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Message par parisse » lun. janv. 17, 2022 5:46 pm

Organisation de l'UE.

Motivation: decomposer une fonction periodique a l'aide des fonctions periodiques fondementales sin/cos, pour resoudre ou mieux comprendre les solutions de certaines equations de la physique pour lesquelles le principe de superposition s'applique.
-> Exemple du son.
-> Exemple equation lineaire du 2nd ordre a coeff constant avec second membre periodique, si c'est un sin/cos on connait la forme d'une solution particuliere.
-> Certaines equations n'ont pas de solution analytique, mais on peut decrire les solutions a partir de sommes de solutions particulieres a base de sin/cos. C'est le cas de l'equation de la chaleur.
Modelisation d'une tige qu'on a utilise (en x=L) pour remuer les braises dans un feu et qui est ensuite laissee dans un milieu isolant. Dans [x,x+dx], chaleur entrant en x+dx c'est dT/dx(x+dx), chaleur sortant en x c'est dT/dx(x), la difference sert a rechauffer dx*dT/dt. Conditions aux bords dT/dx(0)=dT/dx(L)=0.
Recherche d'une solution a variables separees f(x)*g(t) -> k*g'/g=f''/f=alpha, alpha<=0 sinon g explose et on ne trouve pas de solution non triviale en f avec les conditions au bord. Quantification de alpha avec les conditions aux bords. Solution particuliere en cos(n*pi*x/L)*exp(-n^2*pi^2/L^2*t/k).
(n.b. j'ai mis k dans l'autre membre de l'equation par rapport au poly).
Principe de superposition, on peut resoudre si on sait ecrire la temperature a l'instant t=0 comme somme de cos.

Pour donner du sens a tout cela, il faut revenir sur l'algebre lineaire, mais avec des fonctions comme vecteur. Il faut aussi donner un sens a convergence (->produit scalaire, norme), comprendre la convergence de somme a l'infini de reels (avant de passer aux fonctions).

5 chapitres: revisions d'algebre lineaire, formes bilineaires symetriques, produits scalaires, series numeriques, series de Fourier.

Chapitre 1: revisions d'algebre lineaire.
Definition d'espace vectoriel sur R ou C: loi + de groupe commutatif et loi externe.
Exemples R^2, R^3, R^n, polynomes a coeff reels, fonctions de R dans R ou d'un intervalle de R dans R.
Sur C: C^2, C^3, C^n,poly a coeff complexes, fonctions de R dans C
Proposition: sous-espace vectoriel: contient 0, est stable par + et par multiplication par un scalaire.
Exemples: polynomes de degre<=n, fonctions continues de R->R,
Exercice: fonctions periodiques de periode 2*pi? fonctions periodiques de R->R ?
Exemples: solutions d'un systeme lineaire homogene, solutions d'une equa tion differentielle lineaire
Exemple: Vect(ensemble de vecteurs) (si ensemble infini de vecteurs, la combinaison lineaire est finie)

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Message par parisse » ven. janv. 21, 2022 12:40 pm

21/1 cours 2/14:
Vect(v_1,..,v_n) est un sous-espace vectoriel. Famille generatrice (finie), def d'espace de dimension finie. Recherche d'une famille generatrice sans vecteur superflu -> def. famille libre, extraction d'une famille libre et generatrice d'une famille generatrice -> base.

Prop: une famille libre dans un ev ayant une base de n elements a au plus n elements.
Corollaire: toutes les bases ont meme nombre d'elements, c'est la dimension.
Exemple de bases: R^n, R_n[X], matrices a 3 lignes et 2 colonnes sur C, solutions de f''-4f=0

Dimension et base canonique de R^n, R_n[X], M_l,c(R) (matrices ayant l lignes et c colonnes)
Contre-exemple: R[X] ev n'est pas de dimension finie (preuve avec le degre max d'une eventuelle famille generatrice)
les fonctions periodiques de periode 2pi: c'est justement le but du cours sur les series de Fourier de trouver une sorte de base infinie avec les fonctions x->1, x->sin(x), x->cos(x), x->sin(2x), etc.

