infos cours pour les etudiants des groupes PM2, PM3, PM4

[parisse]

Ce matin devait avoir lieu le cours 9 et vendredi le cours 10 (nous avons 2 cours de retard sur l'autre amphi).
Nous en étions resté à
https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec23
Je vous invite donc à lire ce matin la section 4.1.2 (produit scalaire dans l'espace), puis la section 4.2 et 4.3,, vous pouvez aussi consulter les notes de l'amphi 9 de Martin Deraux:
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~de ... mphi09.pdf
Vendredi j'avais prévu les sections 4.4 (algorithme de Gram-Schmidt) et 4.5 (problèmes de minimisations, en priorite la section 4.5.1 puis la 4.5.2, la section 4.5.3 est en bonus pour les bons etudiants), voir aussi
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~de ... mphi10.pdf
Pour ceux qui ont imprimé le poly, je vous signale que j'ai enrichi le cours et que je vais continuer à l'enrichir, il est donc conseillé de consulter la version à jour en ligne.

[parisse]

Ce matin aurait du avoir lieu le cours 10 pour notre amphi. Si vous ne l'avez pas encore fait, lisez à partir de
https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec26
les paragraphes 4.4, ainsi que la section 4.5.1 et 4.5.2. Ou les notes de cours de Martin Deraux
http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... mphi10.pdf

Les 3 exemples de Gram-Schmidt du paragraphe 4.4 ainsi que l'exemple du 4.5.1 peuvent vous servir de modèles pour une partie des exercices 4 et 5 de la feuille de TD3 (TD14 et 15).
Si vous avez des questions sur le cours ou sur les exercices de la feuille de TD3, n'hésitez pas à les poser, j'y répondrai le plus rapidement possible (vous etes prioritaires pendant le créneau de mon cours).

[parisse]

Cette semaine, 2 séances de cours à prévoir pour se synchroniser avec l'autre amphi et continuer ensuite au rythme d'un cours par semaine.
Ce lundi, cours 11: résolution de problèmes de minimisation en utilisant le produit scalaire, on y présente entre autres la droite de régression linéaire et une première approche des séries de Fourier.
Lire la section 4.5.4 du poly (https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec31) et les notes de cours http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... mphi11.pdf.
La première partie des notes de cours correspond à la section 4.5.2 du poly (https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec29). C'est une interprétation avec les produits scalaires de la droite de régression linéaire.
La deuxième partie des notes de cours correspond à la section 4.5.5 du poly (https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec32). Cette partie est vraiment indispensable, on y introduit les coefficients de Fourier pour une fonction périodique, la période est fixée à 2*pi dans les notes de cours (plus simple à lire) et à 2*L dans le poly (plus général).

Les exercices correspondants sont le 5.3 (de la feuille 3) et les exercices 8, 9, 12 et 13. L'exercice 8 est indispensable, c'est une somme partielle de série de Fourier.

N'hésitez pas à poser vos questions, que ce soit sur le cours ou sur les exercices, je surveille régulièrement le forum, et très fréquemment pendant le créneau horaire de l'amphi.

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Ce vendredi ou lundi prochain, séance de cours 12, sections 4.6 et 4.7 du poly https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec33 ou http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... mphi12.pdf: on y montre que les matrices symetriques admettent une base de vecteurs propres qui est orthonormale (calcul en diagonalisant comme d'habitude une matrice et orthonormalisation dans les sous-espaces propres avec Gram-Schmidt). Cela fournit une autre méthode de recherche de base orthogonale pour une forme quadratique q, cette méthode nécessite plus de calculs, mais on obtient une base qui est à la fois orthogonale pour q et orthonormale pour le produit scalaire usuel.
Vous trouverez ici viewtopic.php?f=37&t=2484 un exemple de matrice symétrique d'une forme quadratique définie positive avec les 3 algorithmes de recherche de base orthogonale qui ont été présentés dans ce cours.
Les exercices correspondent à la séance de TD17, exercices 17 et 18 de la feuille de TD3.

[parisse]

Ce lundi, pas de nouveau cours (voir le message précédent). Profitez du créneau pour poser des questions sur des points que vous n'avez pas compris, ou/et lire les deux corrigés de TD de la semaine dernière qui ont été mis en ligne, chercher les exercices 9, 13, 17 et 18 (si vous séchez, lisez les indications sur le forum), ou d'autres exercices de la feuille 3.

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Vendredi 3 avril ou lundi 6:
Le cours sur les produits scalaires est terminé. Vous pouvez faire le point sur ce que vous avez acquis en vous exercant sur un des sujets d'annales de CC, par exemple https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... B-2015.pdf ou https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... A-2015.pdf. N'hésitez pas à poser des questions sur le forum!

