By solving the system in giac 1.7.0-25
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sol:=solve([(2*x1^5+4*x1^3+2*x1*x2+2*x1)/(x1^2*x2+x2),x1^4+2*x1^2+x2^2-3],[x1,x2])
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[[0,sqrt(3)],[0,-(sqrt(3))],[sqrt((sqrt(2*(sqrt(17)-1))-2)/2),(-(sqrt(17))+1)/2],[-(sqrt((sqrt(2*(sqrt(17)-1))-2)/2)),(-(sqrt(17))+1)/2]]
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normal(subs(x1^4+2*x1^2+x2^2-3,[x1,x2],sol[3]))
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-(sqrt(17))