u(n+1)=(1+1/u(n))^n

[alb]

Salut,
\(
u_1=a>0\text{ et }u_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)^n
\)
Conjectures:
il existe une unique valeur de a notée alpha telle que:
1/ si a<alpha alors la suite des rangs pairs diverge vers plus l'infini, la suite des rangs impairs converge vers 1
2/ si a>alpha alors la suite des rangs impairs diverge vers plus l'infini, la suite des rangs pairs converge vers 1
3/ si a=alpha alors on ne sait pas

Pour trouver un encadrement de alpha, j'ai fait:

Code : Tout sélectionner

fonction TableSuite(a,n)
  var k,u,L;
  u:=a;L:=[[1,a]];
  pour k de 1 jusque n-1 faire 
    u:=(1+1/u)^k;
    L.append([k+1,u]);
  fpour
  retourne L
ffonction:;

Puis (dichotomie à la main):
edit DIGITS:=70
TableSuite(1.18745235112,200)
et
TableSuite(1.18745235113,200)

Mes questions:
1/ Peut-on faire confiance aux tableaux de valeurs approchées obtenus ?
2/ Peut-on ecrire un programme renvoyant un encadrement de alpha à une precision donnee ?

[parisse]

sur la 1/ je pense que oui, car quand on change le nombre de digits, ça n'a pas l'air de générer d'instabilité. Mais je n'ai pas d'argument autre que cet argument expérimental. Sur le deuxième, je n'ai pas d'idée (à part augmenter empiriquement le nombre de digits selon la précision), il faudrait comprendre la précision nécessaire pour 1/.