bac 2025 avec KhiCAS

[parisse]

Indications d'utilisation de KhiCAS sur Casio Graph 90 pour le 1er sujet donné en 2025, https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Ame_rique_ ... 025_FK.pdf. KhiCAS sert principalement pour vérifier des calculs dans les exercices 3 et 4, pour lesquels la Graph 90 sans KhiCAS est assez démunie. Vous pouvez télécharger KhiCAS utilisable en mode examen depuis ici: https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... .html#sec4

N.B.: Les commandes sont identiques pour les Numworks, mais KhiCAS est utilisable en mode examen uniquement sur les N0110 non verrouillées, Numworks refuse pour le moment de "signer" KhiCAS pour l'autoriser en mode examen sur les N0115/N0120 et N0110 qui ont une version de l'OS Epsilon>=16. Sur les Casio Graph 35eii et sur les ti83ce, il n'y a malheureusement pas suffisamment de place pour les commandes de géométrie analytique 3d

Exercice 2.4.b: plutot que de saisir le script, je conseille d'utiliser une commande/app d'étude de suites numériques, soit celle de Casio, soit dans KhiCAS
menu F3, sélectionner plotseq et saisir
plotseq((2x+1)/(x+2),2,10)
vérifier la convergence vers 1 sur le graphique, quitter le graphique, et observez n=5 et n=6.

Remarque: on peut aussi utiliser une méthode exacte CAS:
menu F2, sélectionnez rsolve, puis flèche vers le bas, recopiez l'exemple puis modifiez le en
[un]:=rsolve(u(n+1)=(2*u(n)+1)/(u(n)+2),u(n),u(0)=2)
un contient maintenant l'expression de u(n) en fonction de n.
menu F2, sélectionnez solve,
solve(un-1<0.001,n)
renvoie la solution n sous forme n>=ln(667)/ln(3), on recopie (flèche vers le haut, EXE) et on modifie le 3 en 3.0 pour forcer le calcul en approché, on trouve n>=5.91... donc n=6.
N.B. si vous tapez F5, vous bloquez le clavier en mode alpha minuscule (taper ALPHA pour en sortir).

Exercice 3:
La calculatrice permet de vérifier les réponses, mais ne donne pas les justifications. C'est donc à mon avis une utilisation très pertinente!
Saisir les définitions, en s'aidant du menu F4 curseur haut plusieurs fois jusqu'à Geometrie (ou raccourci F4 touche -> au-dessus de AC/ON) ou bien de shift 4 (CATALOG), vous pouvez taper le début d'un nom de commande (la calc est en mode alpha).
d=droite(point(3,-1,2),[-2,0,-6])
(droite définie par un point et un vecteur directeur lu sur les équations paramétriques)
On peut vérifier avec parameq(d) qu'on a bien défini la bonne droite.
A=point(3,-3,-2)
B=point(5,-4,-1)
on calcule la valeur du paramètre de tete ou avec solve(3-2x=2)
C=point(3-2x,-1,2-6x)(x=1/2)
H=projection(plan(x+3z-7=0),B)
Question 3.1: inter_unique(d,droite([0,0,0],[0,0,1])) renvoie undef les droites ne sont pas sécantes (et d n'est pas parallèle à Oz) donc elles ne sont pas coplanaires.
Question 3.2: equation(orthogonal(A,d))
on trouve l'équation de l'énoncé multipliée par -2 donc VRAI
Question 3.3: distance(B,H)
renvoie la valeur de l'énoncé, donc VRAI
Question 3.4: angle(A,B,C)
renvoie 2/3*pi donc FAUX
Attention, le 1er paramètre de la commande angle est le sommet de l'angle.

