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normal(sqrt(3+sqrt(5))) retourne rootof([[2,-1,-27,-22],[1,0,-16,-20,-1]])/9
Ce résultat est un peu déconcertant, non ? Est-ce normal ?

("giac 0.7.2")

C'est de cette manière que giac calcule en interne, il se ramene a une unique extension algébrique sur Q au lieu de 2 extensions emboitées de degré 2. En faisant evalf on peut vérifier que les 2 expressions ont la même valeur.
Je crains qu'il soit difficile de "revenir en arrière", car l'élément primitif de l'extension algébrique n'a probablement pas d'expression simple (sauf à résoudre le polynome minimal avec Ferrari et Cardan).

Pourtant c'est égal à
sqrt(10)/2+sqrt(2)/2

GIAC pourrait-il répondre cette réponse qui me parait plus simple et correspondre à une forme normale ?

je ne pense pas qu'il puisse la trouver pour les raisons expliquées ci-dessus, par contre
normal(sqrt(3+sqrt(5))-(sqrt(10)/2+sqrt(2)/2 ))
renvoie bien 0