Utilisation de la calculatrice pour vérifier les calculs sur les séries

Modérateur : xcasadmin

parisse
Messages : 5079
Inscription : mar. déc. 20, 2005 4:02 pm
Contact :

Utilisation de la calculatrice pour vérifier les calculs sur les séries

Message par parisse » jeu. avr. 09, 2020 2:05 pm

Convergence des séries numériques
Vous pouvez vérifier un développement limité à la calculatrice en utilisant la commande series (menu F2, puis 5).
Exemple, exercice 3.5 terme général sin(1/n-sin(1/n)), on utilise x comme variable au lieu de n (c'est plus facile à saisir au clavier), l'infini est note oo (menu F1 7)

Code : Tout sélectionner

series(sin(1/x-sin(1/x)),x=oo)
renvoie (1/x)^3/8+..., on en déduit l'équivalent et par le critère de Riemann la nature de la série (convergente ici).
L'ordre par défaut de la commande séries est 5, si cela ne suffit pas ou si c'est trop, vous pouvez passer un ordre plus grand en 3ème paramètre optionnel de series (par exemple series(sin(1/x-sin(1/x)),x=oo,3))

Séries de Fourier
Il y a 3 commandes pour calculer des coefficients de Fourier, fourier_an, fourier_bn et fourier_cn. Elles sont dans le menu F4 4 (Analyse).
  • fourier_an(expr,n) calcule le n-ième coefficient de Fourier cosinus de la fonction périodique de période 2*pi dont l'expression sur [-pi,pi] est expr.
    Attention au cas particulier du coefficient a0, il faut appeler fourier_an(expr,0) et pas simplement remplacer n par 0 dans l'expression du coefficient de Fourier de cosinus d'ordre n.
  • fourier_bn(expr,n) calcule le n-ième coefficient de Fourier sinus de la fonction périodique de période 2*pi dont l'expression sur [-pi,pi] est expr
  • fourier_cn(expr,n) calcule le n-ième coefficient de Fourier exponentiel de la fonction périodique de période 2*pi dont l'expression sur [-pi,pi] est expr
Avant de faire un exercice sur les séries de Fourier, vérifiez que x et n n'ont pas de valeur, si nécessaire effacez les variables :VARS, flèche vers le haut, sélectionnez la commande restart et validez
Exemple: feuille TD5 exercice 3.1, la fonction périodique de période 2*pi d'expression x^2 sur [-pi,pi] a pour n-ième coefficient de Fourier en cos (pour saisir : taper shift-PRGM 2, pour saisir an taper F5 a n ALPHA)

Code : Tout sélectionner

an:=fourier_an(x^2,n)
ce qui donne 4*(-1)^n/n^2.
On voit bien que la formule n'est pas définie pour n=0, il faut relancer le calcul en remplacant n par 0

Code : Tout sélectionner

a0:=fourier_an(x^2,0)
qui renvoie pi^2/
Le coefficient de Fourier en sin est

Code : Tout sélectionner

fourier_bn(x^2,n)
qui renvoie 0 comme on s'y attendait puisque la fonction est paire.

Remarque: il n'y a pas de cas particulier pour n=0 pour fourier_bn.

Vérification graphique (plot se trouve dans le menu F4 7 Graphes)

Code : Tout sélectionner

N:=5; 
Sf:=a0+sum(an*cos(n*x),n,1,N);
plot([x^2,Sf],x=-pi..pi);
Avec des couleurs (elles se trouvent dans le menu OPTN)

Code : Tout sélectionner

plot([x^2,Sf],x=-pi..pi,color=[red,blue]);
Vérification de l'identité de Parseval sur cet exemple. Xcas/KhiCAS n'arrive pas à simplifier ((-1)^n)^2, il faut donc définir une variable an2 contenant la valeur de an^2 (simplify est dans le menu F1, de meme que oo et sum, integrate est dans le menu F2)

Code : Tout sélectionner

an2:=(4/n^2)^2;
simplify(a0^2+sum(an2/2,n,1,oo));
simplify(1/(2*pi)*integrate((x^2)^2,x,-pi,pi))

Remarque: Si vous calculez des coefficients de Fourier avec une période différente de 2*pi ou avec une expression sur un intervalle différent de [-pi,pi], il faut passer plusieurs arguments supplémentaires, par exemple

Code : Tout sélectionner

fourier_an(x^2,x,2,n,-1)
calcule le n-ième coefficient de Fourier en cos de la fonction périodique de période 2, d'expression x^2 sur l'intervalle [-1,1]

Répondre