Coordonnees dans une base.
Exemple: base (1,1) et (1,-1) de R^2 et coordonnees [alpha,beta] de (x,y) dans cette base verifient le systeme
P[alpha,beta]*=[x,y]* (* signifie ici transposee pour avoir des vecteurs colonnes) de matrice P=[[1,1],[1,-1]], les coordonnees de la base ecrits en colonne
Generalisation: def de matrice de passage P d'une base B1 a une base B2 (coord de la base B2 exprimee dans B1 en colonnes), si v a pour coordonnees le vecteur colonne V1 dans B1 et V2 dans B2 on a la formule P*V2=V1. Pour eviter de se tromper sur la position de P, on peut prendre le 1er vecteur de la base B2, V2=[1,0,...]* et V1=1ere colonne de P.

Somme d'espaces vectoriels,
Somme directe, exemple: espaces propres
Prop: Si V de dim finie, base de V = union de bases de Vi

Applications lineaires:
def: phi V->W
Exemples 1/ R^3->R^2
2/ contre-exemple R^3->R^2
3/ transposee dans les matrices 2x2
4/ phi(f)=2f' des fonctions C1 de R dans R vers les fonctions continues de R dans R

def Ker(phi)
prop Ker(phi) sev de V
preuve
exemples 1, 4 ci-dessus.

def Im(phi)
prop Im(phi) sev de V
exemples 1, 4.

Theoreme du rang: si V est de dimension finie, Im(phi) est de dimension finie et dim V= dim Ker(phi)+ dim Im(phi)

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Message par parisse » lun. janv. 31, 2022 11:21 am

Cours 3 sur 14 du 28/1
Theoreme du rang, idee de preuve

Matrice M d'une application lineaire V(base B)-> W (base B'), definition, calcul de phi(v) en fonction de M et des coordonnees de v, exemple R^2->R^3 et exemple transposition de matrice 2x2
Calcul de base de Ker/Im par le pivot de Gauss. Exemple avec [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
Correspondance entre operations sur les matrices et les applications lineaires: somme, multiplication par un scalaire.
Produit de matrices et composition d'applications lineaires, condition de compatibilite des dimensions. Produit associatif mais pas commutatif.
Cas ou V=W, endomorphisme, inversible ssi Ker={0}, l'inverse est lineaire.
Inverse de matrice. Calcul par resolution simultanee de n systemes ayant meme matrice et seconds membres les colonnes de la matrice identite -> pivot de Gauss sur (A|Id)
Exemple en dimension 2, verification.

Formule de changement de base N=P^-1*M*P pour un endomorphisme de matrice M dans la base B et N dans B', P la matrice de passage de B a B'.
Transposition et produit, t(AB)=tB*tA, meme regle d'inversion des arguments que pour (AB)^-1=B^-1*A^-1
Matrice symetrique tA=A, antisymetrique tA=-A, forment un sous-espace vectoriel (noyau de id-transposee ou id+transposee). Exercice: symetrique et antisymetrique en somme directe (exo de la feuille de TD bilineaire)

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Message par parisse » ven. févr. 04, 2022 12:20 pm

cours 4/14 du 4 fevrier
Definition de forme bilineaire. Cas symetrique (FBS). Cas antisymetrique.
Exemples:
- R^n produit scalaire canonique.
- R^2 phi(.,.)=2x*x'+3x*y est bilineaire, ni symetrique ni antisymetrique
- R^2 phi(.,.)=x*y+x'*y' n'est pas bilineaire
- R[X] phi(P,Q)=P(1)*Q(1)
- tr(MN) sur les matrices
- int(f(t)*g(t),t,-1,1) sur les fonctions continues de [-1,1] dans R (symetrique)
- le determinant dans R^2 (antisymetrique)
- phi(X,Y)=tX*M*Y a M fixe, exemple generique. phi est symetrique equivaut a M symetrique, de meme pour anti.
Cas ou V est de dimension finie, matrice de phi dans une base, exemple
Formule de changement de base tP*M*P, verification pour phi(P,Q)=P(1)*Q(1) avec base canonique de R_1[X] et (1,X-1).

