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\title{Mat 406 }
\date{19/05/2019}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat406 \hfill 2022}

\begin{center}
Examen du lundi 27 juin, 11h45-13h45.\\
{\em Documents interdits \`a l'exception d'une feuille manuscrite A4
  recto-verso. Calculatrice autoris\'ee.\\ T\'el\'ephones portables, ordinateurs,
  ... interdits.\\
Ce sujet est compos\'e de 3 exercices (bar\^eme indicatif non
contractuel : 6, 8, 6).}
\end{center}

%\vspace{0.5cm}

\section*{Exercice 1}
On s'int\'eresse aux racines du polyn\^ome
$$ P(x)=x^5-x+1$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(-2)$ et $P(-1)$, d\'eterminer le nombre de racines
de $P$ dans $[-2,-1]$.
\item Donner la suite r\'ecurrente qui permet de d\'eterminer une
  racine de $P$ par la m\'ethode de Newton
\item D\'eterminer le signe de $P'$, $P'{'}$ sur $[-2,-1]$, en
  d\'eduire une valeur de $u_0$ pour laquelle on peut certifier que
la m\'ethode de Newton converge vers une racine $r$ de $P$.
\item D\'eterminer $u_4$, et donner un encadrement de $r$ (on
  justifiera).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
Pour $x\in[0,1]$, on pose~:
$$ F(x)=\int_0^x \cos(t^2) \ dt$$
\begin{enumerate}
\item Calculer la d\'eriv\'ee seconde $F^{[2]}$ de $F$. D\'eterminer un
  majorant de $|F^{[2]}|$ sur $[0,1]$ (on justifiera rigoureusement).
\item D\'eterminer un nombre $N$ de subdivisions qui assure
que la m\'ethode du point milieu donne une valeur approch\'ee de $F(x)$
avec une erreur absolue inf\'erieure \`a \verb|1e-5|.
\item Calculer la d\'eriv\'ee d'ordre 4 $F^{[4]}$ de $F$. D\'eterminer un
  majorant de $|F^{[4]}|$ sur $[0,1]$ (on justifiera rigoureusement).
\item D\'eterminer un nombre $N$ de subdivisions qui assure
que la m\'ethode de Simpson donne une valeur approch\'ee de $F(x)$
avec une erreur absolue inf\'erieure \`a \verb|1e-5|.
\item Donner une valeur approch\'ee de $F(1)$ par cette m\'ethode.
\item Laquelle de ces deux m\'ethodes vous semble-t-elle la plus efficace~?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
On s'int\'eresse au calcul approch\'e pour $x \in [0,+\infty[$ de
$$ f(x)=\cos(\sqrt{x})$$
\begin{enumerate}
\item Rappeler le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres de cosinus
et son rayon de convergence.\\
En d\'eduire l'\'ecriture de $f$ sous forme d'une s\'erie enti\`ere
$$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}  u_n x^n $$
\item On fixe $x \in [0,1]$.  Montrer que $f(x)$ est une s\'erie altern\'ee.
% \item Montrer que
% $$|u_n| <\frac{1}{N+2} \frac{1}{(2N+2)!}
%   \left(\frac{1}{2N+2}\right)^{2(n-(N+1))}
% \quad \mbox{lorsque} \ n>N$$.
% \item En d\'eduire que pour $0\leq x<(2N+2)^2$
% $$ |\sum_{n=N+1}^{\infty}  u_n x^n| \leq  \frac{1}{(2N+2)!}
% \frac{1}{1-\frac{x}{(2N+2)^2}} $$
\item Soit 
$$ S_N= \sum_{n=0}^{N} u_n x^n $$
D\'eterminer $N$ pour que $S_N$ soit une valeur approch\'ee
avec une erreur inf\'erieure \`a \verb|1e-6| de $f(x)$ pour tout $x\in [0,1]$.
\item D\'eterminer par cette m\'ethode une valeur approch\'ee de
  $f(\frac{4}{5})$ \`a \verb|1e-6| pr\`es.
\item On fixe $x>1$. Montrer que $f(x)$ est une s\'erie altern\'ee \`a partir d'un rang $N$
d\'ependant de $x$ que l'on d\'eterminera.
\item Quel est l'ordre de grandeur de $N$ pour $x=10^6 \pi^2+\frac{4}{5}$~?
Peut-on proposer une m\'ethode plus efficace pour d\'eterminer $f(x)$~?
\end{enumerate}


\end{document}