Exercice 4:
4B.2: desolve(y+y'=0) (menu F2 pour desolve et pour saisir ')
4B.3 S=desolve(y+y'=(2x+3)*exp(-x))
4B.4 solve(S(x=0)=1,c_0) renvoie 1 (on peut le voir facilement sans calculatrice) donc
g=S(c_0=1)
soit exp(-x)+(x^2+3x)*exp(-x)
Un plot(g,x=-3..4) permet de vérifier avec le graphique.
S2=factor(S'')
permet de définir la dérivée seconde, on cherche ensuite le discriminant du 1er facteur x^2-x-4+c_0 en le sélectionnant et en le copiant avec shift CLIP
[A,B,C]:=coeff(shift PASTE)
(taper shift flèche du sto au-dessus de AC/ON pour saisir := ou bien utiliser shift INS pour le tableau de caractères, le := est ici nécessaire pour faire une multi-affectation)
solve(B^2-4*A*C>0,c_0)
renvoie c_0<17/4
(il faut que je rajoute une commande discriminant...)

4C2
f:=(x^2+3x+2)*exp(-x)
tabvar(f) (faire shift-zoom pour voir les flèches croissant/décroissant)
4C4 integrate(f,x,0,a)

[parisse]

Amérique 2ème jour https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Amerique_d ... _DV_FK.pdf

Exo 1 est proba-stats, pas besoin de CAS.
Exo 2: suite récurrente, question d'algo avec seuil qui se résoud sans utiliser l'app Python de la calculatrice. Pas besoin non plus de CAS. Dans KhiCAS, on peut trouver la valeur de n au B2a en utilisant plotseq(sqrt(x),2,10)

Comme précédemment ce sont les exos 3 et 4 où l'intérêt de disposer de KhiCAS est manifeste, face aux applis de Casio qui ne peuvent pas faire grand chose.

Exo 3: Comme précédemment, la géométrie 3d de KhiCAS (sur Graph 90) permet de vérifier tous les calculs, sans dénaturer l'épreuve car c'est l'élève qui justifie. Voici comment (je détaille pas mal, car la géométrie analytique 3d est vraiment une spécificité de KhiCAS que vous ne retrouverez sur aucune autre calculatrice, CAS ou pas CAS).

Partie A:
On commence par créer les objets. On peut le faire ligne par ligne ou bien en ouvrant Applications (F6 1) puis nouvelle figure 3d, puis EXIT pour passer en vue symbolique et définir les objets par des commandes. Si on tape ligne après ligne, on a juste l'affichage de l'objet géométrique qui vient d'être créé, si on a fait une figure, on peut taper EXE pour visualiser l'ensemble des commandes (et EXIT pour revenir).

On crée d'abord le cube, appelons-le c.
Taper F5 (cela bloque le clavier en mode alpha minuscule), puis c puis ALPHA pour quitter le mode alphabétique, puis shift =, puis saisir cube, en s'aidant du catalogue (shift CATALOG puis taper le début du nom de commande) pour avoir l'aide en ligne de la commande cube. En tapant F6 on a la syntaxe, puis on tape F2 pour copier le 1er exemple qui correspond exactement à ce qu'on veut.
On crée ensuite les 8 sommets d'un seul coup, avec la commande sommets
A,B,C,D,E,F,G,H:=sommets(c)
(pour taper :=, vous pouvez utiliser shift touche sto juste au-dessus de AC/ON, ou shift INS pour avoir la table de caractères, ici := est nécessaire pour une multi-affectation).
On crée ensuite les milieux
I=milieu(A,B)
J=milieu(B,F)
K=milieu(A,E)
L=milieu(C,D)
M=milieu(D,H)
Pour avoir les coordonnées d'un vecteur, il suffit de faire la différence entre l'extrémité et l'origine
H-J
renvoie [-1,1,1/2]
2*(I-B)+(M-D)-(B-C)
renvoie la même chose, 1ère affirmation VRAI
basis(B-A,H-A,G-A) renvoie une base de l'espace engendré par les 3 vecteurs, cette base a 2 éléments donc 2ème affirmation FAUX
(B-I)*(M-L) renvoie -1/4 donc 3ème affirmation VRAI