Recherche de l'analogue de la reduction des endomorphismes: une base B ou la matrice de phi est diagonale. On a alors phi(e_i,e_j)=0 => definition de l'orthogonalite entre 2 vecteurs pour une forme bilineaire symetrique phi.
Remarque: si phi est antisymetrique et si la matrice de phi est diagonale, alors phi est nulle, pas tres interessant => on s'interesse aux formes bilineaires symetriques. Attention, une forme non symetrique n'est pas forcement antisymetrique!
Autre raison de s'interesser aux formes bilineaires symetriques: Si phi est symetrique, u orthogonal a v equivaut a v orthogonal a u.

recherche des vecteurs orthogonaux a un vecteur v donne: Ker(f) avec f(w)=phi(v,w), en dim finie, c'est un sev de dimension n-1 ou n (dans ce dernier cas on dit que v est dans le noyau de phi).
Exemple: produit scalaire, phi(P,Q)=P(1)*Q(1), dans R^2 2*x*x'+3*x*y' recherche de vecteurs orthogonaux a eux-memes et calcul de l'orthogonal sur un exemple (attention a l'intuition).

Enonce du theoreme d'existence de bases phi-orthogonales pour une FBS.

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Message par parisse » sam. févr. 12, 2022 7:22 am

Cours 5 sur 14 du vendredi 11 fevrier:
Rappels sur l'orthogonalite, exemple dans R^2 avec x*x'-y*y', (1,1) est orthogonal a lui-meme, son orthogonal est de dim 1, (1,0) n'est pas orthogonal a lui-meme, son orthogonal est de dim 1, 2eme exemple avec x*y'+x'*y, 3eme exemple x*x' avec un noyau non trivial.
Verification que le noyau de phi est un ev.
Demonstration de l'existence de bases phi-orthogonales : si phi!=0 on prend un vecteur qui n'est pas auto-orthogonal a lui-meme (existence avec 2*phi(x,y) = phi(x+y,x+y)-phi(y,y)-phi(x,x)) et on recurre sur l'orthogonal du vecteur.
Remarque: ce n'est pas la methode utilisee en pratique!
Exemple de base phi-orthogonale construite artisanalement avec (P,Q)->integrate(P*Q(t),t,-1,1) sur R2[X], on commence par observer que X orthogonal a 1 et X^2, et on cherche X^2-lambda orthogonal a 1.
Def de base orthonormale.
Pas toujours possible d'en trouver car il faut diviser par sqrt(phi(e_i,e_i)) si e_i est phi-orthogonale

Def de rang en dimension finie, ne depend pas de la base
Calculs effectifs:
Prop: noyau de phi=Ker(M) ou M est la matrice de phi, rang(phi)=rang(M)
Def de forme quadratique associee a une FBS phi. Identite pour retrouver phi a partir de q. Transfert des definitions de phi vers q. q(lambda*v)=lambda^2*q(v) et q(x+y) n'est en general pas egal a q(x)+q(y).
Calcul de la matrice d'une forme quadratique a partir de son expression et inversement.
Dans une base phi-orthogonale, q est une somme/difference de carres.

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Message par parisse » ven. févr. 18, 2022 12:56 pm

Cours 6 sur 14 du 18 fevrier:
Expression de q dans une base B' q-orthogonale. Si Q est la matrice de passage de B' vers B (attention de B' vers B, Q=P^-1 ou P est la matrice de passage de B a B') alors q=sum_i a_ii (sum_j q_ij*x)j)^2.
=> Pour trouver une base q-orthogonale on va essayer d'exprimer q de cette facon, avec Q inversible.

