx =-\pi
(n^2\pi^2-6)\frac{(-1)^n}{n^3} $$
Soit $S(f)$ la s\'erie de Fourier de la fonction d\'efinie
sur $[-\pi,\pi]$ par $f(t)=t^3$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coefficients de Fourier de $f$
\item Montrer que $S(f)(t)=f(t)$ pour $t\in]-\pi,\pi[$ en appliquant le
    th\'eor\`eme de Dirichlet (on justifiera que les hypoth\`eses sont
    v\'erifi\'ees).
\item La formule pour $S(f)(t)$ de la question pr\'ec\'edente est-elle
  valable pour $t=\pi$? Sinon, que vaut $S(f)(\pi)$~?
\item D\'eterminer la valeur de la s\'erie de Fourier au point
  $t=\pi/2$. En d\'eduire une s\'erie convergente dont la somme vaut $\pi^3/8$.
\item Montrer que l'identit\'e de Parseval s'applique. En d\'eduire une formule pour~:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n^2\pi^2-6)^2}{n^6} $$
% pi^6/14
\item Les s\'eries suivantes sont-elles convergentes~:
  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$, 
  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}$, 
  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6}$~?
\item
Calculer $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6}$, sachant que
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6},
\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90} $$
\end{enumerate}




\end{document}