Partie B:
P=plan(2x-y+3z+6=0)
A=point(2,0,-1)
B=point(5,-3,7)
est_parallele(P,droite(A,B))
renvoie 0 donc 4ème affirmation FAUX
equation(parallele(B,P))
renvoie 2x-y+3z-34=0, donc 5ème affirmation VRAI
distance(A,P)
renvoie sqrt(14)/2 donc 6ème affirmation VRAI
I=inter_unique(droite(A,B),droite(point(-12,6,3),[2,0,-5]))
on voit un point d'intersection, dont les droites sont sécantes donc coplanaires, 7ème affirmation FAUX

Exo 4:
Partie A
F=exp(x)*sin(x)
F1:=F' (taper F2 pour saisir ')
F1(x=0) donne 1 la pente de la tangente en x=0, équation y=x
On peut vérifier graphiquement avec G=plot(F,x,-1,2) puis touche x,theta,t puis 3 (Entrer x), puis 0, on voit les coordonnées et la pente de la tangente (m=1.0). Taper la touche / pour orthonormaliser le repère.
F2:=F1'
factor(F2) donne 2*cos(x)*exp(x) qui permet de déterminer le signe + sur [0,pi/2] pour justifier la convexité et vérifier qu'on a une inflexion en pi/2

Partie B
I=integrate(F,x,0,pi/2) (taper F2 3 pour saisir integrate)
renvoie exp(pi/2)/2+1/2
J=integrate(cos(x)*exp(x),x,0,pi/2)
renvoie exp(pi/2)/2-1/2
et on vérifie les 2 relations.
Enfin; la dernière question est évidente I-1/2*(pi/2)^2

[parisse]

22 mai, sujet de secours https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Amerique_d ... 025_FK.pdf
Ici on a 3 des exercices sur 4 où KhiCAS permet de faire des vérifications qui sont la plupart du temps non faisables avec les apps de Casio.
Pas de question d'algorithmique dans ce sujet, donc l'app Python ne sert pas (et dans les 2 sujets précédents il vaut mieux s'en passer à mon avis...)

Exercice 1:
F=x*exp(-x)+2x-1
partie A
1.1 limit(F,x,oo) (limit est dans le menu rapide F2, oo ou inf représente +infini et se trouve dans le menu rapide F1. Attention infinity sans signe + ou - représente l'infini en valeur absolue)
renvoie +infinity
limit(F,x,-oo)
renvoie -infinity
1.2 F1=F' (' est dans le menu rapide F2)
1.3 F2=factor(F1') (factor dans le menu rapide F1)
1.5 tabvar(F1) donne le tableau de variations, on peut aussi faire directement F1(x=2) (solve(F2=0) si c'est plus compliqué)
1.7 solve(F=0) ou fsolve(F=0) (résolution approchée) renvoie 0.3718..., on justifie avec F(x=0.37) et F(x=0.38)

partie B
B.1 I=integrate(x*exp(-x),x,1,N) (integrate est dans le menu rapide F2)
B.2 limit(I,N,oo)
renvoie 2/exp(1)

Exercice 2: sur Graph 90
Si on veut obtenir une représentation graphique de tous les objets créés simultanément, il faut faire menu F6 1 (Applications) puis 1 (Geometrie) puis nouvelle figure 3d. Taper EXIT pour afficher la vue symbolique depuis la figure (vide au début), et EXE pour revenir à la figure. Les menus rapides F1 et F2 contiennent des commandes de géométrie, qui sont en général en français.
Sinon, taper les commandes directement dans le shell, en s'aidant du menu F4 Geometrie ou 3d ou de shift CATALOG (taper le début du nom de commande pour se déplacer rapidement dans l'index)
A=point(-2,3,1)
B=point(1,3,-4)
C=point(6,3,9)
D=droite(point(3,-2,1),[-1,3,4])
2.1 se fait de tete.
2.2 est_orthogonal(D,plan(A,B,C))
renvoie 0 donc FAUX.
2.3 D1=droite(point(-4,1,2),[2,-3,1])
Si on a lancé l'appli de géométrie, on peut changer le point de vue avec les curseurs droit/gauche et voir que les droites ne sont pas sécantes. Si on est dans le shell, on peut taper D,D1 pour voir sur la meme figure les deux droites.
On peut aussi taper inter_unique(D,D1) qui renvoie undef ou inter(D,D1) qui renvoie une liste vide.
FAUX
2.4 P=plan(2x-3y+z-6=0)
E=point(-5,0,2)
F=projection(P,E)
coordonnees(F) (commande à faire dans le shell)
renvoie [-3,-3,3] donc VRAI
2.5 on se doute que c'est faux, le seul cas possible avec 1 solution serait a=0 par symétrie.
[-1,3,4]*[-3,1,-a^2] renvoie 6-4a^2, 2 solutions.