Algorithme de reduction de Gauss:
Cas generique: le coeff de x_1^2 est non nul, on elimine cette variable, on recommence avec les variables qui restent, cela donne une matrice Q triangulaire superieure inversible et facile a inverser : resolution de systemes triangulaires
Q*vecteur colonne [x1,..,xn]=les vecteurs colonnes de la base canonique de R^n
Exemple avec x^2+4*x*y, reduction, calcul de P
2eme exemple dans R^3

Si le coeff de x1^2 est nul, on peut commencer par une autre variable.
S'il n'y a pas de carre de variable, on elimine 2 variables en meme temps en creant une difference de carres 4*alpha*beta=(alpha+beta)^2-(alpha-beta)^2, en mettant dans alpha*beta tout ce qui depend des 2 variables.
Exemple du poly dans R^4. La matrice est quasi-triangulaire (avec un petit bourrelet sous la diagonale) et reste inversible.

Rappel: rang(q)=rang(phi) est independant de la base. C'est le nombre de coeffs non nuls sur la diagonale dans une base q-orthogonale.
Attention, contrairement a la reduction des endomorphismes ou les valeurs propres ne dependent pas de la base, les coefficients sur la diagonale dependent de la base q-orthogonale. Par contre on aura le theoreme de Sylvester: la signature=(nombre de coeffs >0, nombre de coeffs<0) ne depend pas de la base.
Exemple x^2+4*x*y signature (1,1)
exemple du poly signature (3,1)

Observation: si on ordonne les elements d'une base q-orthogonale en (e_1,...,e_r, e_(r+1),..,e_(r+s),..,e_n) alors q est positive sur Vect(e_1,...,e_r) et ne s'annule qu'au vecteur nul. Sur Vect(e_(r+1),...,e_n) q est negative ou nulle.
Ceci nous servira a prouver Sylvester la prochaine fois.

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Message par parisse » ven. mars 04, 2022 12:49 pm

Rappel signature sur quelques exemples obtenus par Gauss
(x+2y)^2-4y^2
(x+y+2z)^2-(y+z)^2-3z^2
(x+y+z+t)^2+(y+z+t)^2-(y-z+3t)^2+8t^2
x^2+2xy+y^2
Attention: il faut que les arguments des carres soient independants, par ex. (x+y)^2-x^2-y^2 n'est pas de signature (1,2) mais (1,1). Ceci est automatique si on applique Gauss correctement.
Permutation des elements d'une base q-orthogonale pour mettre les coeffs + et - ensemble.
Rang=r_+ + r_-
Ker(q) est engendre par les vecteurs d'une base q-orthogonale correspondant aux coeffs nuls.
Demonstration du theoreme d'inertie de Sylvester.

Attention Ker(q) n'est pas en general l'ensemble des vecteurs tels que q(v)=0, qui est le cone isotrope de q. Par exemple pour q(x,y)=x*y ce sont 2 droites. Ou pour x^2+y^2-z^2=0 un cone (d'ou le nom).

Dans la suite, on s'interessera aux formes de rang (n,0) ou plus generallement definies positives (les formes quadratiques plus generales ont quand meme un interet en physique, par ex. x^2+y^2+z^2-c^2*t^2 ou pour l'action du calcul variationnel integrale de -m*c*sqrt(c^2*dt^2-dx^2-dy^2-dz^2) en relativite restreinte ou une forme plus generale [non diagonale] de signature (1,3) en relativite generale).

Existence de base q-orthonormee si q est definie positive en dimension finie. On a alors phi(e_i,e_j)=0 ou 1 et phi(sum x_i*e_i, sum y_i*e_i)=sum x_i*y_i (comme le produit scalaire usuel)

Exemple de calcul avec Gauss pour q=x^2-4xy+2xz+12y^2-12yz+6z^2
Attention, il faut normer en divisant par sqrt(q(vecteur)) et pas avec la norme usuelle du vecteur.

