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\title{Mat 404 CC2 }
\date{26/03/2019}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat404 \hfill 2018/9}

\begin{center}
Deuxi\`eme contr\^ole continu du mardi 26 mars, 9h45-10h45.\\
{\em Documents interdits \`a l'exception d'une feuille manuscrite A4
  recto-verso.\\ Calculatrices, t\'el\'ephones portables, ordinateurs,
  ... interdits.}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\section*{Exercice 1 }
Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie sur $\mathbb{R}^2$ par $q(x,y)=3x^2-12xy+13y^2$.\\
\begin{enumerate}
\item Donner la matrice de $q$ dans la base canonique.
\item \begin{enumerate}
\item Appliquer \textbf{l'algorithme de Gauss} pour exprimer $q(x,y)$ comme une somme de carr\'es.
\item En d\'eduire la signature de $q$, ainsi que son rang. Est ce que
  $q$ est un produit scalaire de $\mathbb{R}^2$ ?
\item Donner une base orthogonale pour $q$.
\item Existe-t-il une base de $\mathbb{R}^2$ orthonorm\'ee pour $q$ ? Si oui, en trouver une. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\section*{Exercice 2 }
On consid\`ere la famille de vecteur de $\mathbb{R}^3$, $F=\left\{ \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix} ; \begin{pmatrix}
-1\\
0\\
1
\end{pmatrix} \right\}$
\begin{enumerate}
\item On consid\`ere l'ensemble $H= \lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \vert x-2y+z=0 \rbrace$. Montrer que $H$ est un espace vectoriel et que $F$ en est une base.
\item En d\'eduire une base orthonorm\'ee de $H$ pour le produit scalaire usuel \textbf{\`a l'aide du proc\'ed\'e de Gram-Schmidt}.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 }
On consid\`ere la forme quadratique d\'efinie sur $\mathbb{R}_{2}[X]$ par : $$q(P)=2P'(0)^2-4P(0)P''(0)$$
\begin{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item Calculer $q(a+bX+cX^2)$ puis la r\'eduire en une somme de carr\'es par \textbf{l'algorithme de Gauss}.
\item En d\'eduire la signature de $q$, ainsi que son rang. Existe il
  une base de $\mathbb{R}_2[X]$ orthonorm\'ee pour $q$ ?
\end{enumerate}
\item D\'eterminer, par la m\'ethode de votre choix, la matrice $M$ de $q$ dans la base $\lbrace 1,X,X^2 \rbrace$.
\item Calculer la matrice de passage $P$ de $\lbrace 1,X,X^2 \rbrace$ \`a $\lbrace X,1-X^2,1+X^2 \rbrace$.
\item Calculer, \textbf{\`a l'aide de la question pr\'ec\'edente}, la matrice de $q$ dans la base $\lbrace X,1-X^2,1+X^2 \rbrace$, puis en d\'eduire une base orthogonale pour $q$.
\end{enumerate}




\end{document}

\section*{Exercice 4}
\begin{enumerate}


\item Rappeler une formule permettant de retrouver une forme bilin\'eaire $\Phi$ connaissant sa forme quadratique $q$.
\item En d\'eduire la forme polaire associ\'ee \`a la forme quadratique suivante : $$q : \begin{array}{lrc}
\mathbb{R}_5[X]& \rightarrow & \mathbb{R}\\
P & \mapsto & 2P'(0)^2+\int_{0}^{1} P^2(x) \,\, dx
\end{array}$$
\item La forme quadratique $q$ ci-dessus est elle un produit scalaire ?
\end{enumerate}
