1/ Si deux fonctions continues par morceaux ont même série de Fourier, elles sont égales partout où elles sont continues. En effet la différence des deux fonctions a une série de Fourier nulle, donc par Parseval l'intégrale de son carré est nulle.
2/ \(3\sin(x)+\sin(3x)\) a comme coefficients de Fourier \(b_1=3, b_3=1\) et tous les autres coefficients nuls (si on suppose que l'on fait le développement sur \([-\pi,\pi]\), si on prend une autre période que \(2\pi\), on peut seulement dire que les a_k sont nuls par imparité).
Exercice 1:
- on a \(\Phi_\alpha(x,y)=X^t *M_\alpha * Y\) avec \(M_\alpha=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&2\\-1&\alpha&0\\2&0&5\end{array}\right)\) donc \(\Phi_\alpha\) est bilinéaire et symétrique puisque \(M_\alpha\) est symétrique.
- \(q(x,y,z)=x^2-2xy+4xz+\alpha y^2+5z^2=(x-y+2z)^2+(\alpha-1)y^2+4yz+z^2\)
\(=(x-y+2z)^2+(z+2y)^2+(\alpha-5)y^2\)
(on a pris l'ordre de variables \(x,z,y\) en mettant y en dernière variable pour éviter de traiter un cas particulier en fonction de \(\alpha\)):Signature (3,0) si \(\alpha>5\), (2,0) si \(\alpha=5\) et (2,1) si \(\alpha<5\)Code : Tout sélectionner
q:=x^2-2*x*y+4*x*z+alpha*y^2+5z^2; gauss(q,[x,z,y])
- Donc produit scalaire si \(\alpha>5\)
- Pour \(\alpha=6\), on a \(q(x,y,z)=(x-y+2z)^2+y^2+(z+2y)^2\), on résoud les systèmes
\(x-y+2z=1, y=0,z+2y=0\) solution (1,0,0) puis \(x-y+2z=0, y=1,z+2y=0\) solution (5,1,-2), puis \(x-y+2z=0, y=0,z+2y=1\) solution (-2,0,1) d'où une matrice \(P\)
\(P=\left(\begin{array}{ccc}1&5 &-2\\0&1&0\\0&-2&1\end{array}\right)\)
(on peut permuter les colonnes de \(P\), d'autres solutions existent si on a effectué la décomposition de Gauss dans un autre ordre de variables que \(x,z,y\))
Vérification à la machine: on entre les coefficients de x,y,z en ligne et on inverseCode : Tout sélectionner
p:=[[1,-1,2],[0,1,0],[0,2,1]]; 1/p
- Les 2 vecteurs colonnes sont clairement non colinéaires et vérifient l'équation du plan \(x+y=2z\) donc l'image de \(\phi\) est bien le plan.
- On normalise le 1er vecteur colonne en \(f_1=\frac{1}{\sqrt{5}}[2,0,1]\). On retire du 2ème vecteur colonne sa projection sur le 1er, puis on normalise ce qui donne \(f_2=\frac{1}{\sqrt{30}}[-1,5,2]\)
VérificationCode : Tout sélectionner
f1,f2:=gramschmidt([2,0,1],[1,1,1])
- [1,0,0] ne vérifie pas l'équation du plan donc \(Av=b\) n'a pas de solution
- \(p=p(b)=\langle f_1|b \rangle f_1 + \langle f_2|b \rangle f_2=\frac{1}{6}[5,-1,2]=\frac12[2,0,1]-\frac16[1,1,1]\)
Code : Tout sélectionner
b:=[1,0,0]; simplify(dot(f1,b)*f1+dot(f2,b)*f2)
- la projection \(p=p(b)=Av\) réalise le minimum de la distance entre un point quelconque du plan \(Aw\) et \(b\)
Code : Tout sélectionner
m:=[[1,0,1],[0,1,1],[1,1,0]]; eigenvals(m); eigenvects(m)
Exercice 4:
- La fonction est impaire
- Donc les coefficients \(a_0, a_n\) sont nuls, et
\(b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x) \sin(nx) \ dx=\frac2\pi\int_0^\pi x^2 \sin(nx) \ dx\)
Avec la primitive donnée dans l'énoncé, on a
\(b_n=\frac{2}{n^3\pi}((2-n^2\pi^2)(-1)^n-2)\)
VérificationCode : Tout sélectionner
f:=piecewise(x<0,-x^2,x^2); bn:=fourier_bn(f,n)
- La fonction est \(C^1\) par morceaux, et continue sur \(]-\pi,\pi[\) donc égale à sa série de Fourier sur cet intervalle ouvert (théorème de Dirichlet). En \(\pm \pi\) la série de Fourier est nulle, moyenne des limites à droite et gauche de la fonction.
- Comme la fonction est continue par morceaux, on peut appliquer Parseval
\(\frac1\pi\int_0^\pi x^4 \ dx = \frac12 \sum_{n=1}^\infty b_n^2 \)
soit
\(\frac{\pi^4}{5}= \frac12 \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{n^3\pi}((2-n^2\pi^2)(-1)^n-2)\right)^2 \)
A la calculatrice, on trouve environ 19.48 pour le membre de gauche, 17.6 à droite si on somme jusqu'à 10, 18.83 jusque 30, 19.28 jusque 100 et 19.46 jusque 1000.Code : Tout sélectionner
I:=1/pi*integrate(x^4,x,0.0,pi); 0.5*sum(bn^2,n=1..10)