un polynôme de degré 8

[alb]

Je propose à des élèves de trouver un polynôme à coeff entiers ayant a=(sqrt(2)-sqrt(3))/(sqrt(5)-sqrt(7)) pour racine.
on trouve 16*x^8-960*x^6+968*x^4-240*x^2+1
Je demande ensuite de prouver que ce polynôme a 8 racines.
la question suivante consiste à conjecturer l'expression des 7 racines autre que a et de vérifier que ce sont bien les racines.
On obtient les 8 racines:+-(sqrt(2)+-sqrt(3))/(sqrt(5)+-sqrt(7))

Une question se pose alors:
Peut-on trouver les 8 racines de 16*x^8-960*x^6+968*x^4-240*x^2+1 sans conjecture préalable ?
J'ai essayé cfactor avec complexe coché sans succès
J'ai factorisé (sqrt(5)-sqrt(7))*(16*x^8-960*x^6+968*x^4-240*x^2+1) avec succès mais le facteur (sqrt(5)-sqrt(7)) est une conjecture

[parisse]

Non, il n'est pas possible de le faire dans un cas comme celui-la. factor ou cfactor n'est pas l'outil le plus puissant pour deviner des racines parce qu'il factorise sur le corps des coefficients (à ceci près que les polynomes irréductibles de degré 2 sont factorisés si l'option sqrt est cochée), il vaut mieux utiliser solve ou csolve, mais ici il y a aussi échec, solve détecte bien un polynome bicarré (Warning! Algebraic extension not implemented yet for poly [16,-960,968,-240,1]) mais ne sait pas trouver ses racines exactement (il faudrait une implementation de Ferrari mais cela serait en général beaucoup trop compliqué).