Cours 13: Séries numériques. Avant de parler de séries de Fourier (qui sont des fonctions dépendant de x définies par une somme infinie de sinus et cosinus), il faut donner un sens à des sommes de nombres (ne dépendant pas de x) jusqu'à l'infini, voici des exemples.
Le cours correspondant est dans le chapitre 5 du poly ou les notes de cours de M. Deraux http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... mphi13.pdf qui correspondent la première partie de la section 5.1 du poly https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec35
Il n'y a pas encore assez de matériel pour avancer beaucoup dans la feuille de TD4, à part l'exercice 1, profitez-en pour faire le point sur les produits scalaires (cf. le début de ce message).

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Vendredi 10:
Les corrigés de la fin des exercices essentiels de la feuille de TD3 sont en ligne viewtopic.php?f=37&t=2504. Pour ceux qui se sont testés sur l'énoncé de partiel https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... B-2015.pdf, le corrigé est en ligne https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... orrige.pdf

Cours 14: suite du cours sur les séries numériques notes de M. Deraux http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... mphi14.pdf ou 2ème partie de https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec36.
Les règles de comparaison, de d'Alembert et de Riemann permettent de faire les exercices 2 et 4 de la feuille de TD4, le calcul d'équivalents (en utilisant des développements limités si nécessaire) et la règle des équivalents permettent de traiter l'exercice 3 de la feuille de TD 4.
Prévoir environ 3 séances de TD pour cette feuille.
Vous pouvez vérifier un développement limité à la calculatrice en utilisant la commande series, cf. viewtopic.php?f=37&t=2502
Questions?
Bon week-end prolongé

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Vendredi 17 ou lundi 27 (puisque la semaine prochaine est la semaine d'interruption pédagogique):
cours 15
Cf. les paragraphes 6.1 et 6.3 du poly (https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec39) ou les notes de cours de M. Deraux (http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... mphi15.pdf).

Approximants de Fourier: on cherche à approcher une fonction f définie pour t dans [-T/2,T/2] par des fonctions trigonométriques fondementales de période T, i.e. des cos(k*omega*t) et sin(k*omega*t) avec omega=2*pi/T. Ou pour une fonction f définie pour x dans [-L,L] par des fonctions trigo de période 2*L, i.e. cos(k*omega*x) et sin(k*omega*x) avec omega=pi/L.
On commence par remarquer que ces cosinus et sinus sont orthogonaux entre eux pour le produit scalaire

Code : Tout sélectionner

<f|g>=integrale de f(t)*g(t) entre t=-T/2 et t=T/2

On en déduit une base orthonormale, et on peut calculer la projection orthogonale de la fonction f sur l'espace vectoriel engendré par les cos(k*omega*t) et sin(k*omega*t) pour k entre 0 et N, c'est l'approximant de Fourier de f à l'ordre N.
Quand N tend vers l'infini, on obtient la série de Fourier de f (un peu comme si on écrivait les coordonnées de f dans une base orthonormée ayant un nombre infini d'éléments), on peut lui donner un sens en une valeur de t si la fonction f est continument dérivable (sauf peut-etre en un nombre fini de points de discontinuité) et dans ce cas la série de Fourier est égale à f (sauf en les discontinuités où la série de Fourier vaut la moyenne des limites de f à gauche et à droite), c'est le théorème de Dirichlet.
On a aussi convergence des approximants de Fourier de f vers f pour la norme associée au produit scalaire, et on en déduit (par une sorte de généralisation en dimension infinie du théorème de Pythagore) l'identité de Parseval (cf. viewtopic.php?f=37&t=2467#p11705).

Exercices: les corrigés des TD sur les séries numériques sont disponibles (pour le moment sur chamilo seulement, voir aussi le rappel sur les DL http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... pelsDL.pdf)

Vous pouvez commencer à travailler sur la feuille 5, exercices 1 et 2, puis dans la suite tout ce qui ne concerne pas les coefficients de Fourier exponentiels, par exemple exercice 3.1 et 3.3, 4.1 et 4.3, 4.4, 5...

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Mise à jour du message précédent avec les liens, suite à la remise en route du serveur web de l'Institut Fourier.

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Concernant les modalités d'évaluation de l'UE, on pourra vous les communiquer fin avril-début mai, elles doivent etre votées par les conseils de l'Université la semaine de la rentrée et le 5 mai.
Bonne interruption pédagogique à tous! Profitez-en pour vous reposer, la période que l'on traverse est stressante pour tout le monde, nous en sommes bien conscients.

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lundi 27: si vous n'avez pas commencé les séries de Fourier avant l'interruption, cf. posting.php?mode=reply&f=37&t=2468#pr11714
Cours 16 (ce lundi ou lundi prochain): suite et fin des séries de Fourier.
1/ Parité (https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec40 ou http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... mphi16.pdf)
* Si la fonction considérée est paire, les coefficients de Fourier en sinus sont nuls (ca parait logique vu que sin est impaire), on a une somme uniquement composée de fonctions cosinus (+constante)
* De meme si la fonction considérée est impaire, les coefficients de Fourier en cosinus sont nuls.
Si on a une fonction définie sur l'intervalle [0,L] (typiquement L=pi pour fixer les idées), on peut la prolonger par parité ou par imparité sur [-L,0] et obtenir une fonction sur [-L,L] dont on calcule la série de Fourier qui sera composée uniquement de cosinus ou de sinus.

