%%%%%% le 16 avril 2015%%%%%%%%%%%%


\documentclass[french,9pt]{article}
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\def\ds{\displaystyle\sum}
\def\dl{\displaystyle\lim}
\def\df{\displaystyle\frac}
\def\mb{\mathbf}
\def\di{\displaystyle\int}
\pagestyle{empty}



\begin{document}


\vspace{-3cm}\textbf{\large MAT404} \hspace{1cm} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{\large Universit%
\'{e} Grenoble Alpes}\hspace{1cm} \hfill \textbf{\large  \ \ 20 mai 2019}

\begin{center}
\medskip \textsf{Dur\'ee~: 2 heures}

\smallskip {\textsf{Seule une feuille \underline{manuscrite}
recto-verso de format A4 est autoris\'ee.}}

 {\textsf{Le bar\`eme tiendra compte de la longueur de l'\'enonc\'e.}}

\vspace{0.5cm} \textbf{\large Formes quadratiques, Analyse de Fourier}
\end{center}

\medskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 1}}~:

\begin{enumerate}
	
	\item Soit $\phi:\hbox{\bbfnt\char'122}^2\,\times \hbox{\bbfnt\char'122}%
	^2\,\rightarrow \hbox{\bbfnt\char'122}\,$ une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Soit $M$ la matrice de $\phi$ dans une base $B$ de $\hbox{\bbfnt\char'122}^2$.  Sous quelle(s) condition(s) sur $M$ la base $B$ est elle $\phi$%
		-orthogonale ? $\phi$-orthonorm\'ee ?
		\item A quelles conditions sur la signature et sur le rang, la forme $\phi$ est elle un produit scalaire ?
		\item Les matrices suivantes peuvent elles repr\'esenter $\phi$ dans des bases diff\'erentes de $\hbox{\bbfnt\char'122}^2$ ?
		
		 {$M\;=\;\left(%
			\begin{array}{rrr}
			1 & 1 \\ 
			1 & 0 \\ 
			\end{array}%
			\right)$}, {$\;N\;=\;\left(%
			\begin{array}{rrr}
			1 & 1 \\ 
			1 & 1 \\ 
			\end{array}%
			\right)$}.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Soient $V$ un espace vectoriel r\'eel de dimension finie, $B_1$
	et $B_2$ deux bases de $V$. 
	Soit $\phi:V\times V\rightarrow \hbox{\bbfnt\char'122}\,$ une forme bilin\'eaire symétrique.
	
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $u$ un vecteur de $V$. Soient $U_1$ et $U_2$
		les vecteurs colonnes des coordonn\'ees de $u$ dans les bases $B_1$ et $B_2$.
		
	\begin{enumerate}	
		\item Donner le lien entre $U_1$, $U_2$ et $P$ la matrice de passage de $%
		B_1$ vers $B_2$.
			\item On suppose $\dim V=2$, {$P=\left(%
				\begin{array}{rrr}
				 1 & 2 \\ 
				 0 & 1%
				\end{array}%
				\right)$}. On pose {$U_1=\left(%
			\begin{array}{rrr}
		x_{1} \\ 
	y_{1}%
\end{array}%
\right)$}, {$U_2=\left(%
\begin{array}{rrr}
x_{2} \\ 
y_{2}%
\end{array}%
\right)$}.   Trouver $x_{2}$ et $y_{2}$ en fonction de $x_{1}$ et $y_{1}$.
	\end{enumerate}

		\item Soient $M_{1}$ et $M_{2}$ les matrices de $\phi$ dans les bases $B_1$ et  $B_2$ respectivement.
		\begin{enumerate}
		
		 \item Donner le lien entre $M_1$, $M_2$ et $P$.
		 \item On suppose  {$M_{1}=\left(%
		 	\begin{array}{rrr}
		 	 1 & -2 \\ 
		 	 -2 & 5%
		 	\end{array}%
		 	\right)$} et $P$ comme dans $2$.(a).ii. Trouver $M_{2}$.
	 	\item En se basant sur la question pr\'ec\'edente, $\phi$ est elle d\'efinie positive ? Donner une base $\phi$-orthonorm\'ee sans calcul.
		 
		 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


	


\end{enumerate}

\vspace{1cm}



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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 2}}~:

\bigskip
Soit $\phi $ la forme bilin\'{e}aire sym\'etrique $\phi :\hbox{\bbfnt\char'122}%
^{3}\,\times \hbox{\bbfnt\char'122}^{3}\,\rightarrow \hbox{\bbfnt\char'122}%
\, $ dont la forme quadratique associ\'ee, \'{e}crite dans la base canonique
est {$q\left( 
	\begin{array}{r}
	x_{1} \\ 
	x_{2} \\
	x_{3}%
	\end{array}%
	\right) =x^{2}_{1}-4x_{1}x_{2}+3x^{2}_{2}-x^{2}_{3}\ $}.
\begin{enumerate}
	\item Donner $M$, la matrice de $\phi $ dans la base canonique.
	
	\item Utiliser l'algorithme de Gauss pour r\'{e}duire $q\left( 
	\begin{array}{r}
	x_{1} \\ 
	x_{2} \\
	x_{3}%
	\end{array}%
	\right) $ \`{a} une combinaison linéaire de carr\'{e}s. En d\'{e}duire la signature de $q$.
	La forme $\phi $ est elle un produit scalaire ?  Existe-t-il une base $\phi $-orthonorm\'ee de $\hbox{\bbfnt\char'122}^{3}$ ?

\item En utilisant la question pr\'ec\'edente, trouver une base $B$ de $\hbox{\bbfnt\char'122}^{3}$
qui soit $\phi$-orthogonale.

\end{enumerate}

\smallskip

\hfill{\footnotesize \textsl{Tournez s.v.p.}}

\pagebreak


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{1cm}


\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 3}}~:

\begin{enumerate}

\item Montrer que les s\'{e}ries $\left( \sum\limits_{n\geq 0}\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}\right)$ et $\left( \sum\limits_{n\geq 0}\frac{1}{\left(2n+1\right)^{4}}\right) $  sont convergentes.


\item 
\begin{enumerate}
	
	\item Calculer $\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }\left| x\right|dx$. On pourra utiliser la parit\'e pour ramener l'int\'egrale sur $\left[ 0,\pi\right] $.

\item Par une int\'{e}gration par partie, calculer $\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }\left| x\right|\cos (kx)dx$ pour $k$ entier, $%
k>0$. 
On pourra utiliser la parit\'e pour ramener l'int\'egrale sur $\left[ 0,\pi\right] $ et on distinguera les cas $k=2n$ et $k=2n+1$. 
On rappelle que $\cos (k\pi)=(-1)^{k}$. 


\end{enumerate}

\item En d\'{e}duire les coefficients de Fourier trigonom\'{e}triques $%
a_{0}(f)$, $a_{k}(f)$ et $b_{k}(f)$ pour $k>0$ de la fonction $f$ d\'{e}finie
sur $[-\pi ,\pi ]$ par $f(x)=\left| x\right|$.



\item Utiliser le th\'{e}or\`{e}me de Dirichlet et montrer que, pour tout  $x\in \left] -\pi ,\pi \right[ $ :%
\[
\left| x\right|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi }\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}\cos \left( \left(2n+1\right)x\right) 
\]%
(on \'{e}noncera et v\'erifiera toutes les hypoth\`{e}ses n\'{e}cessaires).


\item A l'aide de l'identit\'{e} de Parseval, calculer $ \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{\left(2n+1\right)^{4}}$
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{1cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hspace{-0.5cm}\underline{\textbf{Exercice 4}}~:

\bigskip
On rappelle que $\cos^{2}(u)=\frac{1+\cos(2u)}{2}$.
\medskip

On consid\`{e}re le $\hbox{\bbfnt\char'122}$-espace vectoriel $V=C^{0}\left( \left[ -\pi ,\pi \right] ,%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) $ muni du produit scalaire :%
\[
\left\langle f,g\right\rangle =\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) g\left(
x\right) dx 
\]%
et un sous espace $W$ de $V$ d\'efini par $W=\mbox{Vect}\left\{ 1,\cos(x)\right\} $.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left\{ 1,\cos(x)\right\} $ est une base orthogonale de $W$. Par
une normalisation de chacun des vecteurs de cette base, en d\'{e}duire une base
orthonorm\'{e}e $\left\{ e_{1},e_{2}\right\} $ de $W$.

\item Rappeler la formule g\'en\'erale de la projection orthogonale d'un
vecteur $f\in V$ sur $W$. (on utilisera la base $\left\{ e_{1},e_{2}\right\} 
$).

\item Si $f$ est impaire, simplifier la formule obtenue en $2$.

\item Calculer les projections orthogonales des
fonctions $f\left( x\right) =1+\sin(x)$ et $g\left( x\right) =\cos^{2}(\frac{x}{2})$ sur $W$. 

\item On note $W'$ le sous espace vectoriel de $V$ d\'efini par $W'=\mbox{Vect}\left\lbrace 1+\sin(x),1-\sin(x)\right\rbrace $ et $p_{W}$ la projection orthogonale de $W'$ sur $W$.  Trouver une base de Ker$\left(p_{W} \right) $. 
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{1cm}

\end{document}