Definition en dimension quelconque de forme quadratique definie positive.
Exemple phi(P,Q)=integrale de -1 a 1 de P(t)*Q(t) sur les polynomes a coeffs reels.
Preuve en utilisant le lemme: si f est continue et >=0 sur [-1,1] et si integrale de -1 a 1 de f(t)=0 alors f=0

Calcul d'une base q-orthonormee pour la forme associee dans R2[X]

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Message par parisse » ven. mars 11, 2022 2:19 pm

Cours 8 (sur 14) du 11 mars:
Exemples de produits scalaires: canonique sur R^n, remarque en dim 2 <z|z'>=partie reelle z*conj(z')
integrate(f(t)*g(t),t,-1,1) sur C^0([-1,1],R), trace(transpose(M)*N) sur les matrices
Contre-exemple phi(P,Q)=P(0)*Q(0)+P(1)*Q(1) sur R[X] est positif mais pas defini. Sur R_1[X] c'est un produit scalaire.
Rappel En dim finie, produit scalaire ssi signature=(dim,0)

Survol de ce qu'on va traiter sur les produits scalaires:
* un interet: disposer de bases orthonormales (en dim finie) et generalisation en dim infinie
* permet de donner un sens a distance/norme, y compris pour des fonctions (on en aura besoin pour dire qu'un reste d'une combinaison lineaire infinie est negligeable)
* construction de bases orthonomees adaptees a un probleme, par ex. distance d'un vecteur a une droite vectorielle, on veut le 1er vecteur de la base vecteur directeur de la droite. Gauss ne nous donne aucun controle sur les vecteurs de la base orthonormees. Nouvelle methode: Gram-Schmidt.
* compatibilite du produit scalaire avec les applications lineaires
1er cas symetrie si <phi(v)|w>=<v|phi(w)> alors 2 vecteurs propres associes a des valeurs propres distinctes sont orthogonaux -> on va pouvoir construire des bases a la fois orthonormees et de vecteurs propres.
Exemple en dimension 2: A=[[1,2],[2,4]], diagonalisation et verification que les vecteurs propres sont orthogonaux
2eme cas: isometrie si <phi(v)|phi(w)>=<v|w> (preserve le produit scalaire)
exemple rotation en dimension 2
Remarque: en physique ca sert aussi dans le cas d'une forme plus generale, cf. exo. 9 feuille 2
Fin du survol

Inegalite de Cauchy-Schwartz
Inegalite triangulaire
Thm de Pythagore
Cas de n vecteurs orthogonaux 2 a 2.

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Message par parisse » ven. mars 25, 2022 12:01 pm

Cours 9 sur 14 du 25 mars:
Rappels Cauchy-Schwartz. Cas d'egalite (je l'avais oublie la derniere fois)
Rappel Pythagore generalise.
Une famille de n vecteurs non nuls orthogonaux 2 a 2 est libre, c'est une base du sev engendre.
On peut en faire une base orthonormale en normalisant.
Calcul des coordonnees d'un vecteur dans une base orthonormale.
Si on applique la meme formule pour une base orthonormale d'un sous-espace vectoriel de dimension finie on obtient le projete orthogonal.
Exemples:
R^3 projection sur la droite engendree par (1,1,-1)
R^3 projection sur le plan d'equation x+y=z
projection de X^2 sur Vect(1,X) avec le produit scalaire integrate(P*Q,X,-1,1): on trouve le polynome 1/3

La projection realise le minimum de la distance avec le sous-espace vectoriel sur lequel on projete.
Si V est de dimension finie, alors V et Vorthogonal sont en somme directe.