2/ Coefficients de Fourier exponentiels:
On peut écrire cos(x)=(exp(i*x)+exp(-i*x))/2 et sin(x)=(exp(i*x)-exp(-i*x))/2 dans les formules donnant les coefficients de Fourier et dans la série de Fourier d'une fonction f(x), cela donne un développement de f(x) en fonction des exp(i*n*omega*x) pour n entier relatif (positif et négatif)

Code : Tout sélectionner

f(x)=somme pour n de -infini à +infini de c_n*exp(i*n*omega*x)

avec des coefficients

Code : Tout sélectionner

c_n=1/T*integrale(exp(-i*n*omega*x)*f(x) pour x de -T/2 à T/2).

Ce calcul qui parait purement algébrique s'interprète avec une géneralisation des produits scalaires définies sur les espaces vectoriels réels aux espacs vectoriels complexes, on parle de forme hermitienne. On veut conserver la positivité de la norme : <x|x> doit rester positif ou nul (et nul si x est nul). En dimension 1 complexe, on ne peut pas prendre <x|x>=x^2, car si x est complexe, x^2 n'est pas forcément positif. La solution en dimension 1 est de prendre le module au carré pour <x|x>=|x|^2=conjugué(x)*x, donc on ne peut plus avoir une forme bilinéaire, on parle de forme hermitienne, elle sera linéaire par rapport à un des arguments et antilinéaire par rapport à l'autre argument (car conj(lambda*x)=conj(lambda)*conj(x) n'est pas le produit de lambda*conj(x) si lambda n'est pas réel). Deux conventions sont possibles, en physique on choisit en général la convention d'etre linéaire par rapport au second argument (c'est en tout cas la convention en mécanique quantique), c'est celle du poly (https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec50). En mathématique, les deux conventions sont utilisées, et les notes de M. Deraux utilisent l'autre convention (http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... mphi16.pdf). Tous les résultats sur les produits scalaires réels se généralisent aux formes hermitiennes définies positives, on a en particulier des bases orthonormales, et la formule de projection orthogonale (il faut juste faire attention à l'ordre des arguments du produit scalaire, car <x|y> est le conjugué de <y|x>). Ainsi les exp(i*n*omega*t) forment en quelque sorte une base infinie des fonctions périodiques de période T (avec omega=2*pi/T) pour le produit scalaire

Code : Tout sélectionner

<f|g>=1/T*integrale du conjugue de f(t)*g(t) pour t de -T/2 à T/2

et la série de Fourier exponentielle d'une fonction est son écriture dans la base infinie des exp(i*n*omega*t)

Code : Tout sélectionner

c_n=<exp(i*n*omega*t)|f>=1/T*intégrale de conjugué de exp(i*n*omega*t)*f(t) pour t de -T/2 à T/2

Code : Tout sélectionner

f=somme pour n de -infini à +infini de <exp(i*n*omega*t)|f> exp(i*n*omega*t)
f=somme c_n*exp(i*n*omega*t)

Vous pouvez maintenant faire l'ensemble des exercices de la feuille de TD 5, en particulier ceux du planning (1 à 4 et 11).

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Dernière semaine d'enseignements.
Cours: le dernier cours sur les séries de Fourier est résumé dans le post précédent viewtopic.php?f=37&t=2468#p11730.
Un apercu des applications et prolongements possibles pour votre culture générale:

• la résolution de certaines équations "aux dérivées partielles", en premier lieu l'équation de la chaleur (ce qui a incité Fourier a développer les séries de Fourier). On cherche des solutions particulières à variables séparées en temps et espace, on utilise la linéarité de l'équation pour en déduire des solutions générales sous forme de séries de Fourier.
  poly: https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec42
  ou notes de cours de M. Deraux http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... i17bis.pdf
• la transformée de Fourier est l'analogue des séries de Fourier pour les fonctions définies sur R tout entier au lieu des fonctions périodiques. https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec45
• la transformée de Fourier discrète (DFT=Discrete Fourier Transform) est l'analogue des séries de Fourier pour des phénomènes discrets, par exemple un son digital échantilloné (on mesure un écart de pression à intervalle de temps fixe). Cette transformation est très utilisée dans les logiciels, car il existe un algorithme de calcul très efficace, la FFT Fast Fourier Transform, au point que cela sert dans des domaines qui semblent à priori complètement déconnectés, par exemple pour calculer tous les chiffres du produit de deux entiers ayant des centaines de milliers de chiffres.

Exercices: des corrigés des exercices 1 et 3 (http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... D/TD22.pdf, http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... 2_exo1.pdf) et des exercices 2 et 4 (http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... D/TD23.pdf) sont en ligne.

P.S.: nous attendons toujours le vote du conseil de l'Université sur les modalités d'évaluation, vote qui aura lieu le 6 mai. Nous vous informerons dès que ces modalités seront fixées.
D'ici-là, bon travail, et si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser!