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\title{Mat 406 }
\date{19/05/2019}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat406 \hfill 2022}

\begin{center}
Examen du jeudi 19 mai, 8h30-10h30.\\
{\em Documents interdits \`a l'exception d'une feuille manuscrite A4
  recto-verso. Calculatrice autoris\'ee.\\ T\'el\'ephones portables, ordinateurs,
  ... interdits.\\
Ce sujet est compos\'e de 3 exercices (bar\^eme indicatif non
contractuel : 7, 6, 7).}
\end{center}

%\vspace{0.5cm}

\section*{Exercice 1}
On souhaite r\'esoudre sur l'intervalle $I=[3/4,1]$ l'\'equation 
$$\tan(x^2)=x \quad (E) $$ 
On pose $f(x)=\tan(x^2)$ et $g(x)=\tan(x^2)-x$.
\begin{enumerate}
\item Calculer une valeur approch\'ee de $g(3/4)$ et de $g(1)$.
D\'eterminer $g'$, en d\'eduire que $(E)$ admet sur $I$ une solution
  unique $r$.
\item D\'eterminer le signe de $g'{'}$ sur $I$ et une valeur approch\'ee de $g'(3/4)$.
\item Peut-on r\'esoudre $(E)$ par la m\'ethode du point fixe $u_{n+1}=f(u_n)$~?
Si oui, donnez une valeur de $u_0$ pour laquelle on peut assurer que
la m\'ethode converge, si non, justifiez.
\item Peut-on r\'esoudre $(E)$ par la m\'ethode de Newton $u_{n+1}=u_n-g(u_n)/g'(u_n)$~?
Si oui, donnez une valeur de $u_0$ pour laquelle on peut assurer que
la m\'ethode converge, si non, justifiez.
\item Donner une valeur approch\'ee de $r$ \`a $10^{-8}$ pr\`es, en
 pr\'ecisant la m\'ethode utilis\'ee et en justifiant en d\'etails l'encadrement.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
Soit 
$$ F(x)=\int_0^x \cos(t^2) \ dt$$
\begin{enumerate}
\item Donner le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres de $\cos(t^2)$
  en $t=0$. Quel est son rayon de convergence~?
\item En d\'eduire le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres de $F(x)$
  en $x=0$.
\item Donner une majoration du reste de la somme de la s\'erie lorsque
  $|x|\leq 1$
\item D\'eterminer une valeur approch\'ee de $F(1)$ \`a $10^{-8}$
  pr\`es, justifier.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
Soit $x_0=10^4, x_1=10^4+1, x_2=10^4+2$ et $y_0=1, y_1=0,y_2=2$.
Soit $P$ le polyn\^ome d'interpolation de degr\'e au plus 2
passant par les points $(x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2)$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer $P$ par l'algorithme des diff\'erences divis\'ees sous la
forme
$$ N(x)=\alpha_0 + (x-x_0) (\alpha_1+(x-x_1)\alpha_2)$$
\item D\'evelopper $P$ sous la forme
$$ D(x)=a_2 x^2 + a_1 x +a_0$$
\item Soit $x=10^4+1/3$. D\'eterminer $P(x)$ en calcul exact.
\item On calcule maintenant en approch\'e, $x=1000.0+1.0/3.0$.
D\'eterminer une valeur approch\'ee de
$P(x)$ en utilisant la forme $N(x)$ et la forme $D(x)$.
\item On suppose qu'on travaille avec des flottants avec une
  pr\'ecision relative de 15 chiffres (\verb|1e-15|).
Estimer l'erreur absolue sur $x-x_0$ et $x-x_1$, en d\'eduire
l'erreur relative sur $N(x)$.
\item Estimer l'erreur relative sur $D(x)$ en comparant $a_0$ avec
$D(x)$.
\item Expliquez la pr\'ecision
  des r\'esultats de la question 4.
Quelle forme faut-il choisir
  pour minimiser les erreurs~?
\end{enumerate}


\end{document}

tan(x^2)=x
integrale cos(x^2) par Simpson ou series entieres
