Forum pour les etudiants de mat404

[parisse]

Pour poser une question, il faut vous connecter sur ce forum, pour cela vous pouvez utiliser le login etupmphc et le mot de passe qui est indique sur
https://chamilo.univ-grenoble-alpes.fr/ ... =0&origin=

[etupmphc]

Comme il est compliqué d'avancer en TD de mat404 par visioconférence/discord ou autre est ce qu'il est possible de demander l'accès à toutes les corrections même des TDs non encore fait? Histoire de s'avancer ou de faire en avance les exercices ?

[parisse]

Nous avons prevu de donner des corriges des exercices de la liste des exercices a faire absolument http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... voirs.html. Ils seront mis en ligne ici:
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~de ... ctions_TD/
Mais il est important que vous cherchiez les exercices avant de lire une correction. N'hesitez pas a poser des questions sur un exercice pour obtenir des indications ou sur le cours, je regarde le forum frequemment et en particulier au moment des creneaux de mes cours de mat404 (lundi 9h45-11h45 et vendredi 8h-9h30). Notez que le cours est mis a jour de temps en temps, car je l'enrichis avec des exemples qui peuvent vous donner des pistes pour resoudre des exercices.

[etupmphc]

Bonjour, je ne comprends pas la phrase "la somme est Rn car l’orthogonal d’un espace stable par M est stable par M " p73 du cours dans la preuve du théorème 4.28. Merci

[parisse]

En effet, ca manque de détails.
Notons E la somme des sous-espaces propres de M et F son orthogonal.
Si E n'est pas R^n tout entier, alors F est de dimension au moins 1. De plus F est stable par M, c'est-a-dire que si x appartient à F alors Mx appartient à F: en effet pour tout y de E, <Mx|y>=<x|transpose(M)y>=<x|My>=0 puisque My appartient à E. Comme M est associe à une application linéaire de F dans F, on a au moins une valeur propre de M et un vecteur propre correspondant dans F, mais c'est contradictoire avec la définition de F qui est l'orthogonal de la somme des espaces propres de M.
Est-ce que ca clarifie?
(J'ai mis à jour le poly)

[etupmphc]

Oui merci ça clarifie !

[parisse]

Je viens d'ajouter un document sur l'utilisation des calculatrices pour vérifier les exercices calculatoires sur les formes quadratiques et les produits scalaires.

[etupmphc]

Bonjour Monsieur, j'ai du mal à répondre à la question 3.c) de l'exercice 10 sur les produits scalaires.
Merci d'avance !

[parisse]

Si q a pour matrice A dans la base canonique, et si M est la matrice de passage de la base canonique a une nouvelle base, la matrice de q dans la nouvelle base est B=transpose(M)*A*M. Si on veut que la nouvelle base soit q-orthogonale, il faut que B soit l'identité. Comme A=transpose(P)*P, je vous laisse en déduire une matrice M qui convient.

[etupmphc]

Ok merci, il faut que P*M soit orthogonal et donc on peut prendre M=P^-1.

[parisse]

Je suis d'accord!

[etupmphc]

Bonjour, j'ai du mal à comprendre l'égalité de Parseval. Pouvez vous détailler davantage le raisonnement et les calculs s'il vous plaît. Merci !

[parisse]

Bonjour, j'ai du mal à comprendre l'égalité de Parseval. Pouvez vous détailler davantage le raisonnement et les calculs s'il vous plaît. Merci !

Parseval est une généralisation du théorème de Pythagore en dimension infinie.
En dimension finie, prenons un vecteur v qui s'écrit dans une base orthogonale (pas forcément orthonormale) {e_1,...,e_n}

Code : Tout sélectionner

v=v_1* e_1+...+v_n*e_n

On a alors pour les normes au carre (puisque la base est orthogonale, il n'y a pas de double produit)

Code : Tout sélectionner

||v||^2=|v_1|^2*||e_1||^2+...+|v_n|^2*||e_n||^2

Les séries de Fourier, cela revient à écrire une fonction périodique vue comme un vecteur dans un espace vectoriel de dimension infinie dans une base orthogonale formée par les fonctions cos(n*omega*t) et sin(n*omega*t). On a

Code : Tout sélectionner

v=a_0*1+a_1*cos(omega*t)+a_2*cos(2*omega*t)+...+a_n*cos(n*omega*t)+...+b_1*sin(omega*t)+b_2*sin(2*omega*t)+...

On a alors pour les normes au carre

Code : Tout sélectionner

||v||^2=|a_0|^2*||1||^2+|a_1|^2*||cos(omega*t)||^2+|a_2|^2*||cos(2*omega*t)||^2+...+|a_n|^2*||cos(n*omega*t)||^2+...+
|a_1|^2*||sin(omega*t)||^2+|a_2|^2*||sin(2*omega*t)||^2+...+|a_n|^2*||sin(n*omega*t)||^2+...+

Ceci peut s'interpréter en termes d'"énergie": l'énergie de v est la somme des énergies de chacune de ses composantes "indépendantes".
Avec comme produit scalaire

Code : Tout sélectionner

<f|g>=1/T*(integrale de f(x)*g(x) pour x entre -T/2 et T/2)

alors la norme au carré est la moyenne de la fonction au carré sur une période, donc ||1||^2=1 et ||cos(n*omega*t)||^2=||sin(n*omega*t)||^2=1/2 et on a

Code : Tout sélectionner

1/T*integrale(f^2(t),t=-T/2..T/2)=a_0^2+1/2*(somme des a_i^2+b_i^2, i=1 a l'infini)

Est-ce que c'est plus clair comme ca? Si oui, je reprendrai la partie du poly consacré à Parseval de cette manière.

[etupmphc]

Oui c'est bon maintenant, c'est très clair comme cela ! Merci