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\newtheorem{meg}{Mise en garde}
\newtheorem{thm}{Th\'{e}or\`{e}me}[section]
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\title{Mat 406 }
\date{19/05/2019}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat406 \hfill 2025}

\begin{center}
Examen du 16 mai, 13h-15h.\\
{\em Documents interdits \`a l'exception d'une feuille manuscrite A4
  recto-verso. Calculatrice autoris\'ee.\\ T\'el\'ephones portables, ordinateurs,
  ... interdits.\\
On pourra justifier le résultat de tout calcul fait à la calculatrice 
en indiquant sur la copie la commande utilisée.\\
Ce sujet comporte deux pages (barême indicatif non contractuel tenant compte de la longueur du sujet: 5, 5, 6, 6).
%Bar\^eme indicatif non contractuel : 6, 8, 6
%Barême: les trois exercices sont d'importance similaire.
}
\end{center}

%\vspace{0.5cm}


On souhaite déterminer une valeur exacte ou approchée de 
$$ F(t)=\int_0^t f(x) \ dx, \quad f(x)=\frac{x^{2}-2}{x^{4}+4} $$
pour $t\in[0,1]$ de plusieurs manières indépendantes.

\section{Calcul exact}
\begin{enumerate}
\item Déterminer deux polynômes $U$ et $V$ tels que
$$ (x^2-2x+2) U + (x^2+2x+2) V = x^2-2$$
\item En déduire une écriture de $f(x)$ sous la forme de somme de 
deux fractions de dénominateur de degré 2.
\item En déduire une primitive de $f(x)$ et la valeur de $F(t)$.
Donner $F(1)$ puis une valeur approchée à \verb|1e-3| près.
\end{enumerate}


\section{Calcul approché par la méthode du point milieu}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la dérivée seconde de $f$ à la calculatrice. 
Déterminer $M_2$ un majorant de $|f''|$
sur $[0,1]$ (on pourra calculer la dérivée 3-ième et ses racines
dans $[0,1]$ pour justifier).
\item On fixe $t=1$. Combien de subdivisions $N$ permettent de certifier
que la méthode du point milieu donne une valeur approchée de $F(1)$
avec une erreur inférieure à $\varepsilon$=\verb|1e-2|~? 
Donner la valeur approchée de $F(1)$
obtenue par la méthode du point milieu avec ce nombre de subdivisions.
\item Ce nombre $N$ de subdivisions 
permet-il d'assurer une erreur d'au plus $\epsilon$
pour toute valeur de $t\in[0,1]$~?
\end{enumerate}

\section{Calcul approché par interpolation}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P$ le polynôme d'interpolation de $f$ aux points
d'abscisses 0, 1/2 et 1.
\item Déterminer à la calculatrice la dérivée 3-ième de $f$ puis un majorant 
$M_3$ de $|f'''|$ sur $[0,1]$
(on pourra calculer la dérivée 4-ième, et des racines approchées
du numérateur sur $[0,1]$ pour justifier).
\item Donner une majoration de l'erreur d'interpolation
faisant intervenir $x(x-1/2)(x-1)$
\item En déduire une majoration de $|\int_0^1 (f(x)-P(x)) \ dx|$
(on pourra donner la valeur de  $\int_0^1|x(x-1/2)(x-1)| \ dx$ 
en indiquant la commande utilisée à la calculatrice). 
Comparer avec la valeur de l'erreur
(en utilisant la valeur exacte de $F(1)$)
\item Interpréter cette méthode comme une méthode
de Simpson dont on donnera le nombre de subdivisions.
En déduire une autre majoration de l'erreur commise, comparer
avec la majoration précédente.
\end{enumerate}

\section{Calcul approché par série entière}
\begin{enumerate}
\item En posant $x^4=4X$, montrer que pour $x^4<4$ on a 
$$\frac{1}{4+x^4}=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^\infty  \frac{(-1)^n}{4^n} x^{4n} $$
En déduire le développement en série entière de $f(x)$ en $x=0$
en multipliant par $x^2-2$.
\item Déterminer le développement en série entière de $F(t)$ en $t=0$
sous la forme 
$$ F(t)=\sum_{n=0}^\infty F_n t^{4n+1} + \sum_{n=0}^\infty G_n t^{4n+3} $$
\item Montrer que chacune de ces deux séries est une série alternée
pour $t\in [0,1]$.
\item On pose
$$ R_{F,N}(t)=\sum_{n=N+1}^\infty F_n t^{4n+1}, 
\quad R_{G,N}(t)=\sum_{n=N+1}^\infty G_n t^{4n+3} $$
Donner une majoration de $|R_{F,N}(t)|$ et de $|R_{G,N}(t)|$ en fonction
de $N$ et de $t$ pour $t\in[0,1]$.
%% \item Soit $N>0$ fixé. Montrer que 
%% $$n>N \ \Rightarrow \ |F_n| \leq \frac12  \frac{1}{4^{N+1}}$$
%% Qu'obtient-on pour $|G_n|$~?
%% \item On admettra que cela entraine que
%% le reste à l'ordre $4N$ de la série entière
%% donnant $F$ est majoré pour $t\in [0,1]$ par
%% $$ |R_{4N}| \leq \left(\frac{t^4}{4}\right)^{N+1} $$
%% Bonus~: le démontrer, indication~: on pourra commencer par 
%% montrer que la partie du reste formée par les termes  $F_nt^{4n+1}$
%% est inférieure à
%% $$ \frac{t}{2} \frac{\left(\frac{t^4}{4}\right)^{N+1}}
%% {1-\frac{t^4}{4}} $$
\item On fixe $t=1$.
Déterminer une valeur de $N$ telle que la somme partielle
de la série
$$ S_N(t)=\sum_{n=0}^N F_n t^{4n+1} + \sum_{n=0}^N G_n t^{4n+3} $$
soit une valeur approchée de $F(1)$ avec
une erreur inférieure à $\varepsilon$=\verb|1e-2|.
Donner la valeur approchée de $F(1)$ correspondante.
\item Cette valeur de $N$ convient-elle pour toute valeur de $t\in[0,1]$~?
\end{enumerate}


\end{document}

