lundi 27: si vous n'avez pas commencé les séries de Fourier avant l'interruption, cf.
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Cours 16 (ce lundi ou lundi prochain): suite et fin des séries de Fourier.
1/ Parité (
https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec40 ou
http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... mphi16.pdf)
* Si la fonction considérée est paire, les coefficients de Fourier en sinus sont nuls (ca parait logique vu que sin est impaire), on a une somme uniquement composée de fonctions cosinus (+constante)
* De meme si la fonction considérée est impaire, les coefficients de Fourier en cosinus sont nuls.
Si on a une fonction définie sur l'intervalle [0,L] (typiquement L=pi pour fixer les idées), on peut la prolonger par parité ou par imparité sur [-L,0] et obtenir une fonction sur [-L,L] dont on calcule la série de Fourier qui sera composée uniquement de cosinus ou de sinus.
2/ Coefficients de Fourier exponentiels:
On peut écrire cos(x)=(exp(i*x)+exp(-i*x))/2 et sin(x)=(exp(i*x)-exp(-i*x))/2 dans les formules donnant les coefficients de Fourier et dans la série de Fourier d'une fonction f(x), cela donne un développement de f(x) en fonction des exp(i*n*omega*x) pour n entier relatif (positif et négatif)
Code : Tout sélectionner
f(x)=somme pour n de -infini à +infini de c_n*exp(i*n*omega*x)
avec des coefficients
Code : Tout sélectionner
c_n=1/T*integrale(exp(-i*n*omega*x)*f(x) pour x de -T/2 à T/2).
Ce calcul qui parait purement algébrique s'interprète avec une géneralisation des produits scalaires définies sur les espaces vectoriels réels aux espacs vectoriels complexes, on parle de forme hermitienne. On veut conserver la positivité de la norme : <x|x> doit rester positif ou nul (et nul si x est nul). En dimension 1 complexe, on ne peut pas prendre <x|x>=x^2, car si x est complexe, x^2 n'est pas forcément positif. La solution en dimension 1 est de prendre le module au carré pour <x|x>=|x|^2=conjugué(x)*x, donc on ne peut plus avoir une forme bilinéaire, on parle de forme hermitienne, elle sera linéaire par rapport à un des arguments et antilinéaire par rapport à l'autre argument (car conj(lambda*x)=conj(lambda)*conj(x) n'est pas le produit de lambda*conj(x) si lambda n'est pas réel). Deux conventions sont possibles, en physique on choisit en général la convention d'etre linéaire par rapport au second argument (c'est en tout cas la convention en mécanique quantique), c'est celle du poly (
https://www-fourier.univ-grenoble-alpes ... html#sec50). En mathématique, les deux conventions sont utilisées, et les notes de M. Deraux utilisent l'autre convention (
http://www-fourier.univ-grenoble-alpes. ... mphi16.pdf). Tous les résultats sur les produits scalaires réels se généralisent aux formes hermitiennes définies positives, on a en particulier des bases orthonormales, et la formule de projection orthogonale (il faut juste faire attention à l'ordre des arguments du produit scalaire, car <x|y> est le conjugué de <y|x>). Ainsi les exp(i*n*omega*t) forment en quelque sorte une base infinie des fonctions périodiques de période T (avec omega=2*pi/T) pour le produit scalaire
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<f|g>=1/T*integrale du conjugue de f(t)*g(t) pour t de -T/2 à T/2
et la série de Fourier exponentielle d'une fonction est son écriture dans la base infinie des exp(i*n*omega*t)
Code : Tout sélectionner
c_n=<exp(i*n*omega*t)|f>=1/T*intégrale de conjugué de exp(i*n*omega*t)*f(t) pour t de -T/2 à T/2
Code : Tout sélectionner
f=somme pour n de -infini à +infini de <exp(i*n*omega*t)|f> exp(i*n*omega*t)
f=somme c_n*exp(i*n*omega*t)
Vous pouvez maintenant faire l'ensemble des exercices de la feuille de TD 5, en particulier ceux du planning (1 à 4 et 11).