Exercice 3: proba-stats pas besoin de CAS

Exercice 4:
KhiCAS permet de déterminer l'expression de la suite en fonction de n. Depuis le menu F2, sélectionner rsolve( puis tapez curseur vers le bas pour afficher le catalogue à la commande (ou taper shift CATALOG puis rs), taper alors F5 pour afficher l'aide, puis F2 pour saisir le premier exemple, et modifiez-le en
[UN]=rsolve(u(n+2)=u(n+1)-1/4*u(n),u(n),u(0)=1,u(1)-=1/2)
cela renvoie [n*(1/2)^n]
On vérifie avec u(2) qu'on n'a pas fait d'erreur de saisie.
On peut donc affirmer que la limite en infini est 0
limit(x*(1/2)^x,x,oo)

partie B
UN(n=n+1)-1/2*UN
affiche l'expression de v_n, appuyer sur le curseur vers le haut pour tout sélectionner puis menu F1 simplify, on obtient que wn vaut 2^(-n-1), la suite est bien géométrique.

[parisse]

Sujet 4 (Asie)
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Asie_spe_J ... 025_DV.pdf

Exercice 1: on vérifie avec KhiCAS
point(1,1,0) => A
point(2,1,0) => B
point(a,3,a) => C
plan(A,B,C) => p
equation(p) renvoie -a*y+a-2*z=0, affirmation 1 fausse
C-A renvoie [a-1,2,a] est colinéaire à [1,2,-1] si a==-1 pour la 3ème composante et a==2 pour la 1ère, affirmation 2 fausse
point(0,0,0) => O
angle(A,O,B) renvoie 3/4*pi donc affirmation 3 vraie
droite(point(1,0,0),[1,2,-1]) => d
affirmation 4 fausse car H n'appartient pas à d (t==0 avec la 1ère coordonnée incompatible)
on peut aussi calculer projection(d,A)=>H puis coordonnees(H)
inter(d,sphere(O,1))=>I
coordonnees(I) renvoie 2 points [1,0,0] et [2/3,-2/3,1]

Exercice 2: proba-stats, pas d'intérêt à utiliser le CAS

Exercices 3 et 4: Ce sujet illustre assez bien ce que pourrait apporter du CAS sur calculatrices, au lieu de demander de vérifier plein de résultats donnés dans l'énoncé, on pourrait poser des questions plus ouvertes (calculer ...) et laisser les élèves être plus actifs, en vérifiant leurs réponses avec le CAS.

Exercice 3: beaucoup de réponses sont données dans l'énoncé, on peut vérifier que l'énoncé ne déconne pas avec :=rsolve(u(n+1)=2+4/5*u(n),u(n),u(1)=2) qui renvoie 10-10*(4/5)^n (attention rsolve renvoie une liste d'expressions solutions, d'où le := pour que U soit le 1er élément de la liste)
puis se rassurer avec limit(U,n,oo) et solve(U>9,n) (faire F6 ou shift-6 pour evaluer numériquement)
On vérifie la somme u_1+...+u_n en tapant
sum(U,n,1,N)=>S qui renvoie 50*(4/5)^(N+1)+10*(N+1)-50
limit(S/N,N,oo) renvoie 10 (pas vraiment besoin de CAS...)

Exercice 4: toutes les réponses sont à nouveau données, sauf le tableau de variations qu'on obtient avec
exp(sqrt(x))/2/sqrt(x) => f
tabvar(f)