Algorithme de Gram-Schmidt: construire une base orthonormale w_1, ... ,w_k qui preserve les Vect(v_1,...,v_k).
Se fait par recurrence en normalisant v_k - projete de v_k sur Vect(v_1,...,v_{k-1})=Vect(w_1,...,w_{k-1})
Exemple 1: dans R^3, v_1=[1,1,0], v_2=[1,0,1], v_3=[0,1,1]
Verification avec Xcas ou la calculatrice:
simplify(gramschmidt([1,1,0],[1,0,1],[0,1,1]))
gramschmidt peut aussi prendre un produit scalaire en argument
gramschmidt([1,x,x^2],(p,q)->integrate(p*q,x,-1,1))

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Message par parisse » ven. avr. 01, 2022 10:56 am

Cours 10 sur 14 du 1er avril:
Exemples de Gram-Schmidt
* R^2, q(x,y)=x^2+2*x*y+4*y^2, a partir de la base canonique
* R2[X], <P|Q>=P(-1)*Q(-1)+P(0)*Q(0)+P(1)*Q(1), a partir de la base canonique
* approximation lineaire de x^2 ou cos(x) sur [0,pi/2] pour phi(f,g)=integrate(f*g,x,0,pi/2), representation graphique de la fonction et de son projete lineaire sur ces 2 exemples:
session Xcas
* approximant de Fourier a l'ordre 1: Gram-Schmidt sur (1,sin,cos) pour phi(f,g)=1/pi*integrate(f*g,x,-pi,pi), projete de x, de x^2+3x
session Xcas
On pourrait ajouter sin2 (t->sin(2t)) et cos2 pour avoir un approximant de Fourier d'ordre 2.

La regression lineaire vue avec les outils du chapitre: dans R^n on projete le vecteur Y=(y1,..,yn) sur l'espace engendre par 1=(1,1,1...,1) et X=(x1,...,xn) en en cherchant une base orthonormale par Gram-Schmidt. On obtient une droite de coefficient directeur covariance(xi,yi)/variance(xi) et passant par (moyenne(xi),moyenne(yi))

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Message par parisse » ven. avr. 08, 2022 10:45 am

Cours 11 sur 14 du 8 avril:
Endomorphisme symetrique pour un produit scalaire, caracterisation par transpose(M)=M si produit scalaire usuel et M matrice de f dans la base canonique.
Thm: M diagonalisable, valeurs propres reelles, et existence d'une base orthonormale.
Si valeur propre de multiplicite >1, il faut faire Gram-Schmidt dans le sous-espace
Exemple [[3,4],[4,3]] et [[1,-2,2],[-2,1,2],[2,2,1]]

Matrice d'une base orthonormale si transpose(P)*P=identite
Donc P^-1*M*P=transpose(P)*M*P et la matrice de la forme quadratique (ayant M comme matrice dans la base canonique) est diagonale.
Exemple avec les formes quadratiques correspondant aux matrices ci-dessus. Signature=(nombre valeurs propre>0, nombre valeurs propres<0).

Isometrie vectorielle, equivaut a la conservation du produit scalaire. Les valeurs propres sont de module 1.
Recherche en dimension 2: rotation (det=1) et symetrie orthogonale par rapport a une droite (det=-1)

Prolongements indiques tres rapidement dans les 5 dernieres minutes: en dimension 3, et nature/axes coniques.

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Message par parisse » ven. avr. 15, 2022 10:28 am

Cours 12 sur 14 du 15 avril, suites numeriques.
Def, terme general, somme partielle, convergence si somme partielle converge
Si convergence alors terme general tend vers 0, reciproque fausse.
contre-exemple sum(1/n)>=1+1/2+2*1/4+4*(1/8)+8*(1/16)+...
Ne depend pas des premiers termes.
L'ensemble des series convergentes est un sous-espace vectoriel.

Series a termes positifs: converge ou tend vers +infini.
Critere de comparaison et des equivalents.
exemple sum(sin(1/n)), sum(sin(1/n)-1/n)

Series a terme quelconque: attention les criteres ci-dessus ne s'appliquent pas (y compris celui des equivalents).
Def. de convergence absolue, thm (admis) convergence absolue => convergence.

Series a termes positifs:
Critere de d'Alembert,
s'il s'applique la convergence des sommes partielles est assez rapide
Il ne s'applique pas pour sum(1/n) ou sum(1/n^2), ni pour les series de Fourier.
Critere de Riemann: sum(1/n^alpha) converge si et seulement si alpha>1
Preuve avec comparaison avec integrale, qui peut marcher pour d'autres series sum(u_n) lorsque un=f(n) avec f>0 et decroissante.

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Message par parisse » ven. avr. 29, 2022 10:21 am

Cours 13 sur 14: series de Fourier
T=periode de f, definie sur [-L,L] avec T=2L, omega=2*pi/T
Fonctions continues/C^k par morceaux sur [-L,L], produit scalaire 1/L*integrate(f(t)*g(t),t,-L,L)
(pour avoir un produit scalaire, on suppose que la valeur de la fonction au point de discontinuite est comprise entre les limites a gauche et droite).
Famille orthgonale (1,cos_1,...,cos_k,sin_1,...,sin_k), orthonormale avec 1/sqrt(2), projection de f=qpproximant de Fourier S_N(f), valeur des coefficients et def des coeff de Fourier trigo.
Exemple : f(t)=t, illustration de la convergence et du phenomene de Gibbs
session Xcas
Inegalite de Parseval
Coefficients exponentiels complexes de Fourier et lien avec l'approximant de Fourier S_N et les coeffs trigonometriques. Exemple avec f(t)=t.

Serie de Fourier limite S_N pour N->infini
thm de Dirichlet (admis) si f est C^1 par morceaux, cv de la serie de Fourier vers la moyenne des limites a gauche et droite
Remarque: le thm donne la convergence de la serie, ce qui n'est pas toujours evident, par ex. pour f(t)=t en pi/2, la serie n'est pas absolument convergente.
thm de Parseval (admis) si f est C^0 par morceaux, distance de f-S_N(f) tend vers 0
Egalite de Parseval
Prop: si f et g C^0 par morceaux ont meme serie de Fourier, alors elles sont egales la ou elles sont toutes les deux continues.

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Message par parisse » ven. mai 06, 2022 10:35 am

Dernier cours (14) du 6 mai:
* series de Fourier d'une fonction paire/impaire, consequence: series en sin et cos en prolongeant f sur [0,L] par parite et imparite
* exemple 1: serie de Fourier, en sin et en cos pour la fonction t sur [0,pi]
* exemple 2: serie de Fourier, en sin et en cos pour la fonction echelon (0 sur [-pi,0] et 1 sur [0,pi])
* exemples d'application de Dirichlet et Parseval, un exemple de verification numerique approchee
Prolongements hors programme de l'examen:
* retour sur la resolution de l'equation de la chaleur avec une serie en cos
* l'equation de Schrodinger ressemble a l'equation de la chaleur, pour la resoudre on utilise une base orthonormale infinie de vecteurs propres de la partie en espace (on peut trouver une base orthonormale comme pour les matrices symetriques), mais il faut travailler sur des C-espaces vectoriels
* pour generaliser les produits scalaires a des C-espaces vectoriels il faut remplacer forme bilineaire par antilineaire par rapport a un des arguments de la forme, pour rester defini positif.
* si on fait cela avec le produit scalaire usuel des fonctions sur [-L,L] a valeurs dans C, on voit que la famille exp(i*k*omega*t) est orthonormale et on retrouve les coefficients de Fourier exponentiels en calculant le produit scalaire <exp(i*k*omega*t)|f>, l'antilinearite explique alors naturellement le signe - dans l'exponentielle du coeff de Fourier exponentiel.

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